高中数学平面几何之直线与圆习题精选精解

1、优秀学习资料欢迎下载平面解析几何初步：圆与直线一、选择题1、设 M1020001, N1020011 ， P1020009 , Q1020019，则 M与 N、P与Q的10200111020021102001100102002100大小关系为()A.M N,P QB.M N,P QC.M N,P QD.M N,P Q解：设点 A( 1,1) 、点 B(102001 ,102000 ) 、点 C (102002,10 2001) ，则 M、N 分别表示直线AB 、AC的斜率， BC 的方程为 y1 x ，点 A 在直线的下方，K ABK AC ，即 MN；同理，得 PQ 。10答案选 B。仔细体

2、会题中4 个代数式的特点和“数形结合”的好处2、已知两圆相交于点 A(1,3)和点 B(m,1)，两圆圆心都在直线l : xyc0 上，则 mc 的值等于()A-1 B 2 C3D0解：由题设得：点A, B 关于直线 xyc0 对称 , kAB411m 5 ；m1kl线段 AB 的中点 (3,1) 在直线 xyc0 上， c2mc 3，答案选 C。3、三边均为整数且最大边的长为11 的三角形的个数为()A.15B.30C.36D.以上都不对解：设三角形的另外两边长为x,y,则0x110 y 11 ；注意“ =”号，等于 11 的边可以多于一条。x y 11点 ( x, y) 应在如右图所示区域

3、内：当 x=1 时， y=11；当 x=2 时， y=10,11；当 x=3 时， y=9,10,11 ；当x=4 时， y=8,9,10,11 ；当 x=5 时， y=7,8,9,10,11。以上共有再加 (6， 6）， (7， 7）， (8，8）， (9， 9）， (10， 10）、(11，15 个， x,y 对调又有15 个。11），共 36 个，答案选C。4、设 m 0，则直线2( xy) m10 与圆 x2y 2m 的位置关系为（）A. 相切B.相交C. 相切或相离D.相交或相切解：圆心 (0,0)1m，圆半径 rm 。到直线的距离为 d2 d r1 mm1 ( m 1)20 ，22

4、优秀学习资料欢迎下载直线与圆的位置关系是相切或相离，答案选C。5、已知向量 m(2cos,2sin),n(3cos,3sin),若 m 与 n 的夹角为60 ，则直线l : x cosy sin10与圆 C : (xcos)2( ysin) 21的位置关系是（）22A相交但不过圆心B相交过圆心C 相切D相离解：m n6(cos cossin sin)cos()cos6001 ，| m | | n |2 32圆心 C (cos, sin) 到直线 l的距离 d| cos()1 |12r ，22直线与圆相离，答案选D。复习向量点乘积和夹角余弦的计算及三角函数公式6、已知圆 O : ( x3)2(

5、y5) 236 和点 A(2,2), B(1,2) , 若点 C 在圆上且ABC 的面积为5 , 则满足条件的点C 的个数是（）2A.1B.2C.3D.4解: 由题设得：AB5，S ABC5，点C到直线AB的距离d,21直线 AB 的方程为 4x3 y20 , 与直线 AB 平行且距离为l1 : 4 x3 y301 的直线为l2: 4 x3 y70得：圆心 O (3,5) 到直线 l1 的的距离 d16r , 到直线 l2 的距离为 d24 r ,圆 O 与直线 l1 相切；与直线 l2 相交 ,满足条件的点 C 的个数是3，答案选 C7、若圆 C1 : (xa)2( yb) 2b21始终平分

6、圆 C2 : (x1)2( y1)24 的周长 , 则实数 a, b应满足的关系是()A a22a2b3 0B a22a 2b 5 0C a22b22a2b 1 0D 3a 22b22a 2b 1 0解：公共弦所在的直线l 方程为：(x1)2( y1)2 -4-( xa) 2( yb)2 -b2 -1=0 ，即： 2(1a) x 2(1b) ya210 ，圆 C1 始终平分圆 C2 的周长，圆 C2 的圆心1,1 在直线 l 上 ,2(1a)2(1b)a210 ，即 a22a2b50 ，答案选 B。8、在平面内 , 与点 A(1,2) 距离为 1,与点 B(3,1) 距离为2 的直线共有()A

