平面向量复习与练习

1、第七章 向量【精讲知识点】一、 向量的概念及其运算（一） 向量的概念和向量的几何表示：1、 有向线段：（1）概念：规定了始点和终点的线段。（2）画法：（3）表示方法：有向线段（4）长度（或模）：线段的长度。记作：（5）三要素：始点、终点、长度。2、向量：（1）定义：既有大小又有方向的量叫向量。（如不特别说明都为自由向量） 说明：向量与数量不同，数量只有大小而没有方向。因此，向量不能比较大小，如>，这种写法是错误的，但可以说=。（2）二要素：大小、方向。（3）表示方法： （4）向量的长度（或模）：表示向量的有向线段的长度。记作：或。 向量的取值范围： 说明：向量的长度能比较大小。（5）两个

2、特殊的向量：零向量：长度为0的向量。记作：。 说明：零向量不但有大小而且有方向（方向是任意的，不确定）。单位向量：长度为1的向量。 非零向量的单位向量有两个，即 （6）相等向量（或同一向量）：方向相同且长度相等的向量。（7）反向量（或负向量）：与非零向量长度相等而方向相反的向量叫向量的反向量（或负向量）。记作：。 说明：的反向量为 +（）= 3、共线向量（或平行向量）：如果把一些向量的始点放在一起，它们的终点在同一条直线上，则称这些向量叫共线向量（或平行向量）。反之，是不共线向量。说明：零向量与任意向量共线。 向量与共线与的方向相同或相反，或其中有一个是零向量。4、向量的运算：（1）向量的加法

3、： 指求向量的和的运算。 说明：和向量仍然是向量，其大小和方向与原来的向量有关。 向量加法的三角形法则： B + 即两个向量首尾相连。 + 平行四边形法则：（与不共线） O A C B 即把两个向量的始点放在一起。 + 对于任意两个向量、都有+ O A 运算法则： + =+ （+=+ + =+= +（2）向量的减法： B 始点相同的两个向量的差等于减向量的终点指向被减向量的终点的向量。 O A（3）数乘向量：定义：实数与向量的乘积是一个向量。 记作： 长度： = 方向：时，当 当当 时，说明：实数与向量只能乘，但不能加减。 运算法则：若，则 1×= 特别： -1×=-5、共

4、线向量定量：向量与（）共线存在唯一实数，使 二 向量的坐标（一）平面向量分解定量：平面上取定不共线的两个向量，。则平面上任意一个向量可以唯一地表示成，的线性组合： 此时称，是平面的一个基，有序数对叫作向量在基，下的坐标。（二） 平面向量的直角坐标与运算：1、 平面向量：平面上的有向线段表示的向量。2、 平面向量的直角坐标： y A O x作，设点A的坐标为 =则向量的直角坐标为（1） 定位向量：起点在原点的向量。定位向量的坐标等于该向量终点的坐标。每个定位向量被它的终点所决定。（2） 两个向量相等当且仅当它们的坐标相等。即设，则=3、 向量的直角坐标运算：若，则+的坐标为的坐标为的坐标为与共线

5、的 好记的是：4、 点的坐标与平面向量的坐标的关系：设点，则的坐标为即：一个向量的坐标等于它的终点坐标减去始点的相应坐标。（三） 向量的长度：1、 设，则2、 若，则（四） 线段的中点公式：设点，线段的中点的坐标为。则1、 向量形式：2、 坐标形式： 二、 向量的内积（一）向量内积的定义： 1、两向量的夹角： 设向量，是两个非零向量，在平面上任取一点O，分别作，则不大于的那个角叫向量与的夹角。 记作： 范围：且=是任意角。2、向量内积的定义：任给两个向量，实数叫向量与的内积（或数量积），记作：·，读作：点乘。 即：·=说明：（1）·是一个实数，可正、可负、可为零。

6、（2）寻找两向量的夹角时，必须把两向量的始点放在一起。（3）两向量的数量积符号由两向量的夹角余弦决定。（4）·=·=0。（5）两向量的内积，中间的点不能省略。（6）变形形式： 3、向量内积的性质： 对任意向量、 和实数 （1）·=· （2）=（3） （4）=（当且仅当时，等号成立）4、向量的内积的直角坐标运算： 设，则 (1) ·(2) 判断两向量垂直： (3)计算向量长度：， 计算两点间距离：若，则（4）计算两向量夹角： 高考回顾：1、（00年）（1）已知平面直角坐标系中两点A(3,4),B(-3,2)，则线段AB的中点坐标是_。（2）已知平

7、面直角坐标系中两点A(6,-4),B(-9,11)，且，则点M的坐标为_。2、（01年）（1）已知 为任意向量，则下列关系式不成立的是（ ） （2）已知向量（2,-1），（1,2），则和的关系是_。3、（02年）（1）判断题：零向量只有大小没有方向。 （ ） （2）向量 （3，5），（2，3），则。（3）设、是两个非零向量，若存在常数，使得，则与 （ ） A 、同向 B、反向 C、垂直 D、平行4（03年）已知向量（2,1），（-1,3），实数满足，则 的值为（ ）A、 B、C、 D、（2）已知平行四边形ABCD的顶点A(-2,1),B(-1,3),C(3,4)，则顶点D的坐标是_。5、（04

8、年）在中，则的值为_。6、（05年）（1）判断题：两向量、的数量积=0的充分必要条件是、中有一个是零向量。（ ）（2）已知向量（1,2），（-3,4），=（2,5），则的坐标为_。7、（06年）（1）判断题：设、为非零向量，则0。 （ ） （2）已知，若，求向量与的夹角。8、（07年）（1）已知向量，则。（2）设，都是单位向量，则=。 （ ）（3）设函数，其中向量 求函数的最大值。9、（08年）（1）若， ，则 0。 （ ）(2) 若（2,-1），（x,2），且，则x=_。 （3）设（-2,3），（-8,5），则。10、（09年）（1）设，则=_。（2）若=0，则或 （ ）11、（10年）（1）向量（1，-2