高中知识总结

1、高中数学知识点总结1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。如：集合 Ax|ylg x ，By|ylg x ，C(x, y)|ylg x ， A、 B、C中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。如：集合 Ax|x 22x30 ， Bx|ax1若 BA ，则实数 a的值构成的集合为1（答：1，0，）33. 注意下列性质：（ 1）集合 a1， a2 ，, ， an 的所有子集的个数是 2n ；（2）若ABABA，ABB；（3）德摩根定律：

2、CU ABCUACUB ，CU ABCUACUB4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于 x的不等式ax5M 且 5M ，求实数 ax20的解集为 M ，若 3a的取值范围。（ 3M ， a· 35032a， 59，25）a 1M ， a·553 5052a5. 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”( ) ，“且” ( ) 和“非” ( ).若 p q为真，当且仅当 p、q均为真若 p q为真，当且仅当 p、q至少有一个为真若 p为真，当且仅当 p为假7. 对映射的概念了解吗？映射 f：A B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应

3、元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数 yx 4x的定义域是lg x23（答： 0， 22， 33，4 ）10. 如何求复合函数的定义域？如：函数 f ( x)的定义域是a， b ， ba0，则函数 F(x )f ( x)f ( x )的定义域是 _。（答：a，a ）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？如： fx1exx，求 f (x).令tx1，则 t0xt 21f ( t)t21t21ex 21

4、x21 x 0 f ( x) e12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）1xx0如：求函数 f (x)2x的反函数x0x 1x1（答： f 1( x)x）x013. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设 yf(x) 的定义域为 A ，值域为 C，aA ，bC，则 f(a) = bf 1( b)af 1 f (a)f 1 (b)a， f f 1 (b)f (a)b6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？14. 如何用定义证明函数的单调性？（互为逆否关系的命题是等价命题。）

5、（取值、作差、判正负）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。如何判断复合函数的单调性？（ yf ( u) ， u( x)，则 yf(x)（外层）（内层）当内、外层函数单调性相同时 f ( x) 为增函数，否则 f(x) 为减函数。）如：求 ylog 1x22x 的单调区间2（设 ux 22x，由 u0则 0 x 2且 log 1 u， ux121，如图：2uO12x当 x(0，1时， u，又 log 1u， y2当 x1， 2)时， u，又 log 1u， y2 , ）15. 如何利用导数判断函数的单调性？在区间 a， b 内，若总有 f '( x)0则f (x)为增函数

6、。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若f '( x)0呢？如：已知 a 0，函数 f (x)x 3ax在 1，上是单调增函数，则 a的最大值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3（令 f '( x) 3x2a 3 xaxa033则 xa 或 xa33由已知 f (x)在 1，) 上为增函数，则a1，即 a 33a 的最大值为 3）16. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（ f(x) 定义域关于原点对称）若 f ( x)f ( x )总成立f (x)为奇函数函数图象关于原点对称若f (x)f (x) 总成立f ( x )为偶函数函数图象

7、关于 y轴对称注意如下结论：（ 1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（ 2）若 f(x) 是奇函数且定义域中有原点，则f(0)0。如：若 f ( x)a· 2 xa 2 为奇函数，则实数a2 x1（ f (x ) 为奇函数， xR，又 0 R， f (0)0即 a· 2 0a 20， a 1）201又如： f ( x) 为定义在 (1， 1)上的奇函数，当2 x，x ( 0， 1) 时， f ( x)4 x1求 f ( x) 在1，1 上的解析式。（令 x1， 0 ，则 x0， 1 ， f ( x)2 x

8、4 x1又 f ( x)为奇函数， f (x)2 x2 x4 x114x2xx，0)( 1又f( 0)， f x)4 x1x0）0(2 xx，14 x1017. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数 T（ T0），在定义域内总有 f xTf (x)，则 f ( x) 为周期函数， T 是一个周期。）如：若 f xaf ( x)，则（答： f ( x) 是周期函数， T2a为f ( x) 的一个周期）又如：若 f ( x) 图象有两条对称轴 xa， xb即f ( ax)f ( ax) ，f ( bx)f ( bx)则f ( x) 是周期函数， 2 ab 为一个周期如：18. 你掌握常用的图象变换

