高中数学总复习提纲(文科)

1、第一章集合与简易逻辑集合及其运算一集合的概念、分类：二集合的特征：确定性 无序性 互异性三表示方法：列举法 描述法图示法区间法四两种关系：从属关系：对象、集合；包含关系：集合、 ü 集合五三种运算：交集： AB x | xA且 xB并集： AB x | xA或 xB补集： eU A x | x U且 xA六运算性质：AA ， A空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集若A B，则A B A，A B B A （ eU A）， A （eU A） U ， 痧（U U A ） A （痧UA ）（ U B） e（U A B），（痧UA ）（ U B） e（U AB） 集合 a1, a2,

2、a3 , an 的所有子集的个数为 2n ，所有真子集的个数为 2n1，所有非空真子集的个数为 2n2 ，所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为Cn2 简易逻辑一逻辑联结词：1命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题2逻辑联结词有“或”、“且”、“非”3不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题， 由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题4真值表：pq非 pp 且 qP 或 q真真真真假真假假真假真假真真假假假假二四种命题：1原命题：若p 则 q逆命题：若P 则 q，即交换原命题的条件和结论；否命题：若q 则 p，即同时否定原命题的条件和结论；逆

3、否命题：若P 则 q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定2四个命题的关系： 原命题为真，它的逆命题不一定为真； 原命题为真，它的否命题不一定为真； 原命题为真，它的逆否命题一定为真三充分条件与必要条件1“若 p 则 q ”是真命题，记做pq ，“若 p 则 q ”为假命题，记做p ?q ，2若 pq ，则称 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件3若 pq ，且 p ?q ，则称 p 是 q 的充分非必要条件；若 p ?q ，且 pq ，则称 p 是 q 的必要非充分条件；若 pq ，且 pq ，则称 p 是 q 的充要条件；若 p ?q ，且 p ?q，则称 p 是 q 的既不

4、充分也不必要条件4若 p 的充分条件是q ，则 qp ；若 p 的必要条件是q ，则 pq 第二章函数指数与对数运算一分数指数幂与根式：如果xna ，则称x 是 a 的 n 次方根，0 的 n 次方根为0，若 a0 ，则当n 为奇数时，a 的 n次方根有 1 个，记做 n a ；当 n 为偶数时，负数没有 n 次方根，正数 a 的 n 次方根有2 个，其中正的 n次方根记做 n a 负的 n 次方根记做n a 1负数没有偶次方根；nnn na为奇数n2两个关系式： (a)a ；a| a |为偶数nmn am ；3、正数的正分数指数幂的意义：a nm1正数的负分数指数幂的意义：a n4、分数指数

5、幂的运算性质：n am am anam n ； amanam n ； (am )namn ； (a b) mam bm ； a01，其中m、n均为有理数，a ， b 均为正整数二对数及其运算1定义：若abN (a0 ，且a1，N0) ，则blog aN 2两个对数： 常用对数：a10 ， blog10 Nlg N； 自然对数：ae2.71828 ， blog eNln N3三条性质： 1 的对数是0，即 loga 10 ； 底数的对数是1，即 loga a1； 负数和零没有对数4四条运算法则：loga ( MN )log a M log a N ； log aMlog a Mlog a N ；

6、N1loga M nn log a M ；log an Mlog a M 5其他运算性质：n对数恒等式： alog a bb ；换底公式： log a blog c a；log c bloga b log b c log a c ； loga b log b a1；loga m bnn log a b m函数的概念一映射：设 A、B 两个集合，如果按照某中对应法则f，对于集合 A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A 到集合 B 的映射二函数：在某种变化过程中的两个变量x 、 y ，对于 x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则， y 都

7、有唯一确定的值和它对应， 则称 y 是 x 的函数，记做 yf ( x) ，其中 x 称为自变量，x 变化的范围叫做函数的定义域，和 x对应的 y 的值叫做函数值， 函数值 y 的变化范围叫做函数的值域三函数 yf (x) 是由非空数集A 到非空数集 B 的映射四函数的三要素：解析式；定义域；值域函数的解析式一根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知f ( x 1) x2 x ，求函数f ( x) 的解析式二已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知f (x) 是一次函数，且f f ( x)4x 3，函数 f ( x) 的解析式三由函数f (x) 的图像受制约的条件，进而求f (