7、.1条B. 2条C. 3条D. 4条解：直线 l与点 A(1,2) 距离为1，所以直线 l是以 A 为圆心 1 为半径的圆的切线，同理直线 l 也是以 B 为圆心 2 为半径的圆的切线，即两圆的公切线，AB53 ，两圆相交，公切线有2 条，答案选 B。想一下，如果两圆相切或相离，各有几条公切线？优秀学习资料欢迎下载B二、填空题1、直线 2xy 4=0 上有一点 P，它与两定点A(4， 1)， B(3 ，4)的C距离之差最大，则P 点坐标是 _ _.AB解： A 关于 l 的对称点 A， A B 与直线 l 的A交点即为所求的P 点。得 P(5， 6）。P想一想，为什么，与直线l的交点即为所求的

8、P点？A BP如果 A、B 两点在直线的同一边，情况又如何？2、设不等式2x1解：原不等式变换为设： f (m)( x22x22x即：2x22xm(x21) 对一切满足m2的值均成立，则x 的范围为。(x2 1)m(12x)0 ，1)m(12x) ， (2m2) ，按题意得：f ( 2) 0, f (2)0 。3071x31 。10223、已知直线 l : xy40 与圆 C : x12y122 ，则 C 上各点到 l 的距离的最大值与最小值之差为。解： 圆心 C 1,111422r2 ，到直线的距离 =11直线与圆相离，C 上各点到 l 的距离的最大值与最小值之差= 2r = 2 2。x21

9、t4、直线2为参数)被圆x2y24截得的弦长为 _ 。1 t(ty12解：直线方程消去参数t 得： x y10，圆心到直线的距离12d，弦长的一半为2222(2) 214，得弦长为14 。225、已知圆 M : (xcos)2( ysin)21 ，直线 l : ykx ，以下命题成立的有_。对任意实数 k 与 ，直线 l 和圆 M 相切；对任意实数 k 与 ，直线 l 和圆 M 有公共点；对任意实数 ，必存在实数 k ，使得直线 l 和圆 M 对任意实数 k ，必存在实数 ，使得直线 l 和圆 M相切相切解：圆心坐标为 Mcos ,sindk cossink2（ ）sin() 1 r ，所以命

10、题成立。1sin1 k 21 k2优秀学习资料欢迎下载仔细体会命题的区别。6、点 A(3，3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射， 反射光线与圆 C : x2y24x4 y70相切，则光线 l 所在直线方程为 _。解：光线 l所在的直线与圆C 关于 x 轴对称的圆 C ' 相切。圆心 C ' 坐标为2,2，半径 r1，直线过点 A( 3， 3)，设 l 的方程为： y3k (x3)，即： kxy3k30圆心 C ' 到直线 l 的距离 d2k23k31，12k 225K120k 21解得： k4或 k3，得直线 l的方程： 4x 3y30 或 3x4 y30

11、。347、直线 ym x 与圆 x2y2mxny40 交于 M 、N 两点，且 M 、N 关于直线 xy02对称，则弦 MN 的长为。解：由直线 ym x 与直线 xy 0 垂直m2 ，由圆心在直线 xy0 上n2 ，2110圆方程为 ( x 1)2( y1)26 ，圆心为1,1 ，圆心到直线的距离d2 ，11弦 MN 的长 = 2 r 2d 226248 、 过圆 x2y24内 一 点A(1,1)作一弦交圆于 B、C 两点, 过点 B、C 分别作圆的切线PB、PC ，两切线交于点P ，则点 P 的轨迹方程为。解：设 P(x0, y0 ) , 根据题设条件，线段BC 为点 P 对应圆上的切点弦

