抛物线-解析几何_2012高考一轮数学精品课件

1、返回目录返回目录 1.抛物线的定义 平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)距距离离 点的轨迹叫做抛物线点的轨迹叫做抛物线.点点F叫做抛物线叫做抛物线的的 ,直线直线l叫做抛物线的叫做抛物线的 .相等相等 焦点焦点 准线准线 返回目录返回目录 2.抛物线的标准方程和几何性质(如表所示) 标准方程标准方程y y2 2=2px(p0)=2px(p0)y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)图形图形性性质质范围范围x x0 x x0准线方程准线方程x xx x焦点焦点( )( )对称轴对称轴关于关于 对称对称顶点顶点（0 0，0 0）离心率离心率e

2、=p,02p,02-p2p2x轴轴 1 1 返回目录返回目录 标准方程标准方程x x2 2=2py(p0)=2py(p0)x x2 2=-2py(p0)=-2py(p0)图形图形性性质质范围范围y0y0准线方程准线方程x xx x焦点焦点( )( )对称轴对称轴关于关于 对称对称顶点顶点（0 0，0 0）离心率离心率e=p0,2p2-p0,2y轴轴 -p2返回目录返回目录 已知抛物线已知抛物线y2=2x的焦点是的焦点是F,点点P是抛物线上的动点是抛物线上的动点,又又有点有点A(3,2),求求|PA|+|PF|的最小值的最小值,并求出取最小值时并求出取最小值时P点的坐标点的坐标.由定义知由定义知

3、,抛物线上点抛物线上点P到焦点到焦点F的距离等的距离等于于P到准线到准线l的距离的距离d,求求|PA|+|PF|的问题可转化为的问题可转化为|PA|+d的问题的问题.返回目录返回目录 将将x=3代入抛物线方程代入抛物线方程y2=2x,得得y= . 2,A在抛物线内部在抛物线内部. 如图，设抛物线上点如图，设抛物线上点P到准线到准线l:x=- 的距离为的距离为d,由定义知由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d, 当当PAl时时,|PA|+d最小最小, 最小值为最小值为 ,即即|PA|+|PF|的最小值为的最小值为 ,此时此时P点纵坐标点纵坐标为为2,代入代入y2=2x,得得x=2, 点点P坐标

4、为坐标为(2,2).66127272重视定义在解题中的应用重视定义在解题中的应用,灵活地进行抛灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离到准线距离的等价转化物线上的点到焦点的距离到准线距离的等价转化,是解是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.返回目录返回目录 已知点已知点P在抛物线在抛物线y2=4x上上,那么当点那么当点P到点到点Q(2,-1)的距的距离与点离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点点P的坐的坐标为（标为（ ）A.( ,-1) B.( ,1)C.(1,2) D.(1,-2)A(1)点点P到焦点距离等于点到焦点距离等于点P

5、到准线距离到准线距离,即求点即求点P到点到点Q与点与点P到准线距离之和最小时到准线距离之和最小时P点坐标点坐标,当当QP垂直准线垂直准线时时,所求距离之和最小所求距离之和最小,P点纵坐标点纵坐标y0=-1,x0= ,P( ,-1).故应选故应选A.)1414返回目录返回目录 1414返回目录返回目录 试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应并求对应抛物线的准线方程抛物线的准线方程:(1)过点过点(-3,2);(2)焦点在直线焦点在直线x-2y-4=0上上.按先定位按先定位,再定量的原则求抛物线方程再定量的原则求抛物线方程. (1)设所求的抛物线为设

6、所求的抛物线为y2=-2px(p0)或或x2=2py(p0), 过点过点(-3,2),4=-2p(-3)或或9=2p2， p= 或或p= . 所求的抛物线方程为所求的抛物线方程为y2=- x或或x2= y,前者的前者的准线方程是准线方程是x= ,后者的准线方程是后者的准线方程是y=- .返回目录返回目录 239443981392返回目录返回目录 (2)令令x=0得得y=-2,令令y=0得得x=4,即抛物线的焦点为即抛物线的焦点为(4,0)或或(0,-2). 当焦点为当焦点为(4,0)时时, =4,p=8. 此时抛物线方程为此时抛物线方程为y2=16x. 当焦点为（当焦点为（0，-2）时，）时，

