电路的拉普拉斯变换分析法

1、第第7章章 电路的拉普拉斯变换分析法电路的拉普拉斯变换分析法7.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义7.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 7.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 7.4 复频域电路复频域电路 7.5 电路的拉普拉斯变换分析法电路的拉普拉斯变换分析法 7.1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是求解拉普拉斯变换（简称拉氏变换）是求解常系数线性常系数线性微分方程微分方程的的工具工具。设一个变量设一个变量t的函数的函数f(t)，在任意区间能够满足狄利赫利条，在任意区间能够满足狄利赫利条件（一般电子技术中处理的函数都满足这一条件）件（一般

2、电子技术中处理的函数都满足这一条件） 拉氏拉氏正变换正变换 Sj f(t)：原函数原函数；F(S)：f(t)的的象函数象函数。 00 0。 )()(tetfat解解 lim1 1)()()()(0)(0)(00tasttastasstatsteasasedtedteedtetfsF-根据拉氏变换的定义根据拉氏变换的定义 js因为tjtatee-)(lim=00lim)(-taste)(aas -1)(aa称为称为收敛域收敛域 拉氏反拉氏反变换变换 -jjstdsesFjtf)(21)()()()()(1sFLtftfLsF-拉氏正变换拉氏正变换拉氏反变换拉氏反变换 拉氏变换对拉氏变换对由由F(

3、s)到到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换的变换称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换 下面来讨论一些常见函数的拉普拉斯变换下面来讨论一些常见函数的拉普拉斯变换 工程中常见的函数工程中常见的函数(除少数例外除少数例外)有下列两类有下列两类:(1) t的指数函的指数函数；数；(2) t的正整幂函数。许多常用的函数如阶跃函数、正的正整幂函数。许多常用的函数如阶跃函数、正弦函数、衰减正弦函数等，都可由这两类函数导出。弦函数、衰减正弦函数等，都可由这两类函数导出。 7.1.1 指数函数指数函数 tet( 为常数为常数)由定义可得由定义可得 的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为 1( )F ss-

4、由此可导出一些常用函数的变换由此可导出一些常用函数的变换 ：1、单位阶跃函数、单位阶跃函数 t tet0001)(ttt1( )F ss-0 0 1Lts2、正弦函数、正弦函数 sin t t jtjt1sin2jtee-故有故有 22sinsttL 22tjtjj1j1j21j21sin-sssteeLttL3、余弦函数、余弦函数 cos t t jtjt1cos2tee- 22cosssttL故有故有 22tjtjj1j12121cos-ssssteeLttL4、衰减正弦函数、衰减正弦函数 tsine t- -jj1sin2jtttetee-)(1)(121sinjasjasjteLat-

5、22)(as故有故有22)(sin-asteLat5、衰减余弦函数、衰减余弦函数 tcose t- -与衰减正与衰减正弦函数相弦函数相类似可得类似可得 22costsL etts -6、双曲线正弦函数、双曲线正弦函数 sh b bt t 1sh2ttteebbb- 22shLttsbb b-故有故有7、双曲线余弦函数、双曲线余弦函数 ch b bt t 与双曲线正弦函数相类似可得与双曲线正弦函数相类似可得 22chsLttsb b- 7.1.2 t的正幂函数的正幂函数 (n为正整数为正整数 ntt由定义可得由定义可得 的拉普拉斯变换为的拉普拉斯变换为 ntt 0nnstL ttt edt-设设

6、,ddnstutvet-则则 000101000nstnstnstnstt edtudvuvudvtnetedtssntedts- -亦即亦即 1nnnL ttL tts-依次类推，则得依次类推，则得 1211122 1 1!nnnnnn nL ttL ttL ttsssn nnnssss s ss-当当n=1时，有时，有 21)(sttL 1nnnL ttL tts-7.1.3 冲激函数冲激函数 A d d（t）冲激函数的定义冲激函数的定义 d0t f ttfd-可得可得 00dstL AtAt etAeAdd-对于对于单位冲激函数单位冲激函数来说，可令上式来说，可令上式 A=1，即得：，即

