高中数学教案-人教A版数列学习小结(二)

1、学习必备欢迎下载第 15 课时数列学习小结（二）教学目的：1进一步掌握数列的有关概念和公式的应用2要求学生对等差、等比数列有更深刻的理解，逐渐形成熟练技巧授课类型： 复习课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一引入：上一节总结了数列的有关概念、方法、公式等， 本节继续通过讲解例题，进一步加深和提高运用所学知识解决问题的灵活性二、例题讲解例 1 在 ABC 中，三边 a, b, c 成等差数列， a , b, c 也成等差数列，求证ABC为正三角形 。证：由题设，2bac 且 2 bac 4bac2 ac ac2ac即(ac ) 20从而 ac b a c （获证）例 2 从

2、盛有盐的质量分数为 20%的盐水 2 kg 的容器中倒出 1 kg 盐水，然后加入 1 kg 水，以后每次都倒出 1 kg 盐水，然后再加入 1 kg 水，问： 1.第 5 次倒出的的 1 kg 盐水中含盐多少 g？2.经 6 次倒出后，一共倒出多少 k 盐？此时加 1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解： 1.每次倒出的盐的质量所成的数列为 an ，则：a1 = 0.2 kg , a 2=1 ×0.2 kg ,a 3 = (1) 2 ×0.2 kg122由此可见： an = () n1 ×0.2 kg ,24a5 = ( 1 ) 5 1 ×

3、0.2= ( 1 )× 0.2=0.0125 kg22q= 12.由 1.得 an 是等比数列a1 =0.2 ,2学习必备欢迎下载a1 (1q 6 )0.2(11)S6261q10.3 9 3 7kg5120.40.393750.006250.0062520.0 03125例 3 在等比数列an 中， a1a336, a2a460, Sn400 ，求 n 的范围。解： a1a32q236， a1q6a1又 a2a4a1q 1 q 260 ，且 1 q 20 ， a1 q0 ， a1 q6,1q210 解之： a12或 a12q3q3当 a12, q3 时， Sna1 1q n2 3n

4、14003n401， n 61q2（ 35273 36729 ）当 a12, q3 时， Sn23 n14003 n801，4 nN * 且必须为偶数 n8 ，（3 72187,3 86561 ）例 4设 an , bn 都是等差数列，它们的前n项和分别为 An ,Bn , 已知An5n3求an；a5Bn2n,bnb81an2an(a1a2n 1 )1 (2n1)(a1a2 n 1 ) 解法21：2bn(b1b2n 1 )1bn1)(b1b2 n 1 )(2n2A2n1 10n2.B2n14n3解法 2： an , bn 都是等差数列An5n3Bn2n1可设 An kn(5n+3) ,Bn =

5、kn(2n-1)学习必备欢迎下载 an = An - An 1 = kn(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)=kn(10n-2),bn = Bn - Bn 1 =kn(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1) =kn(4n-3), an = kn(10n2)=10n2bnkn( 4n3)4n3解：由解法 2，有an = An - An1 = kn(5n+3)-(n-1)(5(n-1)+3)=kn(10n-2),bn = Bn - Bn 1 =kn(2n-1)-(n-1)(2(n-1)-1) =kn(4n-3), a5 k 5(105-2)=240kb8 k8(48-3)=232ka5

6、=240k30b8232k29例 5 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,(1) 如果 a 2 9, S4 40, 问是否存在常数 c，使数列 Snc 成等差数列；(2) 如果 Sn n 26n, 问是否存在常数 c，使得c Sn 1c Snc Sn 22对任意自然数 n 都成立解： (1)由 a 2 9, S440,得 a 1 7, d2,an2 6n, Sc n26n c2n 5, Sn nn 当 c9 时,Snc n3 是等差数列；(2) cSn1 cSnc Sn 2对任意自然数 n 都成立，2等价于 cSn 成等差数列 ,由于 Sn n 2 6ncSn ( n3) 2c9 ,即

7、使 c 9,cSn |n 3|, 也不会成等差数列，学习必备欢迎下载因此不存在这样的常数c 使得c Sn 1 c Snc Sn 2 对任意自然数2n 都成立 。三、课后作业 ：1已知 a1 , a 2 , a3 , , an , 构成一等差数列， 其前 n 项和为 Sn n 2 , 设 bn an , 记 bn 的前 n 项和为 Tn , (1) 求数列 an 的通项公式； (2) 证明： Tn <1.3n解： (1)a1 S1 1,当 n2 时,an Sn Sn 1 2n1;由于 n1 时符合公式，an 2n1 (n 1).(2) Tn 1352n1 ,39 273n1132n32n1

8、Tn 9273nn 1,33两式相减得1 1212 22 2n 112n 13Tn 3 9 273n3n 13 3(13n 1 )3n 1 ,1 112n1 Tn 22 (13n 1) 2 3n<1,2已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ， bn 1, 且 a3b3 1 , S3 S5 21,Sn2(1)求数列 bn 的通项公式； (2) 求证： b1 b2 b3 bn <2.解：(1)设等差数列 an 的首项为 a1 ,公差为 d,则 a3 b3 ( a1 2d)·13a13d1 ,2S3 S5 8 a1 13d21, 解得 a1 1, d 1, an n,Sn

9、 n(n1), bn 21);2n(n(2) b1 b2 b3 bn2·(1 1 )( 11)(11)<2.223nn123已知函数 f (x)(x1) 2 , 数列 an 是公差为 d 的等差数列，数列 bn 是公学习必备欢迎下载比为q 的等比数列(q R, q1, q0),若 a1 f (d 1),a3 f (d 1),b1 f (q1),b3 f (q1),(1) 求数列 an , bn 的通项公式；(2) 设数列 cn 对任意的自然数n 均有c1c2c3cnan 1成立，求 c1 c3 c5 c2n 1的值。b1b2b3bn解： (1)a1 f (d1)(d 2) 2 , a3 f (d1)d 2 , a3 a1 2d, 即 d 2 (d2) 2 2d,解得 d2, a1 0,an 2(n1),又 b1 f (q1)(q2)2, b3f (q 2,b3q 2,1) qb1q 2q 2,(q2)2 q 1, q 3, b1 1, bn 3 n 1(2) 设 mn cn (n N), 数列 mn 的前 n