12、，直线 BC 的方程为 x0 xy0 y4 ,A点在 BC 上，x0y04 ,即 P 的轨迹方程为：xy4 。注意掌握切点弦的证明方法。三、解答题1、已知过原点O 的一条直线与函数ylog 8 x 的图象交于 A、 B 两点，分别过点A、 B 作 y 轴的平行线与函数 ylog 2 x 的图象交于 C、 D 两点。（1）证明：点 C、D 和原点 O 在同一直线上； （2）当 BC 平行于 x 轴时，求点 A 的坐标。解：（ 1）设 A、 B 的横坐标分别为x1、 x2 ，由题设知 x11、 x21得点 A( x1,log 8 x1 )、 B(x2 ,log 8x2 ) ， C ( x1 ,lo

13、g 2x1 )、 D ( x2 ,log 2x2 ) ，A、B 在过点 O 的直线上，log8x1log 8 x2，3log 8 x1x1x2log21log2x23log 8 x2、kOCx， kOD，得： kOCkOD ，x1x1x2x2O、C D 共线。（ 2）由 BC 平行于 x 轴，有 log 2 x1log 8 x2x2x13代入 log 8x1log 8 x2，得 x13 log 8 x1 3x1 log 8x1 ，x1 1,log 8 x10x1x2优秀学习资料欢迎下载x133x1， x3，得 A(3,log83) 。12、设数列 an的前 n 项和 Snna n(n1)b ，

14、 (n 1,2,) ， a、 b 是常数且 b 0 。（1）证明：an是等差数列；（2）证明：以 an , Sn1为坐标的点 Pn ， (n1,2,) 落在同一直线上，并求直线方程。n（ 3）设 a1,b1， C 是以 (r , r ) 为圆心， r 为半径的圆 (r 0) ，求使得点 P1 、P2、P3 都落2在圆 C 外时， r 的取值范围。解：（ 1）证明：由题设得a1S1a ；当 n 2 时，anSnSn1nan(n1)b(n1)a(n1)(n2)ba2(n 1)b ，anan 1a 2(n1)ba2(n2)b2b。所以an 是以 a 为首项，2b为公差的等差数列。证毕；（ 2）证明：

15、 b0 ，对于 n2，Sn1S11nan(n1)ba( n 1)b1kP Pn1an 1ana1a2(n1)ba2(n1)b2以an, Sn1为坐标的点Pn ， (n1,2,) 落在过点 P1 (a, a1)，斜率为1 的同一直线上，n2此直线方程为：y(a1)1 ( xa) ，即 x2 ya20 。2（ 3）解：当 a1,b1时，得 P11,0、 P22, 1、 P33,1，都落在圆 C 外的条件是22( r 1)2r 2r 2(r12)0( r 1)2( r1 ) 2r 2r 25r170222242( r3)( r1)r8r100r由不等式，得r 1由不等式，得r 5 2 或 r 5+2

16、22由不等式，得r 46 或 r 4+6再注意到 r 0，1 52 46 = 5+ 24+622使 P1、 P2、 P3 都落在圆 C 外时， r 的取值范围是 (0， 1) (1, 5 2 )(4+ 6 ,+ )。23、已知 a1、 b1、 c1 ，求证： abc2abc证一： a11a1， b11b1， c11c1b1bc11bc1 ，c1优秀学习资料欢迎下载设函数 yf ( a)abc2(abc)(bc1)a(1b)(1c) ，则：f ( 1)(1bc)(1b)(1c)0f (1)(bc1)(1b)(1c)(1b)(1c) 0当 a( 1,1)，即 a1 时，上述函数yf (a) 表示的

17、直线都在a 轴上方，即：a1 、 b1 、 c1，不等式 abc2a bc 成立，证毕。因为题中变量较多，考虑“固定”某变量（这里是 a），然后利用一次函数的性质来证明代数不等式的方法值得借鉴。证二：a1、，(a1)(b1)abab 10 ，即：abab1；b 1a1ab1、 c1abcabc1（将 ab 看作一个数， 利用的结论 ）b1由式得 abab1， a b1c abcabc 1 ，即： abc2abc ，证毕。a bcdeabcde 4 ，仔细体会上述递推证明的方法，你能进一步推广运用吗？如试证明其中 a, b, c, d, e(1,1) 。4、求与圆 x2y25 外切于点 P( 1

