高中数学教案《立体几何中的向量方法》

1、3.2立体几何中的向量方法（第一课时）教案一、教学目标知识与技能：1、能用向量方法描述点、线、面；2、理解直线的方向向量、平面的参数向量、平面的法向量；3、掌握用直线方向向量表示直线的平行、垂直和角度；4、掌握用平面的法向量表示平面的平行、垂直和二面角的大小；5、掌握用直线的方向向量和平面的法向量表示直线和平面的平行、垂直和角度；过程与方法：1 、在空间向量数乘运算的基础上，使学生体会用向量表示直线，得到直线的方向方程；2、让学生经历从平面向量基本定理探究出平面的参数向量方程；3、探究平面的点法式表示，感受法向量的表示平面方向的合理性；4、让学生经历用直线的方向向量和平面的法向量探究空间立体几

2、何的平行、垂直和角度问题；情感、态度与价值观1 、领悟从立体几何的综合法过渡到向量法的思想几何问题代数化2、体会用向量探究立体几何中的平行、垂直和角度问题的方法、发现用向量运算来表示线面、面面的角度。二、重点难点重点：1、探究点、线、面的向量表示；2、探究线线、线面、面面的平行和垂直的向量表示；难点：1 、线线、线面、面面所成的角。2 、把立体几何初步的方法“翻译”成对应的向量方法。三、教学过程必修 2 立体几何初步与选修 2-1 立体几何初步对比必修 2? 概念的引入采用直观描述方法? 以运动变化观点从直观上认识空间几何体? 引导学生观察、猜想、说理，从合情推理层面说明其正确性? 处理是横向

3、的： 空间线线关系，空间线面关系，空间面面关 系；选修 2-1? 先讲清直线的方向向量与平面的法向量? 然后从线面关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面）的判定，空间角（包括异面直线所成的角， 直线与平面所成的角、 平面与平面所成的角）? 处理是纵向的：方向向量与法向量，线面关系的判定，空间角的计算教学程序框图思考探究点、线、面的向量表示画出图形用直线的方向向量与法向量表示线线、线面、面面的平行、垂直与夹角关系小结1、点、线、面的向量表示点、线、面的向量表示，遵循从直观感知开始。引导学生回忆立体几何初步是怎样表示点，线，面的，然后启发学生用向量的语言把这些基本几何元素“翻译”成对应的向量

4、语言。把线、面都看成是点的集合，借助于解析几何的方法把线、面写成向量方程。首先设置问题：问题 1：怎样确定空间一个点的位置？设置目的： 直观感知空间点的位置的相对性。 空间要确定一个点， 必须是在一个参照系中进行，这就是空间坐标系。这样点的位置向量就可以很自然的引入。（ 1）直线向量方程的建立过程问题 2：怎样确定一条直线？在这个问题的回答中，学生很有可能回答为两点确定一条直线，而不是一个点和一个方向向量确定一条直线。 首先要让学生弄明白， 确定是什么意思， 这里其实已经蕴含了解析法的思想。 把直线看成是满足于 AB共线的点的集合。 这样，为了使直线的向量方程讲得符合学生的认知规律， 所以就选

5、择线从两点确定一条直线开始。逐步过渡到一个方向向量和一个定点确定一条直线上来， 最后得到直线的向量方程。如果设 P 点的坐标为 ( x, y, z) ， A 点的坐标为 ( x0 , y0 , z0 ) ， a( X ,Y, Z ) ，则直线的向量表示为：APt ABxx0X参数方程为：yy0Y（为参数）z z0 Z（ 2）平面向量方程的建立过程问题 3：怎样确定一个平面？设置目的：问题 3 引发学生思考平面的直观形象。 本人估计学生首先会回答不在同一直线上的三点确定一个平面。这样就可做出两个向量，如果设 P 点的坐标为 ( x, y, z) ， A 点的坐标为 ( x0 , y0 , z0

6、) ， a( X1,Y1,Z1) ，b (X 2 ,Y2 , Z 2 ) ，则平面的向量表示为：AP xa yb参数方程为：xx0X1uX 2 vyy0Y1 u Y2 v （ u, v 为参数）zz0Z1 uZ2 v问题 4：类比于直线的方向向量， 如果要你给平面定义一个方向， 你会怎样定义？设置目的： 让学生规定平面方向， 自然的引出平面的法向量。 其实平面的法向量就可以看成是平面的一个方向。 在物理上，磁通量的描述就用到了平面的方向这个概念。问题 4 让学生感受法向量的引入自然、符合物理背景。已知平面上一个定点且垂直于一条直线可以确定一个平面。alPA给定一点A 和一个向量a,那么，过点A

7、, 以向量 a 为法向量的平面是完全确定的。如果设 P 点的坐标为 (x, y, z) ，A 点的坐标为 (x0 , y0 , z0 ) ，a( A, B, C ) ，平面的点法式向量表示：AP a0方程可以表示为：A( xx0 )B( yy0 )C( zz0 )02、线线、线面、面面的平行、垂直及夹角的向量表示线线、线面、面面关系的探究过程，教材只展示了线与面的关系的探究过程，线线、面面的关系要学生类比推理， 得到相应的结论， 这中合情推理的组织方式有利于培养学生的创新能力。（ 1）线面关系的探究过程问题 5：线与面有几种关系，画图表示？让学生自己画出下面图形：uvlulvvulluv问题

8、6：怎样用直线的法向量与平面的方向向量表示线面关系？通过图形让学生自己发现用直线的方向向量和平面的法向量来表示直线与平面的平行、垂直和角度，体会向量方法是代数化的过程。归纳结论：设 u(a1 , b1 ,c1 ) ， v(a2 , b2 ,c2 ) 则：l /uvu v0a1 a2b1b2c1 c20lu / vukva1ka2 , b1kb2 , c1kc2u vsinu v（ 2）类比推理得到线线平行、垂直和夹角表示问题 7：画出图形，类比线与面的关系得到线与线关系的向量表示？先让学生画图 .得到结论：（ 2）类比推理得到面面平行、垂直和夹角表示问题 8：类比线面关系的向量表示，得到面面关系的向量表示？从直观感知中得到向量表示：线线、线面的关系向量表示，主要是学生来完成。展示学生的探究结果，形成共识、归纳结论。3、作业设置（ 1）反馈性作业1 、教材 P104 练习2、已知点 A(3,0,0), B(0,4,0),C (0,0,5), 求平面 ABC的一个单位法向量。3、若两个平面,的法向量分别是: u(1,0,1),v( 1, 1,0), 求这