7、 =2，p=4， 此时抛物线方程为此时抛物线方程为x2=-8y. 故所求的抛物线方程为故所求的抛物线方程为y2=16x或或x2=-8y，对应的，对应的准线方程分别是准线方程分别是x=-4或或y=2.p2p2返回目录返回目录 求抛物线方程的基本方法仍然是待定系数求抛物线方程的基本方法仍然是待定系数法，需要注意的是：（法，需要注意的是：（1）当坐标系已建立时，应根据条）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型的哪一种；（件确定抛物线方程属于四种类型的哪一种；（2）要注意）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；（应

8、关系；（3）要注意焦参数）要注意焦参数p的几何意义，并利用它的的几何意义，并利用它的几何意义来解决问题，特别是当顶点不在原点时，更要几何意义来解决问题，特别是当顶点不在原点时，更要注意利用参数注意利用参数p的几何意义，以及焦点到顶点的距离和的几何意义，以及焦点到顶点的距离和顶点到准线的距离均为顶点到准线的距离均为 来求其方程来求其方程.这里易犯的错误就这里易犯的错误就是缺少对开口方向的讨论，设定一种形式的标准方程后是缺少对开口方向的讨论，设定一种形式的标准方程后求解，以致失去一解求解，以致失去一解. 反过来，也要注意由抛物线方程读有关信息，如参反过来，也要注意由抛物线方程读有关信息，如参数数p

9、及顶点坐标，进而求出有关几何性质及顶点坐标，进而求出有关几何性质.p2返回目录返回目录 根据下列条件求抛物线的标准方程：根据下列条件求抛物线的标准方程：（1）抛物线的焦点是双曲线）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；的左顶点；（2）过点）过点P(2,-4);（3）抛物线焦点）抛物线焦点F在在x轴上，直线轴上，直线y=-3与抛物线交于点与抛物线交于点 A，|AF|=5.返回目录返回目录 （1）双曲线方程化为）双曲线方程化为 ，左顶点为，左顶点为(-3,0)， 由题意设抛物线方程为由题意设抛物线方程为y2=-2px(p0)且且- =-3,p=6, 方程为方程为y2=-12x. （

10、2）由于）由于P(2，-4)在第四象限且对称轴为坐标轴，在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为可设方程为y2=mx或或x2=ny，代入，代入P点坐标求得点坐标求得m=8,n=-1,所求抛物线方程为所求抛物线方程为y2=8x或或x2=-y. （3）设所求焦点在）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为轴上的抛物线方程为y2=2px(p0)，A(m,-3)，由抛物线定义得，由抛物线定义得5=|AF|=|m+ |，又又(-3)2=2pm,p=1或或p=9. 故所求抛物线方程为故所求抛物线方程为y2=2x或或y2=18x. 22xy-=1916p2p2已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛已知抛物线顶

11、点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上的一点物线上的一点A（m，-3）到焦点）到焦点F的距离为的距离为5，求，求m的的值，并写出此抛物线的方程值，并写出此抛物线的方程.因点因点A（m，-3）在直线）在直线y=-3上，所以抛上，所以抛物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情况，必物线的开口方向存在向左、向右、向下三种情况，必须分类讨论须分类讨论.返回目录返回目录 返回目录返回目录 若抛物线开口方向向下，设抛物线方若抛物线开口方向向下，设抛物线方程为程为x2=-2py（p0），这时准线方程为），这时准线方程为y= ， 由抛物线定义知由抛物线定义知 -（-3）=5，解得，解得p=4， 抛物线方程为

12、抛物线方程为x2=-8y， 这时将点这时将点A（m，-3）代入方程，得）代入方程，得m=2 . 若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方若抛物线开口方向向左或向右，可设抛物线方程为程为y2=2ax（a0）,从从p=|a|知准线方程可统一成知准线方程可统一成x= - 的形式，于是从题设有的形式，于是从题设有 +m=5 2am=9p2p26a2a2解此方程组可得四组解解此方程组可得四组解: a1=1 a2=-1 a3=9 a4=-9 m1= ， m2=- ， m3= ， m4=- .y2=2x,m= ;y2=-2x,m=- ;y2=18x,m= ;y2=-18x,m=- .返回目录返回目录 121

