希尔伯特几何公理

1、希尔伯特几何公理佛山石门中学 高二（2） 邓乐涛一、符号及一些说明有三组不同的对象：点，直线，平面点用A,B,C,D来表示；直线用a,b,c,d来表示；平面用,来表示。点称为直线几何的元素，点和直线称为平面几何的元素，点、直线和平面称为立体几何的元素那么点，几何元素之间又有一定的相互关系 点A在直线a上：Aa 点A在平面上：A 直线a在平面上：a（直线的每一点都在平面上） 点B在点A与点C之间：BAC（我自己规定的符号） 线段AB与CD相等：AB=CD（原书是用号的，不过对于我们不常见，所以我用了=号） AOB与COD相等：AOB=COD等等（线段，角之类的能在点线面下给出定义，具体在叙述公理

2、的时候再说）在希尔伯特几何里面，其实点直线和平面是三个未定义的数学对象，在上面给的最基本的关系也是没有定义的，也就是说用什么来代表这些东西都是可以的，正如希尔伯特所说“我们必定可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。最简单的例子就是解析几何：我们定义点是实数对(x,y)，定义线是x,y|Ax+By+C=0，其实在这个定义下，“几何”已经失去了“直观”的形式了，因为在这个定义下的几何图形就变成了毫无几何直观的数字了，只是我们方便研究又将它画在了坐标系中而已。我这里的关系符号，=并不来自于集合论，不要混淆，要再强调的是他们本身没有含义，我只是借用过来化简论述罢了。总之，希尔伯特几何，就是将直观

3、地几何语言（欧氏几何）抽象成了逻辑语言，我们所有的几何定理都可以用逻辑推理得到。（其实希尔伯特几何就是完备化的欧氏几何）公理I关联公理本组公理有八条，是前面所提的点，直线，平面这三组对象之间建立的一种联系：（为了方便论述，以后说二、三点的，直线或平面是，都是指不同的点，直线或平面）I1：对于两点A和B，恒有一直线a，使得A,Ba（存在性）；I2：对于两点A和B，至多有一直线a，使得A,Ba（唯一性）；（对于1,2，我们可以说两点确定一直线）I3：一直线上至少有两点，至少有三点不在同一直线上；I4：对于不在同一直线的三点A,B和C，恒有一平面，使得A,B,C；（存在性）对于任一平面，恒有一点A，

4、使得A；I5：对于不在同一直线的三点A,B和C，至多有一平面，使得A,B,C；（唯一性）（对于4,5，我们可以说三点确定一平面）I6：若A,Ba且A,B，则a；I7：若两平面，有一个公共点A，则他们至少还有一个公共点B；I8：至少有四点不在同一个平面上。以上。其实我想用形式语言写出来的，但是实在书上的太难翻译，而且符号难打，所以放弃了。公理II顺序公理本组公理有四条，规定了“在之间”这个关系。根据这个概念，直线上的，平面上的，空间上的点才有顺序可言。II1：对于点A,B,C，如果BAC，则点A,B,C是直线上不同的三点；这时，BCA也成立；（如图）II2: 对于点A,Ba，恒有一点Ca，使得B

5、AC；（如上图）II3:一直线的任意三点中，至多有一点在其他两点间；根据上面，我们就可以定义线段了：对于直线a和直线上的两点A,B；我们把这一点对A,B称为线段，用AB或BA表示。在A和B之间的点叫做线段AB的点；A点和B点叫做线段AB的端点。II4:设A,B,C是不在同一个平面的三点：对于在平面ABC且不经过点A,B,C的直线a，若a交于线段AB的一点，则它必定交于线段AC或CB的一点（如图）以上。接下来定义射线先定义同侧：设A,A,O,B是直线a上的四点，而O在A,B之间，但不在A,A之间，则A和A称为在a上点O的同侧，而A,B两点称为异侧。那么射线就定义为直线a上点O同侧的点的全体。比如

6、与上图关于点O与B同侧的射线我们记为OB（虽然跟线段的记号一样，但注意不要混淆）公理III合同公理本组公理包含五条公理，主要说明几何对象“相等”的关系。III1：对于线段AB和一点A，恒有一点B，使得线段AB与线段AB相等，记为AB=A'B'因为线段与端点的次序无关，所以一下四个等式的意义相同：AB=A'B'，AB=B'A'，BA=A'B'，BA=B'A'III2：若AB=A'B'且AB=A"B"，则A'B'=A"B"；（根据1,2，我们才能得