18、,2) ，且半径为2 5 的圆的方程C (a, b) ，则(a1)2(b2)2(2 5)2a3b2解一：设所求圆的圆心为（ ）b 6，a11所求圆的方程为( x3)2( y6)220。注：因为两圆心及切点共线得（1）式解二：设所求圆的圆心为C (a, b) ，由条件知 OP1 OC( 1,2)1 (a,b)a333，所求圆的方程为 ( x3) 2( y6)220 。b 6仔细体会解法2，利用向量表示两个圆心的位置关系，同时体现了共线关系和长度关系，显得更简洁明快，值得借鉴。y5、如图，已知圆心坐标为M (3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线Dy3x均相切，切点分别为A、B，另一圆 N 与圆 M

19、 、Nx 轴及直线 y3x均相切，切点分别为C、D。（ 1）求圆 M 和圆 N 的方程；B（ 2）过 B 点作 MN 的平行线 l ，求直线 l 被圆 NM截得的弦的长度；xOAC解：（ 1）由于圆 M 与BOA 的两边相切，故 M 到 OA 及 OB 的距离均为圆M 的半径，则 M 在BOA 的角平分线上，同理，N 也在BOA 的角平分线上，即 O、M、N 三点共线，且 OMN 为BOA 的角平分线，M 的坐标为 M ( 3,1) ，M 到 x 轴的距离为1，即：圆 M 的半径为1，圆 M 的方程为 ( x3)2( y1)21；优秀学习资料欢迎下载设圆 N 的半径为 r ，由 Rt OAM

20、RtOCN ，得： OM : ONMA:NC,即21r3， OC33 ，圆 N 的方程为： ( x33) 2( y3) 29 ；3 rrA 点的 MN 的平行线被圆N 截得的弦长，（2）由对称性可知，所求弦长等于过此弦所在直线方程为y3 ( x3) ，即 x3y30 ，3圆心 N 到该直线的距离d333333，则弦长 = 2r 2d 233132注：也可求得 B 点坐标3,3，得过 B 点 MN 的平行线 l 的方程 x3y30 ，再根据圆22心 N 到直线 l 的距离等于3 ，求得答案33；还可以直接求A 点或 B 点到直线的距离， 进而求得弦长。26 、已知两圆C1 : x2y24； C2

21、 : x2y22x 4 y40，直线 l : x2y0 ，求经过圆C1、 C2 的交点且和直线 l相切的圆的方程。解：设所求圆的方程为x2y22x4 y4( x2y 24)0 ，即： (1) x2(1) y22 x4 y440 ，得：22圆心坐标为11,2；半径 r121416 1，1211所求圆与直线 l相切，圆心到直线的距离14224211611111r，解得1 ，舍去1d52所求圆的方程为： x2y2x2 y 0要熟练掌握过两圆交点的圆系的方程及公共弦的直线方程（=-1）7、如果实数 x 、 y 满足 ( x2)2y23，求 y 的最大值、2y x 的最小值。xy 的最大值。解：（ 1）

22、问题可转化为求圆( x2) 2y23 上点到原点的连线的斜率kx设过原点的直线方程为ykx ，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。得：2k03 ，k3 ，x3k21ymax（ 2）x, y 满足 ( x2) 2y23 ，x23 cosy3 sin2xy423cos3 sin415 sin()2xy min415 。注意学习掌握解 （2）中利用圆的参数方程将关于x,y的二元函数转化为关于角的一元函数， 从而方便求解的技巧。优秀学习资料欢迎下载8、已知圆 C : ( x1)2( y2) 225 ，直线 l : (2 m1)x(m1) y7m40 ， (mR) 。（ 1）证明：不论 m 取

