离散型随机变量及其分布律PPT课件

1、定义1 1 若随机变量 X X 的全部可能取值是有限个或可列无限多个, ,则称这种随机变量为离散型随机变量。一、离散型随机变量的分布律一、离散型随机变量的分布律., 2 , 1,), 2 , 1(的的分分布布律律量量称称此此式式为为离离散散型型随随机机变变为为的的概概率率即即事事件件取取各各个个可可能能值值的的概概率率所所有有可可能能取取的的值值为为设设离离散散型型随随机机变变量量XkpxXPxXXkxXkkkk 定义定义2第1页/共43页离散型随机变量的分布律也可表示为 nnpppxxxX2121Xkpnxxx21nppp21或其中其中 ;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 k

2、kp第2页/共43页 xxkkpxXPxF)(分布函数分布函数分布律分布律kkxXPp 离散型随机变量的分布函数离散型随机变量分布函数离散型随机变量分布函数演示演示离散型随机变量分布律与分布函数的关系. )()( xxxxkkkkxXPpxXPxF第3页/共43页例例 1 抛掷均匀硬币, 令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求随机变量 X 的分布函数.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x0)(0)( PxXPxF第4页/共43页 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 1

3、0,21, 0, 0)(xxxxF得得第5页/共43页二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为2.两点分布两点分布1.退化分布退化分布若随机变量X取常数值C的概率为1,即1 )(CXP则称X服从退化分布.第6页/共43页实例实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况. 随机变量 X 服从 (0-1) 分布., 1)(eXX , 0,正面正面当当 e.反面反面当当 eXkp012121其分布律为则称 X 服从 (0-1) 分布分布或两点分布两点分布.记为记为Xb(1,p)Xkp0p 11p第7页/共43页 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两

4、种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.说明说明第8页/共43页3.均匀分布均匀分布如果随机变量 X 的分布律为实例实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,Xkp161234566161616161则有 ., )(),(服从均匀分布服从均匀分布则称则称其中其中Xjiaaji Xkpnaaa21nnn111均匀分布随机数均匀分布随机数演示演示第9页/共43页4.二项分布二项分布若X的分布律为：则则nkqpCkXPknkkn0,1,2, 称随机变量X X服从参数为n,pn,p的二项分布。记为 ),(pnBX, ,其中q q1 1p p二项

5、分布二项分布1 n两点分布两点分布第10页/共43页二项分布的图形图形演示第11页/共43页例如例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数 X 服从 B (5,0.6) 的二项分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp012345二项分布随机数二项分布随机数演示演示第12页/共43页4. 泊松分布泊松分布 ).(,!,PXX.kkekXPk记为记为布布的泊松分的泊松分服从参数为服从参数为则称则称是常数是常数其中其中值的概率

6、为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取0210210 泊松资料泊松资料图形演示第13页/共43页泊松分布的图形泊松分布随机数泊松分布随机数演示演示第14页/共43页泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时粒子个数的情况时, ,他们做了他们做了2608 2608 次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5 7.5 秒秒) )发现发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒子其放射的粒

7、子数数X X 服从泊松分布服从泊松分布. . 第15页/共43页地震 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.火山爆发特大洪水第16页/共43页电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火

8、山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.第17页/共43页泊松定理 ekkXPknpppCkXPpnBXknnnknnknknn!lim,lim)(),(有有则则对对任任意意非非负负整整数数且且满满足足设设01证明)(),(111111onnponnpnn 由由第18页/共43页knnknppknknkXP )()()!( !1knknononnknkn )()()!( !1111kknknonnknnnnonko)()()()(!)(1111111 knknnknonnonko)()()()(!)(1111

9、111111 第19页/共43页 ekkXPnkn!lim,时时当当第20页/共43页二项分布二项分布 泊松分布泊松分布n很大, p 很小上面我们提到单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出第21页/共43页 设1000 辆车通过,出事故的次数为 X , 则可利用泊松定理计算, 1 . 00001. 01000 所求概率为9991000999900001011000999901. .0047. 0! 11 . 0!011 . 01 . 0 ee解解2 XP1012 XPXPXP),.,(000101000BX例例2 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一

10、天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?第22页/共43页6. 几何分布几何分布 若随机变量 X 的分布律为则称 X 服从几何分布几何分布.实例实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数目 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律., 1, qpXkpk21pqppqk 1 几何分布随机数几何分布随机数演示演示图形演示第23页/共43页)(121kkAAAAPkXP )()()()(121kkAPAPAPAP pp