13、2929292921212返回目录返回目录 抛物线的标准方程有四种抛物线的标准方程有四种,在求解过程中在求解过程中,首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式首先要根据题目描述的几何性质判断方程形式,若只能若只能判断对称轴判断对称轴,而不能判断开口方向而不能判断开口方向,可设为可设为x2=ay(a0)或或y2=ax(a0)，然后利用待定系数法和已知条件求解，然后利用待定系数法和已知条件求解.返回目录返回目录 设设P是抛物线是抛物线y2=4x上的一个动点上的一个动点.(1)求点求点P到点到点A（-1，1）的距离与点）的距离与点P到直线到直线x=-1的距的距离之和的最小值离之和的最小值;(2)若若B

14、（3,2），求），求|PB|+|PF|的最小值的最小值.如图所示，（如图所示，（1）抛物线焦点为）抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为，准线方程为x=-1.P点到准线点到准线x=-1的距离等于的距离等于P点到点到F(1,0)的距离的距离,问题转化为问题转化为:在曲线在曲线上求一点上求一点P，使点，使点P到到A（-1,1）的距离与）的距离与P到到F（1，0）的距离）的距离之和最小之和最小.显然显然P是是AF的连线与抛物线的交的连线与抛物线的交点点,最小值为最小值为|AF|= .返回目录返回目录 5(2)同理同理|PF|与与P点到准线的距离相等点到准线的距离相等,如图如图:|P1Q|=|P1F|,

15、|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.|PB|+|PF|的最小值为的最小值为4.返回目录返回目录 返回目录返回目录 如图如图,有一块抛物线形钢板有一块抛物线形钢板,其垂其垂直于对称轴的边界线直于对称轴的边界线AB长为长为2r,高为高为4r,计划将此钢板切割成等计划将此钢板切割成等腰梯形的形状腰梯形的形状 ,以以 AB为下底为下底 ,上底上底CD的端点在抛物线上的端点在抛物线上 , 记记CD=2x,梯形面积为梯形面积为S.(1) 求面积求面积S,使其为以使其为以x为自变量的为自变量的函数式函数式,并写出其定义域并写出其定义域; (2)求面积求面积S的最大值的最大值.根据题意先建立

16、坐标系根据题意先建立坐标系,利用利用CD的长求出梯形的长求出梯形AB CD的高的高,进而表示梯形面积进而表示梯形面积;然后利用导数求面积然后利用导数求面积S的最大值的最大值.返回目录返回目录 (1)建立如图所示的平面直角坐标系建立如图所示的平面直角坐标系xOy,则则B(r,-4r). 设抛物线方程为设抛物线方程为x2=-2py(p0). 点点B(r,-4r)在抛物线上在抛物线上, r2=8pr,即即p= . 抛物线方程为抛物线方程为x2=- y. 又点又点C的横坐标为的横坐标为x,则则 点点C的纵坐标为的纵坐标为y= . 梯形梯形ABCD的高的高h=4r- . S= (2r+2x)(4r- )

17、= (x+r)(r2-x2),其定义域为其定义域为x|0 xr.r8r4-24xr24xr1224xr4r返回目录返回目录 (2)记记f(x)=(x+r)(r2-x2),0 xr,则则f(x)=r2-x2+(r+x)(-2x)=(r+x)(r-3x).令令f(x)=0得得x= .因为当因为当0 x0;当当 xr时时,f(x)0,所以所以f( )是是f(x)的最大值的最大值.因此因此,当当x= 时时,S也取得最大值也取得最大值,最大值为最大值为 = .即梯形面积即梯形面积S的最大值为的最大值为 .r3r3r3r3r34r4r328r92128r272128r27返回目录返回目录 “用料用料”问题

18、为应用题的基本类型之一问题为应用题的基本类型之一,其主要特点为其主要特点为:首先首先,要依据题目条件建立函数关系式要依据题目条件建立函数关系式,然后求解目标函数的最大值或最小值然后求解目标函数的最大值或最小值,最后将其还原为最后将其还原为实际问题来解决实际问题来解决.在本题的求解过程中合理建系在本题的求解过程中合理建系,求解抛求解抛物线的方程是解题的关键物线的方程是解题的关键,利用导数求解函数的最值为利用导数求解函数的最值为基本的解题方法基本的解题方法.某大桥在涨水时有最大跨度的某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔如图所示中央桥孔如图所示,已知上部呈已知上部呈抛物线形抛物线形,跨度为跨度为20米米 , 拱顶距拱顶距水面水面6米米 , 桥墩高出水面桥墩高出水面4图米图米.现有一货船欲过此孔现有一货船欲过此孔,该货船水下宽