9、了吗？f (x) 与f (x) 的图象关于y轴 对称f (x) 与f (x) 的图象关于 x轴 对称f (x) 与f ( x )的图象关于 原点 对称f (x) 与 f1 ( x )的图象关于直线 yx 对称f (x) 与f ( 2ax) 的图象关于 直线 xa 对称f (x) 与f (2ax)的图象关于 点 ( a， 0) 对称将 y f ( x) 图象左移 a( a 0)个单位yf (xa)右移 a( a 0)个单位yf (xa)上移 b(b0)个单位yf ( xa)b下移 b(b0)个单位yf ( xa)b注意如下“翻折”变换：f (x)f ( x)f (x)f (| x|)如： f (

10、 x)log 2 x1作出 ylog 2 x1 及ylog 2 x1的图象yy=log 2xO1x(k<0)y(k>0)y=bO (a,b)Oxx=a（1）一次函数： ykxbk0（ 2）反比例函数： yk k0 推广为 ybkk0 是中心 O'( a， b)xxa的双曲线。2b 2（ 3）二次函数 yax2bxc a 0a xb4ac2a4a图象为抛物线顶点坐标为b ， 4acb 2，对称轴 xb2a4a2a开口方向： a0，向上，函数 ymin4acb24aa4acb20，向下， y max4a应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bx

11、 c 0，0时，两根 x 1、 x2 为二次函数 yax2bxc的图象与 x轴的两个交点，也是二次不等式 ax2bxc 0 (0) 解集的端点值。求闭区间m， n上的最值。求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。0如：二次方程 ax2bxc0的两根都大于 kbk2af (k )019. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？y(a>0)Okx1x2x一根大于 k，一根小于 kf ( k)0（ 4）指数函数： yaxa0，a1（ 5）对数函数 ylog a x a0，a1由图象记性质！（注意底数的限定！）yy=ax(a>1)(0<a<1)y=lo

12、g ax(a>1)1O1x(0<a<1)（ 6）“对勾函数”yxkk0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ykOkx20. 你在基本运算上常出现错误吗？指数运算： a01 ( a 0)， ap1ap ( a 0)mm1a nn am (a 0) ，a n(a 0)n am对数运算： log a M ·Nlog a Mlog a N M 0，N 0aMaa，an1al o gNl o g M l o g Nl o gMl o g Mn对数恒等式： alog a xx对数换底公式： log a blog c blog m bn nlog a blo

13、g c aam21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（ 1）xR， f ( x) 满足 f ( xy)f (x) f ( y) ，证明 f (x )为奇函数。（先令 xy0f (0)0再令 yx， , ）（ 2）xR，f (x)满足 f (xy)f ( x)f (y)，证明 f (x)是偶函数。（先令 xyt f (t )( t )f (t·t)f ( t)f ( t)f (t )f ( t) f ( t) f ( t), ）（ 3）证明单调性：f ( x 2 )fx 2x 1x 2,22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值

14、定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）如求下列函数的最值：（1） y2x3134x（ 2）y2 x4x3（ 3） x3， y2x 2x3（ 4） yx 49x 2 设 x3cos ，0，（ 5） y4x9 ， x(0，1x23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为 ，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？（ l·R， S扇1 l· R1·R2）22R1 弧度OR24. 熟记三角函数的定义，单位圆中三角函数线的定义s i nMP， c o sOM， t a nATyTBSPOMAx如：若0，则 sin， cos ， tan 的大小顺序是8又如：求函数y1

15、2 cosx 的定义域和值域。2（ 12 cosx ）12 sin x02 sin x2 ，如图：25x 2kk Z ， 0 y1 2 2k4425. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？s i nx1， c o sx1yytgxxO22对称点为k， 0 ， kZ2ysi nx的增区间为2k， 2k2kZ2减区间为2k， 2k3kZ22图象的对称点为 k， 0 ，对称轴为 xkk Z2yc o sx的增区间为2k， 2kkZ减区间为2k， 2k2kZ图象的对称点为k， 0 ，对称轴为 xkkZ2yt a nx的增区间为k2， kkZ226. 正弦型

16、函数 y = Asinx +的图象和性质要熟记。或y A cos x（1）振幅 |A |，周期 T2| |若fx 0A ，则 xx0 为对称轴。若fx 00，则 x 0， 0为对称点，反之也对。（ 2）五点作图：令x依次为0， ， 3， 2 ，求出 x与 y，依点22（ x， y）作图象。（ 3）根据图象求解析式。（求 A 、 、 值）( x1 )0如图列出( x2 )2解条件组求、 值正切型函数yA tanx， T|27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面先求出某一个三角函数值，再判定角的范围。如： cos x62 ， x， 3，求 x值。22（x375， x5， x13，x634）26