23、什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（ 2）求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程 .解：（ 1）解法 1： l 的方程 ( xy4) m(2 x y7)0 ， ( mR)2xy70,x3,即 l恒过定点A(3,1)xy40,y1,圆心坐标为 C (1,2)，半径 r5， AC5r ，点 A 在圆 C 内，从而直线l 恒与圆 C 相交于两点。解法 2：圆心到直线 l 的距离 d| 3m1|， d 25( 4m3) 205m26m25m26m2d55r ，所以直线 l 恒与圆 C 相交于两点。（2）弦长最小时， lAC ，kAC121 ，kl2 ，2m12m3312m14代入 (2m 1)

24、x( m 1) y 7m 40 ，得 l的方程为 2xy50 。注意掌握以下几点： （ 1）动直线斜率不定，可能经过某定点；（ 2）直线与圆恒有公共点直线经过的定点在圆内，此结论可推广到圆锥曲线；（ 3）过圆内一点，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦。9、已知圆 C : ( x 3)2( y5) 2r 2 和直线 l : 4x3y2 0，（ 1）若圆 C 上有且只有 4 个点到直线 l 的的距离等于 1，求半径 r 的取值范围；（ 2）若圆 C 上有且只有 3 个点到直线 l 的的距离等于 1，求半径 r 的取值范围；（ 3）若圆 C 上有且只有 2 个点到直线 l 的的距离等于 1，求

25、半径 r 的取值范围；解一：与直线l : 4 x3y20 平行且距离为1 的直线有两条，分别为：l1 : 4 x3 y30 ， l 2 : 4 x3y70 ，注意掌握平行直线的表示方法及其距离计算。圆心 C 到直线 l1 的的距离为 d16 , 到直线 l2 的的距离为d24 , 则：（ 1）圆 C 上有且只有 4 个点到直线 l 的的距离等于 1（ 2）圆 C 上有且只有 3 个点到直线 l 的的距离等于 1（ 3）圆 C 上有且只有 2 个点到直线 l 的的距离等于 1解二：圆心 C 到直线 l 的距离 d5 ，则：（ 1）圆 C 上有且只有 4 个点到直线 l 的的距离等于 1（ 2）圆

26、 C 上有且只有 3 个点到直线 l 的的距离等于 1（ 3）圆 C 上有且只有 2 个点到直线 l 的的距离等于 1r4且 r6r6r4且 r6r6r4且 r64r6rd1r6，rd1r6，1rd14 r6解法 1 采用将问题转化为直线与圆的交点个数来解决，具有直观明了的优点，对解决这类问题特别有效；解法2 的着眼点是观察从劣弧的点到直线l 的最大距离 , 请仔细体会。10、已知 O 为原点，定点Q (4,0) ，点 P 是圆 x2y24 上一动点。（ 1）求线段 PQ 中点的轨迹方程；（ 2）设 POQ 的平分线交 PQ 于 R ，求 R 点的轨迹方程。解：（ 1）设 PQ 中点 M (x

27、, y) ，则 P(2 x4,2 y) ，代入圆的方程得( x 2)2y21。0 ， P(m, n) ，由 PROP21 ，P（ 2）设 R( x, y) ，其中 yRRQOQ42OQ优秀学习资料欢迎下载3x4m2，代入圆方程x2y24 并化简得：3yn24216 ( yxy20) 。 当 y=0 时，即 P 在 x 轴上时，POQ 的平分线无意义。39（1）本题的解法称作相关点转移法求轨迹，其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系；（ 2）处理“角平分线”问题，一般有以下途径：转化为对称问题利用角平分线性质，转化为比例关系利用夹角相等。11、如图所示，过圆O : x2y24 与 y 轴正半轴的交点A 作圆的切线 l ， M为 l 上任意一点，再过 M作圆的另一切线， 切点为Q，当点 M在直线 l上移动时， 求三角形 MAQ的垂心的轨迹方程。解：设 Q (x1, y1 )， AM 边上的高为QB， MQ 边上的高为 AC ，连