7、得： t1Ld书中表书中表7 - -1给出了一给出了一些常见函数的拉普拉斯变换些常见函数的拉普拉斯变换 拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数拉氏变换法的实质就是将微分方程经数学变换转变成代数方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它方程，然后进行代数运算，再将所得的结果变换回去。它和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算和应用对数计算数的乘除相类似。不同的只是在对数运算中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。中变换的对象是数，而在拉氏变换中变换的对象是函数。（2）对于常用的阶跃函数、冲激函数、指数函数及一些超对于常用的阶跃函数、冲激函数、指数函数及一些

8、超越函数等经变换以后，可转换成为简单的初等函数。越函数等经变换以后，可转换成为简单的初等函数。拉氏变换法的拉氏变换法的优点优点：（1）求解过程得以简化，又同时给出微分方程的特解及齐求解过程得以简化，又同时给出微分方程的特解及齐次方程的通解，而且初始条件能自动包含在变换式中，对次方程的通解，而且初始条件能自动包含在变换式中，对于换路起始时有突变现象的问题处理更方便；于换路起始时有突变现象的问题处理更方便；7.2 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 拉普拉斯变换拉普拉斯变换有许多重要性质。利用这些基本性质可以方便有许多重要性质。利用这些基本性质可以方便地求出一些较为复杂函数的象函数，同时

9、通过这些基本性质地求出一些较为复杂函数的象函数，同时通过这些基本性质可以将电路在时域内的线性常微分方程变换为复频域内的线可以将电路在时域内的线性常微分方程变换为复频域内的线性代数方程。从而得到复频域中的等效电路。性代数方程。从而得到复频域中的等效电路。 7.2.1 线性特性线性特性若若 f1(t) F1(s)Lf2(t)LF2(s)则则)()(2211tfatfa L)()(2211sFasFa a1，a2为任意常数为任意常数 证明证明 求函数的象函数求函数的象函数 11221122000( )( )( )( )stststa f ta f tedta f t edta f t edt-)()

10、(2211sFasFa例例 tatabeetf21)(解解 211)(21asbasbeeLtfLtata-7.2.2 尺度变换尺度变换若若 f (t) F (s)L则则 f1(at) L)(1asFaa为大于零的实数为大于零的实数 证明证明 -00)()()(adateatfdteatfatfLatasst令令x= =at )(1)(1)(0asFadxexfaatfLxas-7.2.3 时间变换时间变换若若 f (t) F (s)L)(0ttf-L0)(stesF-)(0ttf-0tf(t)0tt0f(t-t0)()(00ttttf-证明证明 -0)()()(0000tststdtettf

11、dtettfttfL令令0ttx-0txtdxdt t0 为常数为常数 则则00)()()(00ststsxesFdxeexfttfL-例例 解解 求图求图中中所示的锯齿波的拉普拉斯变换所示的锯齿波的拉普拉斯变换 0tf(t)ETt0tfa (t)0tTfc (t)0-ETfb(t)= + + abcf tftftft aEftttT bftEtT - cEfttTtTT - 22asTbsTcEL ftTsEL ftesEL fteTs- - -由线性性质由线性性质 22211abcsTsTstL f tL ftL ftL ftEEEeeTssTsETseTs-时间平移特性还可以时间平移特性

12、还可以用来求取有始周期函数用来求取有始周期函数( (t t0 0时呈现时呈现周期性的函数周期性的函数 , ,在在t t0 0范围函数值为零范围函数值为零) )的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换 f (t)为有始周期函数，其周期为为有始周期函数，其周期为T， f 1(t)、 f 2(t) 分别表分别表示函数的第一周期，第二周期，示函数的第一周期，第二周期，的函数的函数 ， 123f tftftft由于是周期函数，因此由于是周期函数，因此 f 2(t)可看成是可看成是 f 1(t)延时一个周期延时一个周期构成的，构成的， f 3(t)可看成是可看成是 f 1(t)延时二个周期构成的，依此延时二个周期构成

