中考数学专题复习测试题专题三新定义探究教师版

1、学习必备欢迎下载20XX年中考总复习专题三新定义探究一、基本运算新定义1.（ 2013?河北）定义新运算：对于任意实数 a， b，都有 a b=a（ a b） +1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： 2 5=2 ×（ 2 5） +1=2×（ 3）+1=6+1= 5（ 1）求（ 2） 3 的值；（ 2）若 3 x 的值小于 13，求 x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来解：（ 1） ab=a（ab） +1，（ 2） 3= 2（ 2 3）+1=10+1=11 ；（2） 3x 13， 3（3 x） +1 13， 93x+1 13， 3x 3，x 1在数轴上表示如

2、下：2.（1） 2 3 ( 2+3) (2 3)+2 3 ( 2+3) 1 ( 5)+ 23 1 5+6 1（2）因为ab ( a+b)(ab)+2 b( a+b)=a 2 b2 +2 ab +2b2 =ab2；ba ( b+a)( ba)+2 a( b+a)=b2 a2 +2 ab +2 a2 =ab 2所以 a b ba二、几何图形新定义1（ 2015?台州）定义：如图1，点 M ， N 把线段 AB 分割成 AM ， MN 和 BN，若以 AM ， MN ， BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ， N 是线段 AB 的勾股分割点（ 1）已知点M， N 是线段 AB 的勾股分割点

3、，若AM=2 ， MN=3 ，求 BN 的长；（ 2）如图 2，在 ABC 中， FG 是中位线，点D ，E 是线段 BC 的勾股分割点，且EC DEBD ，连接AD ，AE 分别交 FG 于点 M ， N，求证：点M ， N 是线段 FG 的勾股分割点；（ 3）已知点 C 是线段 AB 上的一定点，其位置如图 3 所示，请在 BC 上画一点 D ，使点 C， D 是线段 AB 的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；（ 4）如图 4，已知点 M ，N 是线段 AB 的勾股分割点， MN AM BN ， AMC ， MND 和 NBE 均为等边三角形， AE 分别交 CM

4、， DM ， DN 于点 F， G， H，若 H 是 DN 的中点，试探究 SAMF ， SBEN 和 S 四边形 MNHG 的数量关系，并说明理由学习必备欢迎下载（1）解：当MN为最大线段时，点M、N 是线段 AB 的勾股分割点， BN=；当 BN为最大线段时，点M、N 是线段 AB的勾股分割点， BN=，综上所述： BN=或；（2）证明： FG是ABC的中位线， FGBC， = =1，点 M、N 分别是 AD、AE的中点， BD=2FM， DE=2MN，EC=2NG，点 D、 E 是线段 BC的勾股分割点，且222222222ECDEBD，EC =BD+DE，（ 2NG） =（ 2FM）+

5、（ 2MN） ，NG=FM+MN，点 M、 N 是线段 FG的勾股分割点；（3）解：作法：在 AB 上截取 CE=CA；作 AE 的垂直平分线，并截取CF=CA；连接 BF，并作 BF 的垂直平分线，交 AB于 D；点 D 即为所求；如图所示： （ 4）解： S=S +S，理由如下：设AM=a， BN=b，MN=c，H 是 DN的中点， DH=HN= c，四边形 MNHGAMF BENMND、BNE 均为等边三角形， D=DNE=60°，在 DGH和NEH中， DGHNEH（ASA），DG=EN=b，MG=c b，GMEN， AGMAEN，2，c=2abac+bc，点 M、N 是线段

6、 AB的勾股分割点，2222=（ba） c，又 bac，a=b，在 DGH和CAF中， DGHCAF（ ASA），c=a +b ，（ ab）222，222SDGH=S CAF，c=a +bc =a +b ，SDMN=SACM+SENB ，SDMN=SDGH+S 四边形 M NHG，SACM=SCAF+SAMF，S四边形 MNHG=SAMF+SBEN2（ 2015?嘉兴）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形 ”（ 1）概念理解：如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件使得四边形ABCD 是 “等邻边四边形 ”请写出你添加的一个条件（ 2）问题探究： 小

7、红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形 ”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由 如图 2，小红画了一个Rt ABC ，其中 ABC=90 °， AB=2 ， BC=1 ，并将 Rt ABC 沿 ABC 的平分线 BB 方向平移得到A BC，连结 AA ，BC，小红要使平移后的四边形ABC A是“等邻边四边形 ”，应平移多少距离（即线段BB 的长）？（ 3）拓展应用：如图 3， “等邻边四边形 ”ABCD 中， AB=AD ， BAD+ BCD=90 °， AC ， BD 为对角线， AC= AB ，试探究BC， CD ，BD 的数量关系解：（1）AB=BC或 BC=CD或 C

8、D=AD或 AD=AB（任写一个即可） ；（ 2）正确，理由为：四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形，四边形是“等邻边四边形”，这个四边形有一组邻边相等，这个“等邻边四边形”是菱形；学习必备欢迎下载 ABC=90°， AB=2， BC=1，AC=，将 RtABC平移得到 ABC， BB=AA，ABAB，AB=AB=2，BC=BC=1，AC=AC=，（I ）如图1，当 AA=AB 时，BB=AA=AB=2； （ II ）如图 2，当 AA=AC时，BB=AA=AC=；（ III）当 AC=BC=时，如图 3，延长 CB交 AB于点 D，则 CBAB， BB平分 ABC， AB