8、 x) 的解析式函数的定义域一根据给出函数的解析式求定义域： 整式： xR 分式：分母不等于0 偶次根式：被开方数大于或等于0 含 0 次幂、负指数幂：底数不等于0 对数：底数大于0，且不等于1，真数大于0二根据对应法则的意义求函数的定义域：例如：已知已知yf ( x)定义域为 2,5 ，求y f (3 x 2) 定义域；yf (3x2) 定义域为 2,5，求 yf ( x) 定义域；三实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域函数的值域一基本函数的值域问题：名称解析式值域一次函数ykxbRa0 时， 4acb2,)二次函数y ax2bx c4ab2a0时， (, 4ac4a反比例函数yk

9、y | yR ，且 y0x指数函数ya x y | y0对数函数ylogaxRysin x y |1y1三角函数ycos xytan xR二求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、* 反函数法、 * 判别式法、 * 几何构造法和 * 导数法等反函数一反函数：设函数y f ( x) (xA) 的值域是 C ，根据这个函数中x ， y 的关系，用 y 把 x 表示出，得到 x( y) 若对于C 中的每一 y 值，通过 x( y)，

10、都有唯一的一个 x 与之对应，那么，做函数x( y) 就表示y 是自变量， x 是自变量y 的函数，这样的函数x( y) ( y C) 叫yf ( x) ( xA) 的反函数，记作 x f1 ( y) ,习惯上改写成yf 1 (x) 二函数f (x) 存在反函数的条件是：x 、 y 一一对应三求函数f(x) 的反函数的方法： 求原函数的值域，即反函数的定义域 反解，用 y 表示 x ，得 xf1( y) 交换 x 、 y ，得 yf 1 ( x) 结论，表明定义域四函数 yf (x) 与其反函数 y f1 (x) 的关系： 函数 yf ( x) 与 yf1 (x) 的定义域与值域互换 若 yf

11、 (x) 图像上存在点 (a,b) ，则 yf1 (x) 的图像上必有点(b, a) ，即若 f ( a) b ，则 f 1 (b) a 函数 yf ( x) 与 yf1 (x) 的图像关于直线yx 对称函数的奇偶性：一定义：对于函数 f ( x) 定义域中的任意一个 x ，如果满足f ( x)f ( x) ，则称函数 f ( x) 为奇函数；如果满足 f ( x)f ( x) ，则称函数f ( x) 为偶函数二判断函数f (x) 奇偶性的步骤：1判断函数f ( x) 的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如果不对称；2验证 f ( x) 与 f ( x) 的关系，若满足f (x)f

12、 ( x) ，则为奇函数，若满足f ( x)f ( x) ，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数二奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称三已知 f ( x) 、 g( x) 分别是定义在区间M、N (MN) 上的奇（偶）函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性f ( x)g( x)f (x)1f (x)g( x)f ( x) g (x)f ( x)g( x)f ( x)奇奇奇奇偶奇奇偶奇偶奇奇偶偶偶偶偶偶五若奇函数f (x) 的定义域包含0 ，则 f (0)0 六一次函数二次函数ykxb (k0) 是奇函数的充要条件是 b0 ；yax2bxc (a 0) 是偶函数的充要条件是

13、b 0 函数的周期性：一定义：对于函数f ( x) ，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f (xT )f ( x) ，则 f ( x) 为周期函数， T 为这个函数的一个周期2如果函数 f ( x) 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f ( x) 的最小正周期 如果函数 f ( x) 的最小正周期为 T ，则函数 f ( ax) 的最小正周期为T | a |函数的单调性一定义：一般的，对于给定区间上的函数f ( x) ，如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值x1 ，x2 ，当 x1x2 时满足： f ( x1 ) f ( x2 ) ，则称函