13、的，依此类推则有类推则有 -TtfTtftftf2111根据平移特性，若根据平移特性，若 11L ftF s则则 211121111sTsTsTsTsTL f tF sF s eF s eF sF seee-f (t)为有始周期函数，其周期为为有始周期函数，其周期为T，拉普拉斯变换等拉普拉斯变换等于第一周期单个函数的拉普拉斯变换乘以周期因子于第一周期单个函数的拉普拉斯变换乘以周期因子 11sTe-例例 求图中半波正弦函数的拉普拉斯变换求图中半波正弦函数的拉普拉斯变换 0tET23T25T2T2Tf (t)解解 先求第一个半波先求第一个半波f 1(t)的拉普拉斯变换的拉普拉斯变换 0tEf 1(

14、t)3T2T2T0tET2f 1b(t)|3T2T2T0tET2f 1a(t)+ 111sinsin22abftftftTTEttEtt - 有始正弦函数的拉普拉斯变换为有始正弦函数的拉普拉斯变换为 22sinLtts 故根据时间平移特性可得故根据时间平移特性可得 111222222221absTsTL ftL ftL ftEEEeesss-半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为半波正弦周期函数的拉普拉斯变换为 2222221111sTsTsTEeEL f tsese-7.2.4 频率平移特性频率平移特性若若 f (t) F (s)L则则 )()(00ssFetfLts-证明证明 )()()()(0

15、0)(0000ssFdtetfdteetfetfLtsssttsts-7.2.5 时域微分特性时域微分特性)( tfL若若 f (t) F (s)L)0()(- fssF则则 证明证明 -0)()()( dtedttdfdttdfLtfLst由上式应用分部积分法，有由上式应用分部积分法，有 -0)()()( dtedttdfdttdfLtfLst)()()()()(000ssFetfdtetfsetfdttdfLststst-式中式中 0)(-tstetf于是可得于是可得)0()()( -fssFtfL应用上式的结果可得应用上式的结果可得)0()0()()0()()()(2- fsfsFsft

16、fsLtfdtdLtfL依此类推，可得依此类推，可得 )0()0()0()()()1(21)(-nnnnnffsfssFstfL如果如果f(t)及其各阶导数的初值为零。则上式变为及其各阶导数的初值为零。则上式变为 )()( ssFtfL)()(2sFstfL )()()(sFstfLnn例例 解解 若电容元件若电容元件C的端电压的端电压uC(t)的拉氏变换式为的拉氏变换式为UC(s)求电容求电容C中电流的象函数中电流的象函数IC(s)。 应用微分性质应用微分性质 IC(s)=LiC(t)=LC =CsUC(s)- - uC(0-)= CsUC(s)- - CuC(0-)dttduC)(如果如果

17、C C的端电压初始值的端电压初始值uC(0-)=0IC(s) = CsUC(s)0()0()0()()()1(21)(-nnnnnffsfssFstfL则有则有7.2.6 时域微分特性时域微分特性L若若 f (t) F (s)则则 ssFdfLt)()(0证明证明 -000)()(dtedfdfLsttt对上式进行分部积分，得对上式进行分部积分，得 -00000)(10)()()(dtetfsdfsedtedfdfLsttststttssFdfLt)()(0=0 =0 则则 如函数的积分区间不由如函数的积分区间不由0开始而是由开始而是由-开始开始 00dddttfff-则因为则因为 故有故有将

18、积分性质广到多重积分将积分性质广到多重积分 0ddtfF sLfss-同前面同前面样，样，此处的此处的0 0意味着意味着0-0- 200ddtF sLfs 书中表书中表7 2列出了拉普拉斯变换的基本性质。列出了拉普拉斯变换的基本性质。 则有则有7.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换利用拉普拉斯变换法对电路进行暂态分析，最终结果必利用拉普拉斯变换法对电路进行暂态分析，最终结果必须返回时域，就是说还要进行拉普拉斯反变换。须返回时域，就是说还要进行拉普拉斯反变换。 求拉氏反变换最简单的方法是查拉氏变换表求拉氏反变换最简单的方法是查拉氏变换表 因为变换表中只列出了常用的一些函数，它不可能将一切因为变换表