7、到线段AB与自己相等，才能得到AB=A'B'与A'B'=AB等价，这并不是不证自明的事实，有了这个我们才能说两线段“互相相等”。总而言之根据1,2我们才能得到线段相等的“反身性”，“对称性”，和“传递性”，这才说明这是一个等价关系。）III3：线段AB，BC在同一直线a上，且无公共点；线段AB，BC在同一直线a上，且也无公共点。如果AB=AB'且BC=B'C',则AC=AC'这条公理还要求线段能够相加，可以定义AB+BC=AC（其中A,B,C共线）相当于线段一样，我们也这样来规定角相等。我们先定义角的概念：对于不同一直线的三点O,

8、A,B，射线OA，和射线OB的全体我们称为角，记为AOB。O称为AOB的顶点，射线OA，和射线OB称为AOB的边。同样与A,B的次序无关。根据定义，平角，零角和凸角（大于平角的角）都不在考虑的范围内。III4：对于AOB，和一条射线OA，在射线OA所在的一个平面内，有且只有一条射线OB，使得AOB与A'O'B'相等，记为AOB=A'O'B'。而且有AOB=AOB。如同线段一样，下面四条等式的意义是一样的AOB=A'O'B'，AOB=B'O'A',BOA=A'O'B',BOA=

9、B'O'A'然后先定义三角形：线段AB,BC,CA所构成的图形，记为ABC。III5：若ABC与A'B'C'，有下列等式AB=A'B',AC=A'C',BAC=B'A'C'则有ABC=A'B'C', ACB=A'C'B'.这条公理可以理解为三角形全等（SAS），事实上SAS这个公理的直接推论。公理IV平行公理这条公理显得很苍白，但在历史上很重要先定义平行：对于同一平面上的两条直线线a和b，a与b无公共点，则称a与b平行，记为ab.IV（欧几里得

10、平行公理）：设a是任意一条直线，A是a外的任意一点，在a和A所决定的平面上，至多有一条直线b，使得Ab且ab。根据这个公理，我们可以得到平行线内错角，同位角相等；反之也成立。公理V连续公理V1（阿基米德原理）：对于线段AB,CD，则必定存在一个数n，使得沿着射线AB，自A作首尾相连的n个线段CD，必将越过B点。在这里必须说下数的阿基米德原理：任意给定两个数a,ba,b0，必存在正整数n，使na>bV2（直线完备公理）：将直线截成两段a,b(不是直线)，对于任意的Aa，Bb，则总存在一个点C，CAB。也就是说，不再存在一点不在直线上，把这点添加到直线上之后，仍满足前面的公理IIV的（书上的

11、描述太笼统，我还是用我自己的话说了）要注意的是直线完备公理是要在阿基米德原理成立下才成立的！二、公理的相容性这里所谓的相容性，就是这五组公理是互不矛盾的。也就是说，不能从这些公理推导到相矛盾的结果。但是，如果直接从公理出发证明相容性几乎是一件不可能的事情（而且如果一个公理体系含有皮亚诺算术公理的话，这还是一个不可能的事情，这是根据哥德尔不完全定理得到的），那么我们应该如何来证明呢？希尔伯特将方向转向了“数”。我们只说明平面几何（因为好说明），立体几何类似。我们考虑的是实数域R。 点我们用实数对x,y来表示：P=x,y； 直线我们用Ax+By+C=0来表示：l=x,y|Ax+By+C=0。 两条

12、直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0平行，当且仅当A2B1-A2B1=0 点P在直线l上：Pl 点Bx2,y2在点Ax1,y1与点Cx3,y3之间：BAC=x1<x2<x3x3<x2<x1A,B,C共线； 对于点，线的平移，对称，旋转的变换，我们用一个变换来表达：x'=ax+by+uy'=cx+dy+v，其中ad-bc=1然后如果线段相等就是，两线段在以上的坐标变换中能重合，角亦然。（PS把线段和角也看做点的集合，定义懒得写了）那么用以上规定几何对象公理I（关联公理）显然都是成立的，只需要用到规定。公理II（顺序公理）显然也都是成立的，