14、数 f ( x)f ( x1 )f ( x2 ) ，则称函数f ( x)在该区间上是增函数；在该区间上是减函数二判断函数单调性的常用方法：1定义法： 取值； 作差、变形； 判断： 定论：*2 导数法： 求函数 f(x)的导数f '( x) ； 解不等式 f '(x)0 ，所得 x 的范围就是递增区间； 解不等式 f '(x)0 ，所得 x 的范围就是递减区间3复合函数的单调性：对于复合函数yf g( x) ，设 ug( x) ，则 yf (u) ，可根据它们的单调性确定复合函数y f g( x) ，具体判断如下表：yf (u)增增减减ug (x)增减增减yf g( x)

15、增减减增4奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同函数的图像一基本函数的图像二图像变换：yf (x)yf ( x)k将 yf ( x) 图像 上每一 点向上 ( k0) 或向 下 (k0) 平 移 | k | 个单 位， 可 得yf ( x)k 的图像yf (x)yf ( xh)将 yf ( x) 图像 上每一 点向左 ( h0) 或向 右 (h0) 平 移 | h | 个单 位， 可 得yf ( xh) 的图像yf ( x)yaf ( x)将 yf ( x) 图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸 (a1) 或压缩 (0 a 1)为原来的 a 倍，可得 yaf (x)

16、 的图像yf ( x)yf (ax)将 yf ( x) 图 像 上 的 每一 点 纵 横坐 标 保持 不 变 ，横 坐 标 压缩 (a 1) 或拉 伸(0 a1) 为原来的1，可得 yf ( ax) 的图像ayf ( x)yf ( x)关于 y 轴对称yf ( x)yf (x)关于 x轴对称yf ( x)yf (| x |)将 yf ( x) 位于 y 轴左侧的图像去掉，再将y 轴右侧的图像沿y 轴对称到左侧，可得 yf (| x |) 的图像yf ( x)y| f ( x) |将 yf ( x) 位于 x轴下方的部分沿x轴对称到上方，可得y| f (x) |的图像三函数图像自身的对称关系图像

17、特征f (x)f ( x)关于 y 轴对称f ( x)f (x)关于原点对称f ( ax)f ( xa)关于 y 轴对称f ( ax)f (ax)关于直线 xa 对称f ( x)f ( ax)关于直线 xa轴对称2f ( a x)f (bx)a b对称关于直线 x2f ( x)f ( xa)周期函数，周期为a四两个函数图像的对称关系图像特征yf ( x) 与 yf ( x)关于 y 轴对称yf ( x) 与 yf ( x)关于 x 轴对称yf ( x) 与 yf (x)关于原点对称yf ( x) 与 yf 1 ( x)关于直线 yx 对称yf ( xa) 与 yf (ax)关于直线 xa 对称

18、yf ( ax) 与 f ( ax)关于 y 轴对称第三章数列数列的基本概念一数列是按照一定的顺序排列的一列数，数列中的每一个数都叫做这个数列的项二如果数列 an 中的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公事，它实质是定义在正整数集或其有限子集的函数解析式三数列的分类：按项的特点可分为递增数列、递减数列、常数列、摇摆数列按项数可分为有穷数列和无穷数列四数列的前 n 项和： Sn a1a2 a3an 1anSn 与 an 的关系： anS1n1SnSn 1n2五如果已知数列 an 的第 1 项(或前几项 )，且任一项 a与它的前一项 a(

19、或前几项 )间的关系可以用nn 1一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法如：在数列 an 中， a11， an1 an11，其中 an1 an 11即为数列 an 的递推公式，22根据数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同时可根据数列的前几项推断出数列 an 的通项公式，至于猜测的合理性，可利用数学归纳法进行证明如上述数列 an ，根据递推公式可以得到：a2371531， a3， a4， a516，进一步2n2481可猜测 ann 1 2等差数列一定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数

20、叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示二通项公式：若已知 a1 、 d ，则 ana1(n1)d ；若已知 am 、 d ，则 anam(n m) d三前 n项和公式：若已知 a1 ， an ，则 Sna1ann ；若已知 a1 、 d ，则 Snan(n1) d2n12注： 前 n 项和公式 Sn 的推导使用的是倒序相加法的方法 在数列 an 中，通项公式 an ，前 n 项和公式 Sn 均是关于项数 n 的函数，在等差数列 an 通项公式 an 是关于 n 的一次函数关系，前n 项和公式 Sn 是关于 n 的没有常数项的二次函数关系 在等差数列中包含 a1 、 d 、 n 、 an 、 S