19、中只列出了常用的一些函数，它不可能将一切函数都包括在内。因此，下面介绍一种基本的方法，函数都包括在内。因此，下面介绍一种基本的方法，部分部分分式法分式法。利用拉普拉斯变换分析电路的暂态过程时所遇到的象函数一般利用拉普拉斯变换分析电路的暂态过程时所遇到的象函数一般都是都是s的实系数有理函数，它的结果可表示成两个多项式之比，的实系数有理函数，它的结果可表示成两个多项式之比，即即 0122110111)()()(asasasasbsbsbsbsDsNsFnnnnnmmmm-式中的诸系数式中的诸系数an , bn 都是实数，都是实数，m、n都是正整数。都是正整数。 如如mn时，可以将假分式可分解为多项

20、式与真分式之和。时，可以将假分式可分解为多项式与真分式之和。 N(S)=0的根被称为的根被称为F(S)的的零点零点； D( (S)=0)=0的根被称为的根被称为F( (S) )的的极点极点。 为了分解为了分解F(s)为部分分式，只需讨论为部分分式，只需讨论D(s)=0的根。的根。7.3.1 D(s)=0均为单根，即无重根的情况（设均为单根，即无重根的情况（设mn） 因因D(s)是是s的的n次多项式，故可分解因式如下次多项式，故可分解因式如下 由于由于D(s)无重根，故无重根，故sn都不相等，都不相等， F(S)写成部分分式的形式为写成部分分式的形式为)()()()(21nksssssssssD

21、-nnkkssAssAssAssAsF-2211)(A1，A2，. Ak. An为待定系数，称为为待定系数，称为F(s)在各极点处的在各极点处的留数留数。 Ak 如何确定？如何确定？nnkkkknnkkkkkkkssAssAssAssssAssssAssssAssssAssssAsssFss-)()()()()()()()()(22112211ksskksssDsNA-)()()(令令 kss 将等式的两边将等式的两边乘以乘以(s-sk)nnkkssAssAssAssAsF-2211)(在求出了部分分式的在求出了部分分式的 Ak各值之后，就可以逐项对部分分式各值之后，就可以逐项对部分分式求拉氏

22、反变换，得求拉氏反变换，得 tskkkkeAssAL-1F(s)的原函数为的原函数为0 )()()()()()(1111-tesDsNssssALsDsNLtfnktsssknkkkkk由此可见，象函数的拉氏反变换，可表示为若干指数函数项之和由此可见，象函数的拉氏反变换，可表示为若干指数函数项之和 例例1 解解 求求 的原函数。的原函数。 35210114)(22sssssF首先将首先将F(s)化为真分式化为真分式 2222411104142253253253222ssssF sssssss将分母进行因式分解将分母进行因式分解 25331222D sssss将将F(s)中的真分式写成部分分式中

23、的真分式写成部分分式 122413253212AAsssss求真分式中各部分分式的系数求真分式中各部分分式的系数 111112324416331223453212s ssssN sssAsssD sssssAsss- -于是于是F(s )可展开为可展开为 1615232122F sss-其原函数为其原函数为 211112325411103223253125232ttssLLLLssssteetd-0t注意：在对假分式进行反变换时，应首先将假分式变为真注意：在对假分式进行反变换时，应首先将假分式变为真分式，然后再进行部分分式分解。分式，然后再进行部分分式分解。例例 解解 求求 的原函数。的原函数

24、。 52)(2ssssF先将分母分解因式先将分母分解因式052)(2sssD得得21) )204(2(212, 1js-是一对共轭复数是一对共轭复数 )2(41)21()21)(21(211jjsjsjssAjs-)2(41)21()21)(21(212jjsjsjssAjs-方法一方法一由由由于由于 为一对共轭值，为一对共轭值， A1，A2则也必为共轭值，则也必为共轭值， 所以所以A2可由可由A1直接求得。直接求得。*21ss 于是于是 21) 12(4121) 12(41)(jsjjsjsF-对上式逐项求反变换，并加以整理得对上式逐项求反变换，并加以整理得1112( 12)( 12)11(

25、21)(21)442512121 (21)(21)41 (2cos2sin2 ) 02jtjttjjsLLLsssjsjj ej eettt- - - - - -方方法法二二当当D(s)为二次三项式，且为二次三项式，且D(s)=0的根为一对共轭复数时，的根为一对共轭复数时，还可以使用更简便的方法求原函数。即将分母配成二项还可以使用更简便的方法求原函数。即将分母配成二项式的平方，将一对共轭复根作为一个整体来考虑。式的平方，将一对共轭复根作为一个整体来考虑。 F(s)可配可配方为方为 22222222) 1(12) 1(1 4) 1(4) 12(52)(-ssssssssssssF直接查阅拉普拉斯