13、再加上规定。公理III（合同公理）也是成立的，加上规定。需要一点点论述，就是点与直线在经过的变换后仍然是我们所研究的几何对象（也就是说x,y都还是实数，其实就是要说明a2+b2形的数还是实数，这是显然的）公理IV（平行公理）在直线的这种规定下是成立的。公理V（连续公理）根据实数的完备性，还有实数是阿基米德域这一性质可以直接得到。也就是说我们所做的规定都是满足“称为几何”的性质的，我们便可以将这些实数，实数对作为几何对象。那么这样，就把这五组公理的相容性就与算术的相容性联系在了一起了。那么只需要证明算术的相容性就可以了。关于算术的相容性，这里是对于实数理论，但是其相容性能在自身证明（这是个完备的

14、公理系统）。但是按照希尔伯特的意愿一般来说指的是皮亚诺算术公理的相容性，不过根据哥德尔不完备定理，这是在算术公理内是无法自证的，只能根据另外一个跟更强的公理系统（比如说集合论ZFC公理）来证明，可是这“另外一个公理系统”的相容性，又不能用自身证明了= =（根茨（G.Gentaen，1909-1945）1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性）。简短提一下的是，这个几何公理系统不仅是相容的，而且是完备的（就是这个公理的任一语句都能在这个公理系统内证明，即确定其真值）三、平行公理的独立性（非欧几何）我们知道了公理的相容性之后，其实还有一个有趣的问题是公理的独立性，虽然这并不影响论证（多

15、些方便的公理还方便于论证呢），但是数学家们总喜欢简洁的东西额不说了。什么是独立性？就是一个公理不能是其他公理的逻辑推论。如何证明这里某个公理独立性？一个办法就是剔除掉这个公理，然后根据其它公理构建一个新的模型，使得被剔除掉的公理不满足于这个模型。历史上最令人争议的就是平行公理了，也就是用欧几里得提出的公理来证明平行公设当然都失败了。之后，人们就发现了非欧几何。什么是非欧几何学？其实就是满足以上除了平行公理的所有公理的几何模型。既然有了非欧几何，那么平行公里的独立性就不证自明了。现在主要是分成两种，一个是黎曼几何，一个是罗氏几何。然而黎曼几何我不清楚（手头的书也没有），所以我不提对于罗氏几何，来

16、代替原来平行公理的公理描述如下：如果b是任一直线，且A是不在b上，则过点A有不在同一直线的两条射线a1，a2，它们与b都不相交，而且在a1，a2所成角内的任一射线都与b都相交。那么a1，a2所在的直线称为与b平行然后非欧几何学最简单的一个特例就是球面几何，连高中选修都会讲到只需要定义“直线”为大圆便好我就不深入了。四、合同公理的独立性相对平行公理来说，合同公理的独立性并没有在历史上并没有引起太大的争议。因为合同公理14并没有什么卵用，所以我们只需要说明公理III5(可以说是三角形全等的SAS)具有独立性就好。一般来说，我们定义线段相等就是长度相等，角相等就是角度相等，而我们所说的长度，比如对A

17、x1,y1, Bx2,y2，AB的长度就为x2-x12+y2-y12，这个可以在前面在规定坐标变换中得到。接下来我们便抛弃这个“长度”的设定（就是抛弃上面规定中线段相等的定义），噢，要保留原来角相等的设定。我们新定义一个长度：对于Ax1,y1, Bx2,y2，AB的长度就为x2-x1+y2-y12+y2-y12规定线段相等就是长度相等。在这个规定下验算公理I,II,III14,IV,V都是成立的。只不过唯独对于III5就不一定成立了。举一个反例：显然AOC=COB，OA=OC=OB。按照公理III5有BAO=ACO，但是在这种规定下显然BAOACO。从而证明了公理III5的独立性。五、连续公理