21、n 这五个基本量，上述的公式中均含有4 基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3 个，可以求出其余基本量四如果 a 、 b 、 c 成等差数列，则称b 为 a 与 c 的等差中项，且 bac2五证明数列 an 是等差数列的方法：1利用定义证明：anan 1d (n2)ac2利用等差中项证明：b23利用通项公式证明：ananb4利用前 n 项和公式证明：Snan2bn六性质：在等差数列 an 中，1若某几项的项数成等差数列，则对应的项也成等差数列，即：若若 mn2k ，则 aman2ak 2若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的和也相等，即：若 m nk l ，则 am an a

22、k al 3依次相邻每 k 项的和仍成等差数列，即： Sk ， S2kSk ， S3kS2k 成等差数列4 an ， an 1 ， an 2 ， a2 ， a1 仍成等差数列，其公差为d 三等比数列一定义：如果一个数列从第2 项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫做等比数列的公比，通常用宇母q (q0) 表示二通项公式：若已知 a1 、 q ，则 ana1qn 1 ；若已知 am 、 q ，则 anam qn m三前 n项和公式：当公比当公比q1时， Snna1a1anqq1时，若已知 a1 、 an 、 q ，则 Sn1q若已知 a1 、 q、 n

23、，则 Sna1 (1qn )1q注： 等比数列前 n 项和公式 Sn 的推导使用的是错位相减的方法 在等比数列中包含a1 、 q 、 n 、 an 、 Sn 这五个基本量，上述的公式中均含有4 基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3 个，可以求出其余基本量四若 a 、 b 、 c 成等比数列，则称b 为 a 与 c 的等比中项，且a 、 b 、 c满足关系式 bac 五证明数列 n 是等比数列的方法：aanq (n2)1利用定义证明：an12利用等比中项证明：b2ac3利用通项公式证明：anaqn六性质：在等比数列 an 中，1若某几项的项数成等差数列，则对应的项成等比数列，即：若 mn

24、2k ，则 am anak 22若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的积相等，即：若 mnkl ，则 am anak al3若数列公比q1，则依次相邻每k 项的和仍成等比数列，即 Sk ， S2kSk ， S3kS2k 成等比数列。4 an ， an 1， an 2 ， ， a2 ， a1 仍成等比数列，其公比为1 q数列求和1 常见数列的前 n 项和： 自然数数列： 1， 2， 3， n，n(n1)Sn2 奇数列： 1， 3， 5， 2n1 ，Snn2 偶数列： 2， 4， 6， 2n，Snn(n 1) 自然数平方数列：12， 22， 32， n2，Snn( n1) ( 2n1)

25、62等差、等比数列：利用等差、等比数列的求和公式3数列 cn 满足： cnan bn ，其中 an 、 bn 为等差或者等比数列方法：拆项，转化成两个等差或等比各项的和（差）4数列 cn 满足： cnan bn ，其中 an 是公差为 d 的等差数列； bn 是公比为 q 的等比数列方法：错位相减5若数列 an 满足： an1，其中 k 、 a 、 b 均为常数(kna)(knb)方法：裂项法，设 an1p(11) ，其中p 为可确定的参数(kna) ( knb)knaknb第四章三角函数一角度与弧度制1弧度与角度的互化：1802终边相同角：与角有相同终边的角的集合可以表示为：|2k, kZ3

26、特殊角的集合： 各个象限的角的集合第一象限角：第二象限角：第三象限角：| 2k2k , kZ2|2k2k, kZ2|2k3, kZ2k2第四象限角： | 32k22k , k Z2 角的终边在各个坐标轴上的角的集合终边在 x 轴的角： |k, kZ终边在 y 轴的角： |2k, kZ终边在坐标轴上的角：|k, kZ2终边在第一三象限角平分线上：终边在第二四象限角平分线上：4弧长公式和扇形面积公式|k, kZ4|3, kZk4设扇形的半径为r ，圆心角为，则弧长 l| | r，扇形的面积 S1 l r1|r 222任意角三角函数的定义：一定义：以角顶点为原点 O ，始边为 x 轴的非负半轴建立直