26、变换表可得直接查阅拉普拉斯变换表可得0 )2sin2cos2(21 2sin212cos 2) 1(12) 1(1)(222211-tttetetesssLsFLttt计算步骤大为简化计算步骤大为简化 例例 解解 求求 的原函数。的原函数。 象函数象函数F(s)不是有理函数，部分分式分解的方法无不是有理函数，部分分式分解的方法无法直接应用，这时可先将法直接应用，这时可先将F(s)改写成改写成ssesFsFssessssF221222)()(65365)(-其中其中653)(65)(2221sssFssssF分别都是有理函数，可用部分分式法分解分别都是有理函数，可用部分分式法分解 653)(22

27、-ssessFs根据时间平移性质可知根据时间平移性质可知 的原函数，就等于的原函数，就等于F2(s)的的原函数再平移原函数再平移2个时间单位的结果。个时间单位的结果。 sesF22)(-分别求分别求F1(s)，F2(s)的原函数的原函数 )()32(3322)(3111teessLsFLt-)()33(3323)(32121teessLsFLtt-11212232(2)3(2)( ) ( )( )( ) ( 23) ( )(33) (2) 0sttttf tLF sLF sF s eeeteett- -于是可得于是可得7.3.2 D(s)=0的根有重根的情况（设的根有重根的情况（设mn） 设设

28、D(s)=0在在s=s1处有处有p阶重根，这时可将阶重根，这时可将F(s)写成下面的形式写成下面的形式 )()()()(1sQsssNsFp-把把F(s)展开成部分分式展开成部分分式pnpnppppssAssAssAssAssAssAssAsF-33221121131112111)()()()()(A2，A3，. An-p 各留数仍可照无重根的情况求取各留数仍可照无重根的情况求取pnpnppppssAssAssAssAssAssAssAsF-33221121131112111)()()()()(1)()()(111sssDsNssA-A12、A13、. A1p各留数各留数，不能再采用这种方法。

29、因为这样将使，不能再采用这种方法。因为这样将使导数分母中出现导数分母中出现“0”值，而得不出结果。值，而得不出结果。留数留数A11的求取的求取，可将等式的两边乘以，可将等式的两边乘以 令令s=s1 pss)(1-)()()(11sFsssFp-于是于是-1112113112111)()()()(ppssAssAssAAsF为此，引入辅助函数为此，引入辅助函数-1112113112111)()()()(ppssAssAssAAsF对对s微分得微分得 .)(1(.)(2)(211113121-ppsspAssAAssF1)(112ssssFA1)(! 2112213sssFdsdA1)()!1(1

30、1111sskkksFdsdkA-显然显然同理同理依此类推，得一般形式为依此类推，得一般形式为)()!1()(111111tetkAssALtskkkk-pnitsitsptsptsptspteAteAtteAtetpAtetpAsFLi21)1(12121111)()()( )()!2()()!1()(1111确定了系数，就可根据拉普拉斯变换直接，求取原函数。确定了系数，就可根据拉普拉斯变换直接，求取原函数。所以所以F(s)对应的原函数对应的原函数因为因为例例 解解 求求 的原函数。的原函数。 2) 1)(3(2)(sssssFD(s)=0有四个根，一有四个根，一个二重根个二重根s1= -

31、-1和和s2=0，s3= - -3 两个两个单根单根31) 1() 1)(2(2)(32122112sAsAsAsAsssssF431|)3()32)(2()3( )3(2) 1)(211| )3(2) 1)(22112121211-ssssssssssdsdssFdsdAssssssFAsss其中各待定系数分别确定如下其中各待定系数分别确定如下故部分分式故部分分式可表示为可表示为121) 1(2)3)(32) 1)(3(2)(32330202-sssssssssFAsssssFA312132143) 1(21)(2-sssssF131321 ( ) 024312tttLF steeet- -