9、B=ABC=45°， BBD=ABB=45°BD=B，设BD=BD=x，则CD=x+1，BB=22222=（2x，在 RtBCD 中， BD+（CD） =（BC）x+（ x+1） ，解得： x 1=1， x2= 2（不合题意，舍去） ，BB=x=（）当 BC=AB=2 时，如图4，与（）方法一同理可得：BD2+（CD） 2=（BC） 2 ，设 BD=BD=x，则 x 2+（x+1）2 =22 ，解得： x 1=， x 2=（不合题意，舍去） ，BB=x=；（3） BC， CD， BD的数量关系为：222CF， ABFADC，BC+CD=2BD，如图 5，AB=AD，将 AD

10、C 绕点 A 旋转到 ABF，连接ABF=ADC， BAF=DAC， AF=AC，FB=CD，BAD=CAF，=1，ACFABD ，=，BD，BAD+ADC+BCD+ABC=360°，ABC+ADC360° （BAD+BCD） =360°90°=270°， ABC+ABF=270°，22=222222CBF=90°， BC +FB CF =（BD） =2BD，BC +CD=2BD3（2015?杭州）如图 1， O 的半径为 r（r 0）， 若点 P在射线 OP 上，满足 OP?OP=r2，则称点 P是点 P 关于 O 的 “

11、反演点 ” 如图 2， O 的半径为4，点 B 在 O 上， BOA=60 °， OA=8 ，若点 A ，B 分别是点A ， B 关于 O 的反演点，求 A B的长解：设 OA交O于 C，连结 BC，如图2，OA?OA=42，而 r=4 ，OA=8，OA=2，OB?OB=4 2，OB=4，即点 B 和 B重合， BOA=60°，OB=OC， OBC为等边三角形，而点A为 OC的中点， BAOC，在 RtOAB中， sin AOB=，AB=4sin60 °=2三、函数新定义1（2015?扬州）平面直角坐标系中，点 P（x，y）的横坐标x 的绝对值表示为|x| ，纵坐

12、标 y 的绝对值表示为|y|，我们把点P（ x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（ x，y）的勾股值， 记为P，即P=|x|+|y|（其中的 “+”是四则运算中的加法）（ 1）求点 A （ 1， 3）， B（+2， 2）的勾股值A、 B；（ 2）点 M 在反比例函数 y= 的图象上，且 M =4，求点 M 的坐标；（ 3）求满足条件 N =3 的所有点 N 围成的图形的面积解：（ 1） A（ 1，3），B（+2，2）， A =|1|+|3|=4，B =|+2|+| 2|=+2+2=4；（2）设：点M 的坐标为（ m，n），由题意得解得：，学习必备欢迎下载 M （1，3），（ 1， 3）

13、，（ 3，1），（ 3， 1）（ 3）设 N 点的坐标为（ x， y）， N=3， |x|+|y|=3， x+y=3 ， x y=3，x y=3， x+y=3 ， y=x+3， y= x 3， y=x 3，y=x+3 ，如图：所有点 N 围成的图形的面积 =3=182（ 2015?河南）如图，边长为8 的正方形OABC 的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A ，点 P是抛物线上点A ，C 间的一个动点（含端点），过点 P 作 PF BC 于点 F，点 D、E 的坐标分别为（0，6），（ 4， 0），连接 PD、 PE、 DE （ 1）请直接写出抛物线的解析式；（ 2）小明探究点 P

14、的位置发现：当 P 与点 A 或点 C 重合时， PD 与 PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点P， PD 与 PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（ 3）小明进一步探究得出结论： 若将 “使 PDE 的面积为整数 ”的点 P 记作 “好点 ”，则存在多个 “好点 ”，且使 PDE 的周长最小的点 P 也是一个 “好点 ”请直接写出所有 “好点 ”的个数，并求出 PDE 周长最小时 “好点 ”的坐标解：（ 1）边长为8 的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C 为顶点的抛物线经过点A， C（ 0，8），A（ 8， 0），设抛物线解析式为：y=ax2 +c，则，解得：故抛物

15、线的解析式为：y=x 2+8；（2）正确，理由：设 P（ a， a2+8），则 F（ a，8）， D （0， 6）， PD= a2 +2，PF=8（ a2+8） = a2， PDPF=2；（ 3）在点 P 运动时， DE 大小不变，则PE 与 PD 的和最小时， PDE 的周长最小， PDPF=2， PD =PF+2， PE+PD=PE+PF+2，当 P、E、 F 三点共线时， PE+PF 最小，此时点 P，E 的横坐标都为 4，将 x= 4 代入 y= x2+8，得 y=6， P（ 4，6），此时 PDE 的周长最小，且 PDE 的面积为 12，点 P 恰为 “好点， PDE 的周长最小时

16、”好点 “的坐标为：（ 4，6），由（ 2）得： P（ a， a2+8），点 D、E 的坐标分别为（0，6），（ 4，0）， 当 4a 0 时， SPDE=； 4 S PDE12， 当 a=0 时， SPDE=4， 8 a 4 时， SPDE=（a2+8+6） ×（ a）× ×4×6（ a4）×（a2 +8） × = a23a+4，4S PDE13， 当 a= 8 时，S PDE=12， PDE 的面积可以等于 4到 13 所有整数， 在面积为 12时，a 的值有两个，所以面积为整数时好点有11 个，经过验证周长最小的好点包含这11

17、个之内，所以好点共 11 个， 11 个好点， P（ 4， 6）学习必备欢迎下载3、（ 2011?河北）如图，在平面直角坐标系中，点P 从原点O出发，沿x 轴向右以毎秒1 个单位长的速度运动t 秒（ t 0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A （1，0），B （ 1， 5），D （4，0）（1）求c， b（用含t 的代数式表示）：（ 2）当4 t 5 时，设抛物线分别与线段AB， CD交于点M，N在点P 的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值；求 MPN的面积S与t的函数关系式，并求t 为何值时，；（ 3）在矩形 ABCD的内部（不含边界） ，把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围若抛物线将这些“好点”解：（ 1）把 x=0，y=0