11、ppk )1()1()1)(1(.1pqk ), 2 , 1( k所以 X 服从几何分布.说明说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功首次成功”的概率模型.解解., 3, 2, 1所取的可能值是所取的可能值是X,个个产产品品是是正正品品抽抽到到的的第第表表示示设设iAi第24页/共43页7.超几何分布设X的分布律为),min, 2 , 1 , 0(nMmCCCmXPnNmnMNmM .,服从超几何分布服从超几何分布则称则称这里这里XNMMmNn 超几何分布在关于废品率的计件检验中常用 到.说明图形演示第25页/共43页离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布 两点分布两点分布均匀分布均匀分

12、布二项分布二项分布泊松分布泊松分布几何分布几何分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布1010.p,n 两点分布两点分布1 n三、小结超几何分布超几何分布退化分布退化分布几种分布比较演示第26页/共43页).,(,)10(), 2 , 1(, 0, 1,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为参数为服从二项分布服从二项分布那末那末分布并且相互独立分布并且相互独立它们都服从它们都服从次试验失败次试验失败若第若第次试验成功次试验成功若第若第设设每次试验成功的概率为每次试验成功的概率为立重复伯努里试验立重复伯努里试验次独次独对于对于分布的推广分布的推广二项分布是二项分布是 .)10(. 2泊泊松

13、松分分布布之之间间的的关关系系分分布布二二项项分分布布与与、 第27页/共43页)., 2 , 1 , 0(,!)()1(,)(,nkeknpppknkXPnnppnnpkknk 即即为参数的泊松分布为参数的泊松分布于以于以时趋时趋当当为参数的二项分布为参数的二项分布以以 第28页/共43页例例 从一批含有从一批含有10件正品及件正品及3件次品的产品中一件次品的产品中一件、一件地取产品件、一件地取产品.设每次抽取时设每次抽取时, 所面对的各件所面对的各件产品被抽到的可能性相等产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下在下列三种情形下, 分分别求出直到取得正品为止所需次数别求出直到取得正品为止所需

14、次数 X 的分布律的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品这批产品中去在取下一件产品;(2)每每次取出的产品都不放回这批产品中次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中品放回这批产品中.备份题第29页/共43页,13101 XP,13101332 XP,131013332 XP13101331 k故 X 的分布律为Xpk32113101310133 13101332 解解,(1) X 所取的可能值是, 1, 2, 3,13101331 kkXP.,第30页/共43页 (

15、2) 若每次取出的产品都不放回这批产品中时,13101 XP,12101332 XP,11101221333 XP,10101111221334 XPXp故 X 的分布律为432113101210133 1110122133 111122133 X 所取的可能值是, 1, 2, 3. 4第31页/共43页 (3) 每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中.,13101 XP,12111332 XPXP,13131311321334 XP故 X 的分布律为Xp432113101311133 1312132133 131132133 X 所取的可能值是, 1, 2,

16、 3. 4第32页/共43页例例 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解解.人人设需配备设需配备 N设备设备记同一时刻发生故障的记同一时刻发生故障的,X台数为台数为).,(,010300BX那末那末所需解决的问题,N是确定最小的是确定最小的使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题第33页/共43页由泊松定理得,!

17、303 NkkkeNXP故有,99. 0!303 Nkkke即 Nkkke03!31 13!3Nkkke,01. 0 . 8是是小的小的查表可求得满足此式最查表可求得满足此式最N个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.故至少需配备8.99. 0 NXP第34页/共43页例例6 (人寿保险问题)在保险公司里 有2500个同年龄同社会阶层的人参加了人寿保险,在每一年里每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日付12元保险费,而在死亡时,家属可在公司里领取200元.问 (1)保险公司亏本的概率是多少? (2) 保险公司获利不少于一万元的概率是多少? 保险公司在1月

18、1日的收入是 2500 12=30000元解 设X表示这一年内的死亡人数,则)002. 0 ,2500( BX第35页/共43页保险公司这一年里付出200X元.假定 200X 30000,即X 15人时公司亏本.于是,P公司亏本=P X 15=1-PX 14由泊松定理得, 5002. 02500P公司亏本0002. 0!511405kkke(2) 获利不少于一万元,即 30000 -200X 10000即X 10P获利不少于一万元=PX 109864. 0!51005kkke第36页/共43页?)20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一级品的概率是多少一级品的概率是多少只只中

19、恰有中恰有只元件只元件问问只只现在从中随机地抽查现在从中随机地抽查品率为品率为级级已知某一大批产品的一已知某一大批产品的一小时的为一级品小时的为一级品用寿命超过用寿命超过某种型号电子元件的使某种型号电子元件的使按规定按规定 kk分析分析 这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.2020,重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查试试验验否否为为一一级级品品看看成成是是一一次次把把检检查查一一只只元元件件看看它它是是例例2第37页/共43页解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),.,(2020BX则则因此所求概率为因此所求概率为.,).().(20