32、故得故得取反变换得取反变换得以上介绍了用部分分式法求拉氏反变换的基本方法。在分析具以上介绍了用部分分式法求拉氏反变换的基本方法。在分析具体问题时，可根据体问题时，可根据F(s)的分母有无重根分别用前述两种方法求的分母有无重根分别用前述两种方法求各极点的留数，只要这些留数一经求得，就能得出反变换。各极点的留数，只要这些留数一经求得，就能得出反变换。7.4 复频域电路复频域电路用拉氏变换分析电路暂态时可不必写出微分方程再进行变用拉氏变换分析电路暂态时可不必写出微分方程再进行变换，可换，可先将时域电路变成复频域电路模型先将时域电路变成复频域电路模型，再根据复频域电再根据复频域电路直接写出运算形式的电

33、路方程路直接写出运算形式的电路方程，使计算过程更为简化。，使计算过程更为简化。根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。压电流关系的运算形式。7.4.1 电阻元件电阻元件Ri(t)u (t)在时域中，有在时域中，有)()(tRituRI(s)U(s)Ri(t)u (t)()(sUtuL)()(sItiL)()(sRIsU设设 ， 等式两边取拉氏变换，得等式两边取拉氏变换，得 )()(tRitu 时域形式时域形式复频域形式复频域形式7.4.2 电容元件电容元件Ci(t)u(t)在时域中，有在时域中，有)0(1111)(0

34、00-CtttCuidCidCidCidCtu)()(sUtuLCC)()(sItiLsusIsCsUCC)0()(1)(-令令对等式取拉氏变换并应用积分性质得对等式取拉氏变换并应用积分性质得I(s)U(s)1sCuC(0-)ssusIsCsUCC)0()(1)(-容端电压的象函数（称容端电压的象函数（称象电压象电压）由两部分组成：）由两部分组成：第一部分第一部分是电流的象函数（称是电流的象函数（称象电流象电流）与运算形式的容抗（简言）与运算形式的容抗（简言容容抗抗）的）的积积；第二部分第二部分相当于某阶跃电压的象函数，称为相当于某阶跃电压的象函数，称为内内运算电压源运算电压源。 电容电容C在

35、复频域中串联形式的电路模型在复频域中串联形式的电路模型 I(s)U(s)sCCuC(0-)susIsCsUCC)0()(1)(-)0()()(-CCCUssCUsI象电流象电流也由两部分组成：也由两部分组成：第一部分第一部分是是sC（称（称容纳容纳）和）和象电压象电压UC(s)的的乘积乘积；第二部分第二部分相当于某电流源的象函相当于某电流源的象函数，称数，称内运算电流源内运算电流源 。电容电容C在复频域中并联形式的电路模型在复频域中并联形式的电路模型 7.4.3 电感元件电感元件在时域中，有在时域中，有Li(t)u(t)dtdiLtu)()0()()(-LissLIsUsisUsLsI)0()

36、(1)(-令令Lu (t)=U (s),Li(t)=I(s)，对上式取拉氏变换，对上式取拉氏变换或或I(s)U(s)Li(0-)sL1sLI(s)U(s)i(0-)ssL)0(-LisiL)0(-感抗感抗内运算电压源内运算电压源 内运算电流源内运算电流源 串联形式的电路模型串联形式的电路模型并联形式的电路模型并联形式的电路模型7.4.4 互感元件互感元件在时域中，有在时域中，有L1i2(t)L2Mi1(t)u1(t)u2(t)sL1I2(s)sL2sMI1(s)U1(s)U 2(s)L 1i1(0-)M i2(0-)L2i2(0-)M i1(0-)dtdiMdtdiLudtdiMdtdiLu1

37、2222111)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111-MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsU对等式两边取拉氏变换有对等式两边取拉氏变换有sM)0(1-Mi)0(2-Mi互感运算阻抗互感运算阻抗附加电压源的方向与电流附加电压源的方向与电流i1、i2的参考方向有关。的参考方向有关。 附加的电压源附加的电压源耦合电感元件耦合电感元件 复复频频域域形形式式 7.4.5 受控源受控源线性受控源电路，在时域电线性受控源电路，在时域电路中满足路中满足 U1(s)= I1(s)R，U2(s)= U1(s)u1=i1R，u2=u1对等式两边取拉氏变换有对等