27、角坐标系。在角的终边上任取不同于原点 O 的一点 P ( x, y) ，设 P 点与原点 O 的距离为 r(r0)，则|PO |rx2y2，则角的六个三角函数依次为：sinycosxt a nyr，xrrsecrc o txcsc，yyx二三角函数的定义域与值域：定义域值域sinR1,1cosR1,1tan |k, k ZR2三三角函数值的符号：sincostan四三角函数线正弦线、余弦线正切线以角的终边与单位圆的 公 共 点 P 作 x 轴的 垂线过点 A(1,0) 作 x 轴的PM x 轴，垂足为M ，垂线交的终边或终边的则延长线于 T 点，则：sinMPtanATcosOM同角三角函数基

28、本关系式：倒数关系： sincsc1 、 cossec1、 tan cot1商数关系： tansin、 cotcoscossin平方关系： sin2cos21正弦、余弦的诱导公式：2ksin(2 k)sin；cos(2k)cossin()sin；cos()cossin()sin2sin(2)sin；cos()coscos(2)cossin()sin；cos()cossin()cos22sin()cos22；cos()sin2cos() sin 23sin( 3)cos223sin( 3)cos22；cos(3)sin2cos( 3)sin2诱导公式可简单的概括为：“奇变偶不变，符号看象限”，其

29、中“ 奇变偶不变” 的含义为：当 k 为奇数时， k的三角函数值为的余函数，当 k 为偶数时， k2的三角函数值为的原函2数； “符号看象限” 的含义为在的三角函数前加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号 .两角和与差的三角函数：一基本公式：sin()sincoscossinsin()sincoscossincos()coscossinsincos()coscossinsintan()tantantan()tantan1 tantantantan1二常见关系：1辅助角公式：a sin xbcosxa2b2 sin( x)如： sincos2 sin()； sincos2 sin()44sin3

30、 cos2sin(3) ； cos x3 sin x2sin()62两角和与差的正切公式的变形：tantantan() 1tantantantantan() 1tantan二倍角公式一基本公式：sin 22sincoscos2cos2sin22cos 21 1 2sin 2tan 22 tan1tan2二常见关系式：1 1sin 2(sincos )21sin 2(sincos ) 21c o s 221 cos22cos22 s i n2 sin21cos 2cos21cos222三角函数的图像：一正弦、余弦、正切函数的图像：1正弦函数ysin x2余弦函数ycos x2正切函数ytan x

31、二三角函数的图象变换：1 ysin x振幅变换yAsin x ：将 ysin x 图象上各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸( A1) 或压缩 (0A 1)为原来的 A 倍得到2 ysin x周期变换ysin x ：将 ysin x 图象上各点纵坐标保持不变，横坐标压缩(1) 或拉伸 (01) 为原来的1倍得到3 ysin x相位变换y sin(x) ：将 ysin x 的图象向右 (0) 或向左 (0) 平移|个单位得到4函数 y Asin( x) (A,0, A1) 的图象可以看作是由函数y sin x 的图象分别经过下面的两种方法得到： y sin x相位变换周期变换振幅变换ysin(x)ys

32、in(x)yAsin(x)将 ysin x 的 图 象 向 左 (0)或向右 (0)平移 |个单位，可得到函数y si n(x)图象；将得到图象点的纵坐标保持不变，横坐标压缩 (1) 或拉伸 (01) 为原来的 1 倍，得到函数 ysin(x) 图象；将新图象各点横坐标保持不变，纵坐标拉伸 ( A1) 或压缩 (0A 1) 为原来的 A 倍，可得函数 yA sin(x) 图象 ysin x周期变换ysinx相位变换振幅变换ysin( x)sin(x)yAsi n ( x) 将 ysin x 图象点纵坐标保持不变，横坐标压缩(1)或拉伸 (01)为原来的1 倍，可以得到函数 ysinx 图象； 将得到的图象向左(0)或 向 右(0 )| |个单位就得到函数平 移ysin( x) 图象； 将