第23讲主应力及主切应力

1、金属塑性变形理论Theory of metal plastic deformation 第二十三讲第二十三讲Lesson Twenty-Three张贵杰张贵杰Zhang GuijieTel-Mail： 河北理工大学金属材料与加工工程系Department of Metal Material and Process EngineeringHebei Polytechnic University, Tangshan 0630092021-11-162第十章 应力状态分析主要内容Main Contento 应力状态基本概念应力状态基本概念 o 斜面上任一点应力状态分析斜面

2、上任一点应力状态分析 o 求和约定和应力张量求和约定和应力张量 o 主应力及主切应力主应力及主切应力 o 球应力及偏差应力球应力及偏差应力 2021-11-16310.4 主应力及主切应力主应力及主切应力o10.4.1 主应力的概念主应力的概念o 通过坐标变换可以找到只有正应力的通过坐标变换可以找到只有正应力的坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力称为称为主应力主应力，该坐标面为，该坐标面为主平面主平面。 2021-11-1642021-11-1652021-11-166主应力的求解主应力的求解o 如果取微分面如果取微分面ABC为主为主微分面，即该微分面上微分面，即该

3、微分面上只有主应力而没有切应只有主应力而没有切应力。这时，作用在此面力。这时，作用在此面上的全应力就是主应力。上的全应力就是主应力。用用 表示主应力，则它表示主应力，则它在各坐标轴上的投影为在各坐标轴上的投影为 nSmSlSnznynx2021-11-167o 代入到斜面应力方程中有代入到斜面应力方程中有nmlnSnmlmSnmllSzyzxznzzyyxynyzxyxxnx 000nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx整理后可得整理后可得又有又有1222nml（*）（*）2021-11-168o 由上面四个方程可求出主应力由上面四个方程可求出主应力 及其方向余及其方向余弦弦l、m、

4、n。显然，前三个方程构成一个齐。显然，前三个方程构成一个齐次方程组，显然不能有次方程组，显然不能有l = m = n = 0这样的这样的解。如要方程组有其他解时，必须取该方程解。如要方程组有其他解时，必须取该方程组的系数行列式为零，即组的系数行列式为零，即 0zyzxzzyyxyzxyxx2021-11-169o 展开此行列式，得展开此行列式，得2)(zyx3)(1zyxI )(222zxyzxyxzzyyx02222xyzzxyyzxzxyzxyzyx令令)(2222zxyzxyxzzyyxI22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxI则有则有032213III2021-11-1610o

5、 三次方程式称为三次方程式称为应力状态特征方程应力状态特征方程。此方程。此方程的三个根就是三个主应力，而这三个主应力的三个根就是三个主应力，而这三个主应力均为实根。由因式分解可知均为实根。由因式分解可知 0321 032113322123213由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方程，因此该式与应力状态特征方程全等。有程，因此该式与应力状态特征方程全等。有展开后得展开后得2021-11-1611应力张量不变量应力张量不变量zyxI13212222zxyzxyxzzyyxyzzxyyzxzxyzxyzyxI321 对同一点应力状

6、态，三个主应力的数值是一定的，而对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐标系改变。那么标系改变。那么I1、I2、I3 是不随坐标系改变的，分别称是不随坐标系改变的，分别称为为一次、二次和三次应力常量一次、二次和三次应力常量，或称为，或称为应力张量不变量应力张量不变量。2021-11-1612主应力的特点主应力的特点o 三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的o 将主应力将主应力 1代入（代入（*）式中的任何两个方程，）式中的任何两个方程，并与（并与（*）式联

7、立，可以求解出主应力）式联立，可以求解出主应力 1的的方向余弦方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主，同理，可以求解出主应力应力 2及及 3的方向余弦的方向余弦l2、m2、n2及及l3、m3、n3 。o 每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系0212121nnmml l0323232nnmmll0131313nnmmll2021-11-1613o 三个主应力均为实根三个主应力均为实根 o 主应力具有极值性质主应力具有极值性质o 三个主应力中的最大值赋给三个主应力中的最大值赋给 1，最小值赋给，最小值赋给 3，并按大小顺序排列，并按大小顺序排列 1 2

8、 3，则过该，则过该点任意微分斜面上的正应力中，点任意微分斜面上的正应力中， 1为最大值，为最大值， 3为最小值。为最小值。 2021-11-1614主坐标系主坐标系o 因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴与主应力方向一致，则构成与主应力方向一致，则构成主坐标系主坐标系，其坐，其坐标轴称为标轴称为主轴主轴。 2 12(y)3(z)1(x) 32021-11-1615o 在主坐标系下斜面上的应力为在主坐标系下斜面上的应力为nnmlSmnmlSlnmlSnnn333222111000000nmlSSSnnn321321000000或或232221nmln正应

9、力正应力321000000T为主应力张量为主应力张量2021-11-161610.4.2 主切应力和最大切应力主切应力和最大切应力 o 主切应力主切应力o 任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。极值切应力又称为主切应力。极值切应力又称为主切应力。 o 在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力o 上式中消去上式中消去n，得到，得到 n与与l、m的函数关系的函数关系 2221322232222212lnnmmln 2 32322312322322223212 mlmln 2021-11-1617o 当微分面转动时，切应力

10、随之变化。我们所求当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求的是，当的是，当l、m、n为何值时，微分面上的切应为何值时，微分面上的切应力取极值。由二元函数力取极值。由二元函数f(x,y)求极值的方法可求求极值的方法可求得微分面上的切应力的极值。得微分面上的切应力的极值。 0 2 0 2 32323223123223132322312321mmlmmflmlllf2 32322312322322223212 ),(mlmlmlfn2021-11-1618对此方程组求解分不同情况对此方程组求解分不同情况o 当当 1 2 3时，时，1） ，此解指主微分面上切应力为零，此解指主微分面上切应力为零2） 时

11、，时， 3） 时，时， 4） 时，此种情况不可能成立。时，此种情况不可能成立。 5）若方程中消去若方程中消去m，则有，则有1 , 0nml0 , 0ml21 0 21nml0 , 0ml 21 21 0nml0 , 0ml 0 21 21 nml2021-11-1619l0m0n02021-11-1620o 当当 1 2 3时，时，则切应力在通过该点的任则切应力在通过该点的任何微分面上为零。何微分面上为零。o 主切应力主切应力 o 最大切应力最大切应力22112232232311323113max2021-11-1621l000m000n000切应力切应力000正应力正应力1121211232

12、22123112323222123121212121主平面和主切平面上所作用的应力主平面和主切平面上所作用的应力 2021-11-1622练习o 已知变形体内某点的应力状态已知变形体内某点的应力状态 80027060027050T N/mm2 试求该点的主应力大小和主应力的方向余弦。试求该点的主应力大小和主应力的方向余弦。2021-11-1623o 解：解：80027060027050T （1 1） = 60MPa为一主应为一主应力。力。y面面y向向缩减应力张量的维数缩减应力张量的维数80272750T2021-11-1624080272750写出该张量的特征方程写出该张量的特征方程展开并求解展开并求解027)80)(50(20327113022327141301302MPa9 .95)2(MPa1 .34)3(2021-11-1625o 按大小顺序排列后，得到按大小顺序排列后，得到o 求求 1的方向余弦。将的方向余弦。将 1代入到（代入到（*）式中）式中MPa9 .951MPa1 .343MPa602080270275011nlnl与与 联立求解，因联立求解，因m = 0，所以有，所以有1222nml1588. 022nlnl解得：解得：862. 00507.