17、61228. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数 ysin xsin|x|的值域是（ x0时， y2 sin x2， 2 ，x0时， y0， y2， 2 ）29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：，x'xh（1）点 P（x，y）a ( h k)P' （x '，y '），则yk平移至y'（ 2）曲线 f (x， y)0沿向量 a(h， k ) 平移后的方程为 f ( xh， y k) 0如：函数y2 sin 2x1 的图象经过怎样的变换才能得到ysin x 的4图象？（ y2 sin 2x

18、1横坐标伸长到原来的2倍y 2 sin 21 x1424左平移4个单位上平移 1个单位2 sin x1y 2 sin x1y2 sin x纵坐标缩短到原来的1倍2 y sin x）30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如： 1 sin 2cos2sec2tan 2tan· cotcos · sectan4sincos0, 称为1的代换。2“ k·”化为的三角函数“奇变，偶不变，符号看象限”，2“奇”、“偶”指k 取奇、偶数。9tan7sin 21如： cos64sintan，则 y的值为又如：函数 ycotcosA. 正值或负值B. 负值C. 非负值D.

19、 正值sinsinsin2cos1cos（y0），coscos2sin0cos1sin31. 熟练掌握两角和、差、倍、 降幂公式 及其逆向应用了吗？理解公式之间的联系：s i ns i n c o s c o s s i n令s i n22 s i n c o sc o sc o s c o ssin sin令cos2cos2sin 2t a nt a n t a n21 12 sin21t a n · t a n2 c o s21c o s22 t a nc o s2t a n2221c o s21 t a ns i n2a s i nb cosa2b2 sin， tanbas i

20、 nc o s2 s i n4s i n3 cos2 sin3应用以上公式对三角函数式化简。 （化简要求：项数最少、函数种类最少，分母中不含三角函数，能求值，尽可能求值。）4具体方法：（ 1）角的变换：如，2,22（ 2）名的变换：化弦或化切（ 3）次数的变换：升、降幂公式（ 4）形的变换：统一函数形式，注意运用代数运算。sincos2，求 tan2的值。如：已知1， tan31cos2（由已知得：sin coscos12 sin 22sin1， tan2又 tan2321t ant a n1 t a n 2t a n32）1t an· t a n218·12332. 正、

21、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？如何实现边、角转化，而解斜三角形？余弦定理： a2b2c22bc cosAcosAb 2c2a22bc（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）abca2R sin A正弦定理：b2R sin Bsin Asin B2RsinCc2R sin CS 1 a· b s i nC2 A BC， ABC s i nABABCs i nC， s i n2cos如 ABC 中， 2 sin 2 AB22cos2C1（1）求角 C；（ 2）若 a2b 2 c 2，求 cos2Acos2B的值。2（ 1）由已知式得： 1cos AB2 cos2 C 1 1又

22、 A BC， 2 cos2 C cosC1 0 cosC1 或 cosC1（舍）2又 0 C， C3（ 2）由正弦定理及 a2b21c 2 得：222232 s i n A 2 s i n B s i n C s i n431 cos2A1 cos2B343 c o 2sAc o s2B）433. 用反三角函数表示角时要注意角的范围。反正弦： arcsin x2， x1，12反余弦： arccosx0，x1，1反正切： arctanx2， xR234. 不等式的性质有哪些？（1） ac0acbcb，0acbcc（ 2）ab，c d a c b d（ 3）ab 0，c d 0 ac bd（ 4）

23、 ab 01 1 ， a b 01 1abab（5）ab 0 anb n ， n an b（ 6）|x|a a 0a x a， |x|axa或x a如：若110，则下列结论不正确的是（）abA . a2b2B. ab b 2C. |a| |b| |a b|D . ab2ba答案： C35. 利用均值不等式：a b2a2b2，R；求最值时，你是否注2ab a ba b 2 ab ab2意到“ a，bR ”且“等号成立”时的条件，积(ab 或和ab 其中之一为定)()值？（一正、二定、三相等）注意如下结论：a2b2a b2ab，2aba ba b R22当且仅当 ab时等号成立。a2b2c2abb