38、式两边取拉氏变换有R1i1u1 u2u1 U2(s)U1(s)R1U1(s)I1(s) 线性受控源线性受控源受控源的复频域形式受控源的复频域形式 把时域电路变换成它的等效运算电路（复频域电路）把时域电路变换成它的等效运算电路（复频域电路） 以以RLC串联电路为串联电路为例例 RSu(t)(t 00uCCi(t)LRSU(s)(t 00I(s)Li(0-)sL1sCuC(0-)s RLC串联电路串联电路 等效运算电路等效运算电路 由等效运算电路可直接写出电路的运算形式的代数方程由等效运算电路可直接写出电路的运算形式的代数方程)()0()(1)0()()(sUsusIsCLissLIsRIC-su

39、LisUsIsCsLRC)0()0()()()1(-suLisUsIsZC)0()0()()()(-即即)()0()(1)0()()(sUsusIsCLissLIsRIC-sCsLRsZ1)(sCsLRsZsY11)(1)(RLC串联电路的串联电路的运算阻抗运算阻抗 RLC串联电路的串联电路的运算导纳运算导纳 式中式中 )()()(sUsIsZ)()()(sIsUsY或者或者运算形式的欧姆定律运算形式的欧姆定律在零值初始条件下，在零值初始条件下，i(0-)=0，uC(0-)=0，则有，则有 在画复频域电路时，应注意电路中的在画复频域电路时，应注意电路中的电压、电流电压、电流均用均用象象函数函数

40、表示，同时表示，同时元件元件用用运算阻抗或运算导纳运算阻抗或运算导纳表示，且表示，且电电容电压和电感电流初始值容电压和电感电流初始值用用附加电源附加电源表示。表示。 例例E E (t)i1RRLCLi2I1(s)RRLsLI2(s)1sCEs 时域电路时域电路复频域电路复频域电路7.5 电路的拉普拉斯变换分析法电路的拉普拉斯变换分析法 0)(sI 0)(sU)()()(sIsZsU)()()(sZsYsI拉普拉斯变换法把时间函数变换为对应的象函数，把线性电拉普拉斯变换法把时间函数变换为对应的象函数，把线性电路的求解归结为求解以象函数为变量的线性代数方程。路的求解归结为求解以象函数为变量的线性代

41、数方程。对任一回路对任一回路对任一节点对任一节点对于复频域电路对于复频域电路 ，两类约束关系为，两类约束关系为应用拉氏变换分析线性电路的应用拉氏变换分析线性电路的步骤步骤：（4）通过拉氏反变换得出时域中响应电压和电流。通过拉氏反变换得出时域中响应电压和电流。（2）画出换路后的等值运算电路；画出换路后的等值运算电路；（3）应用电路分析方法求出响应电压、电流的象函数；应用电路分析方法求出响应电压、电流的象函数；（1）求出换路前电路中所有电容元件上的初始电压求出换路前电路中所有电容元件上的初始电压uc (0-) 和所有电感元件上的初始电流和所有电感元件上的初始电流iL (0-)；例例1解解电路如图所

42、示，电路如图所示， ，开关，开关s闭合前电路处闭合前电路处于稳态，在于稳态，在t = 0时开关时开关S闭合，求电路中闭合，求电路中iL及及uC V100)0(-Cu1000 F0.1HuC200ViLS10103030开关闭合前电路已处于稳态，所以开关闭合前电路已处于稳态，所以 (0 )5ALi- V100)0(-Cu已知已知 可得运算电路可得运算电路 0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)0.1s3010IL(s)100s1000s0.5200sUC(s)I1(s)I2(s)5 . 0200)(10)1 . 040)(21-ssIssIssIssI100)()100010()(10-21设回路电流为设回路电流为I1(s)、I2(s), 应用回应用回路电流法，可列出方程为路电流法，可列出方程为解得解得221)200()40000700(5)(sssssI22222111)200(15005)200(200)(sssKsKsKsI求其反变换得原函数为求其反变换得原函数为AttetititL)()15005()()(2001-Attetit)()15005()(2001-电容上的电压为电容上的电压为21)200(300002001505 . 0)()(-ssssLIsUC