18、的独立性这是我们要叙述独立性的最后一组公理（其他的没必要）。同上面的方法一样，我们又得找一个数学对象只满足公理IIV了。我们又是要把研究的方向转向了数。其实在说明五组公理的相容性的时候我们是用了实数域R来构建几何，其实域有许许多多，而实数恰好又满足众多域不满足的性质：完备性，阿基米德原理。那么其实我们只要找一个域不满足这两个性质的就好，然而这样的域又有许许多多。（域通俗来说就是满足加减乘除的东西的集合，当然还要满足乘法交换率）首先我们很容易就构建一个域F，从1开始，其加减乘除，还有1+2（是经过这五种运算的结果）的得到的所有结果都放在F里。那么这个域的数字构造的几何对象满足公理IIV，但是因为

19、其自身并不满足完备性（也就是画出来的数轴有“洞”），比如说F，也就从而说明了完备性的独立性。题外话，这个域F其实挺重要的，在证明尺规作图的可行性就是基于这个域。然后是非阿基米德域，也就是不满足阿基米德原理的数域，举个最简单的例子，一个集合Q2a+b2|a,bQ，可以验证其加减乘除都在Q2里，所以这是一个域。这是实数的一个子集，我们一般描述这个集合里这些数的序关系是最简单的 大小 关系，比如说2+21+22。然后我们要构建一个新的描述这些数的序关系，在这个序关系下Q2是一个非阿基米德域。定义序关系:a+b2c+d2bdb=dac举个例子1+2210000+2；3+22+22等等。也就是优先比较2

20、b的大小.那么在这个顺序关系下，Q2并不满足阿基米德原理（由读者自己验证），所以这是一个非阿基米德域。当然非阿基米德域还有好多好多，比如说上面的域F，也可以找一个类似的序关系来代替掉大小关系（这种序关系），使得F是一个非阿基米德域。再构造几何对象，那就是一个除了连续公理（完备性和阿基米德原理两个个都不满足）的几何体系了。不过值得注意的是同时满足阿基米德原理和完备性的就只有实数R了。这点也说明了希尔伯特几何的唯一性。六、一些补充皮亚诺算术公理1. xSx00不是任何数的后继数2. xySx=Syx=yx与y的后继数相等，则x与y相等3. 0xxSxxx，x为算术公理的任一公式这个就是数学归纳法4

21、. xx+0=xx1=x存在零元和幺元5. xySx+y=x+Sy加法的定义6. xyxSy=xy+x乘法的定义这里Sx就是后继数，比如1的后继数就是2.这里的公理3,5,6决定了皮亚诺公理的不完备性，具体怎样就不说了，哥德尔不完备定理的证明用的是递归函数，然后递归函数又是以公理3,5,6所定义的。实数公理约定，所有实数记为R，一部分实数X，记为XR;X中存在实数x，则记为xX1. 加法公理1) xx+0=0+x=x零元存在性2) x-xx+-x=-x+x=0存在相反数3) xyzx+y+z=x+y+z加法结合律4) xyx+y=y+x加法交换律2. 乘法公理1) xx1=1x=x幺元存在性2

22、) xx-1x0xx-1=x-1x=1存在倒数3) xyzxyz=xyz乘法结合律4) xyxy=yx乘法交换律3. 乘法对加法的分配率1) xyzxy+z=xy+xz4. 序公理1) xxx反身性2) xyxyyxx=y反对称性3) xyzxyyzxz传递性4) xyxyyx任意两个实数都能比较大小5. 加法和乘法与序的关系1) xyzxyx+zy+z不等式两端同时加上一个实数，不等号方向不改变2) xy0x0y0xy正数之积为正数6. 完备公理1) XYxycxXyYxyxcy对于任意的两部分实数X,Y，满足对于任意实数 xX, yY，有xy，则存在一个实数c，使得xcy。对于完备公理，要说明一下，这里用的是二阶逻辑来写的。还有只有R才满足。举个例子。如果自然数Q，满足完备公理，我把自然数分成两部分：x|xx<2， x|xx>2，那么不存在一个数xcy（xx|xx<2, yx|xx<2）,这个数就是2.这里对应的就是直线的完备公理。关于公理系统什么是公理系统？一个公理系统可以这样理解：它是一个形式化的语言，由字符表（比如几何公理中用A，a，表示的点线面），形成规则（逻辑公理，就是推理的规则，还有非逻辑公理，就是我们给出的公理，比如说完备公理），还有公式（按照形成规则构成的