24、cca a，bR当且仅当 abc时取等号。ab0，m0， n0，则bbmanaaam1nbb如：若 x0， 23x4 的最大值为x（设 y23x422 1224 3x当且仅当 3x4 ，又 x0， x23 时， ymax2 43）x3又如： x2y1，则 2 x4 y 的最小值为（ 2x22 y22 x2y2 21 ，最小值为 22）36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并注意简单放缩法的应用。11,12如：证明 1232n2211,11111（132n21223,22n 1 n1 1 111,11223n1 n1）22nf (x )37. 解分式不等

25、式a a0 的一般步骤是什么？g( x)（移项通分，分子分母因式分解，x 的系数变为1，穿轴法解得结果。）38. 用“穿轴法”解高次不等式“奇穿，偶切”，从最大根的右上方开始如： x1 x1 2 x2 30如：对数或指数的底分 a1或 0a1讨论40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？（找零点，分段讨论，去掉绝对值符号，最后取各段的并集。）例如：解不等式 |x3| x111（解集为x|x）241. 会用不等式 |a| |b| |ab| |a| |b|证明较简单的不等问题如：设 f ( x)x 2x 13，实数 a满足 |xa| 1求证： f ( x )f (a)2(|a| 1)证明： |f

26、(x)f ( a)|( x 2x13)( a2a 13)|( xa)( xa1)| ( |xa|1)|xa|xa1| |xa1|x| |a| 1又|x| |a| |x a|1， | x| |a| 1 f (x)f (a)2|a| 22 |a| 1（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题，常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题，或“”问题）如： af (x)恒成立af ( x) 的最小值af ( x) 恒成立af ( x)的最大值af ( x) 能成立af ( x)的最小值例如：对于一切实数 x，若 x3x2a恒成立，则 a的取值范围是（设 u x3 x 2 ，它表示数轴上到两定点2和 3

27、距离之和um i n 32 5，5a，即 a 5或者： x3 x 2x 3 x25， a5）43. 等差数列的定义与性质定义： an1 a n d (d为常数 ) ，a na1n1 d等差中项： x，A ，y成等差数列2Axy39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论前 n项和 Sna1 an nn n12na1d2性质： an是等差数列（1）若 mnpq，则 amanapaq ；（ 2）数列a2n 1 ， a2n ， ka nb 仍为等差数列；Sn ，S2nSn ， S3 nS2 n , 仍为等差数列；（ 3）若三个数成等差数列，可设为ad，a，ad；（ 4）若 a n ， bn 是等

28、差数列 Sn ， Tn 为前 n项和，则 amS2 m 1 ；b mT2 m 1（ 5） an为等差数列Snan2bn（a，b为常数，是关于 n的常数项为0 的二次函数）Sn 的最值可求二次函数 Snan2bn的最值；或者求出an 中的正、负分界项，即：当 a10，dan00，解不等式组可得 Sn 达到最大值时的 n值。an10当 a10，d0，由a n0可得 Sn 达到最小值时的 n值。a n10如：等差数列an ， Sn18， ana n 1a n 23，S31，则 n（由 anan 1an 233an 13， an 11又 Sa1a3·33a2，1321a231a1an na2

29、an 1 · n1 n Sn318222n 27）44. 等比数列的定义与性质定义： an 1q（ q为常数， q0）， ana1q n 1an等比中项： x、G、y成等比数列G 2xy ，或 Gxyna1 (q1)前n项和： Sna1 1q n（要注意 ! ）(q 1)1 q性质： an 是等比数列（1）若 m np q，则 am ·anap · aq（ 2）Sn ， S2 n Sn ，S3 n S2 n , 仍为等比数列45. 由 Sn 求an 时应注意什么？（n1时， a1S1 ，n2时， anSnSn 1）46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？例如：（

30、 1）求差（商）法如： an11a2,12n 51满足 a1222n an2解： n1时， 1 a121 5， a1142n 2时，11,1an 12n 1 52a12 a2n 122212得： 1nan22an2n 1 an14(n1)2 n 1( n2)练习数列 an满足 SnSn 15 an 1 ， a14，求 an3（注意到 an1Sn 1Sn 代入得： Sn14Sn又S14， Sn是等比数列， Sn4 nn 2时， anSnSn 1,3·4 n 1（ 2）叠乘法例如：数列an 中， a1an 1n，求 an3，n1an解： a2 · a3 ,an1· 2,n 1 ， an1a1a2an 123na1n又 a13， a n3n（3）等差型递推公式由 anan1f ( n) ，a1a0 ，求 an ，用迭加法n2时， a2a1f (