第五专题矩阵的数值特征行列式范数条件数迹秩相对特征根讲解学习

1、学习资料第五专题 矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知 Apxq, Bqx p,则 |lp+AB| = |l q + BA|证明一： 参照课本 194 页，例 4.3.证明二：利用AB和BA有相同的非零特征值的性质；从而 lp+AB，lq+BA 中不等于 1 的特征值的数目 相同，大小相同；其余特征值都等于 1。行列式是特征值的乘积，因此|Ip+AB|和|Iq+BA|等于特征值(不等于 1)的乘积，所以二者相等。二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在 许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都 有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的

2、迹 的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。nn定义： tr(A)aiii ， etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x HAx) tr(Axx H),x 为向量； nn6. tr(A)i ,tr(A k)ik ;i 1 i 1从 Schur 定理(或 Jordan 标准形) 和(4)证明； 7. A 0,则 tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是 A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A

3、) tr(B)，且等号成立的充要条件是 A=B(A Bi(A)i(B)；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得Ak=0, 则 tr(A)=0 (从 Schur 定理或 Jordan 标准形证明)。若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两 个 mn 维列向量的内积， 利用 Cauchy-schwarz 不等式2x,y w x,x. y,y得定理：对任意两个m x n复矩阵A和B|tr(A HB)|2w tr(冲A) tr(BHB)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。特别当A和B为实对称阵或Hermi

4、t矩阵时0弓tr(AB)| 览r(A 2)Jtr(B 2)定理：设A和B为两个n阶Hermite阵，且A>0?B>0 贝U0< tr(AB) i(B)tr(A) < tr(A). tr(B)2i(B)表示B的最大特征值。证明：tr(AB)= tr(A 1/2BA1/2) >Q 又因为A1/2 MB)I-BA 1/2>Q 所以 B)tr(A)承1/2BA1/2,得tr(AB)= tr(A 1/2BA1/2) <( MB) A)=MB) tr(A) < trA) - tr(B)推论：设A为Hermite矩阵，且A>0，贝U tr(A)tr(A

5、-1)初另外，关于矩阵的迹的不等式还有很多，请参考 矩阵论中不等式。三、矩阵的秩矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的 它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有关矩 阵秩的一些性质和不等式。定义：矩阵 A 的秩定义为它的行(或列)向量的 最大无关组所包含的向量的个数。记为 rank(A) 性质：1. rank(AB) min(rank(A),rank(B) ；2. rank(A B) rank(A,B) rank(A) rank(B) ；3. rank(AA H ) rank(A H ) rank(A) ；4. rank(A) rank(XA) rank(AY) rank(X

6、AY) ， 其中 X 列满秩， Y 行满秩(消去法则) 。定理(Sylvester):设A禾口 B分别为rnn禾口 nXl 矩阵，则rank(A) rank(B) n rank(AB) min(rank(A),rank(B)Sylveste定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的矩阵论 中不等式，三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考 上述文献。四、相对特征根定义：设A和B均为P阶实对称阵，B>0，方程 |A-入B=0的根称为A相对于B的特征根。性质：|A-入 B=0 等价于 |B-1/2AB-1/2-川=0(因为B>0，所以B1/2>0)注：求

7、 A相对于 B的特征根问题转化为求 B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。因 B-1/2ab-1/2是实对称阵，所以特征根为实数。定义：使(A-入B)li=O的非零向量li称为对应于 入 的A相对于B的特征向量。性质： 设l是相对于入的A B-1的特征向量，则A B-1l=刀 或 A (B-1I)= B( B-1l)B-1I为对应入的A相对于B的特征向量(转化为求A B-1的特征向量问题)。 设I是相对于入的b-1/2ab-1/2的特征向量，则b-1/2ab -1/2i=刀可得A (B-1/2I)= B(B-1/2I)则B-1/2|为对应入的A相对于B的特征向量(转化为求b-1

8、/2ab-1/2对称阵的特征向量问题)。五、向量范数与矩阵范数向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的种度量。先讨论向量范数。1.向量范数定义：设V为数域F上的线性空间， 若对于V的任一向量x，对应一个实值函数HI，并满仅供学习与参考足以下三个条件：(1) 非负性(2) 齐次性| x|(3) 三角不等式|x0，等号当且仅当x=0时成立；k,x V;y|,x, y vI xib y I则称x为V中向量x的范数，简称为 向量范数。定 义了范数的线性空间定义称为例1. x cn ,它可表示成122 2就是一种范数，赋范线性空间。Tx12 Ln , i C ,n2i 1证明:(i)非负性当且仅当i

9、0 i1,2丄，n(ii)齐次性(iii)三角不等式L称为欧氏范数或2-范数。120时，即x = 0 时，22Re i i学习资料xx|2 M2 2 M；|y|；2恻2側2根据H?lder不等式:/ P nnaibii 1naPi 1bq 1qp,q1,1P1,ai,bi仅供学习与参考2 12llx y2.常用的向量范数（设向量为x 12 Ln1-范数：同i 1g -范数:l|x|p-范数：lk|pmax i ；1 i n(p>1, p=1, 2,g,)；2-范数:ii 1椭圆范数（2-范数的推广）:H12x A x Ax ，A 为 Hermite 正定阵.加权范数:nWi12学习资料仅

10、供学习与参考证明:(iii) yx vll当 A W diag w1 w2 L wnlip显然满足非负性和齐次性T12 Ln1pP 'wi，IIvllp npi 1nnpi 1n pi 1p 11px vll应用H?lder不等式p 1pp 1p1q1qp 'p1pp 'pi 1即妝y|pylp3.向量范数的等价性定理 设| |、| |为Cn的两种向量范数，则必定存在正数m、 M，使得m恻恻 m恻,(m、M 与 x 无关),称此为向量范数的等价性。同时有丄xll )M 11注：詡(1)对某一向量X而言，如果它的某一种范数小(或大)，那么它的其它范数也小(或大)。(2)不

11、同的向量范数可能大小不同，但在考虑向量序列的收敛性问题时，却表现出明显的一致性。4、矩阵范数向量范数的概念推广到矩阵情况。因为一个m Xn阶矩阵可以看成一个 mn维向量，所以Cm n中任何 一种向量范数都可以认为是 mXn阶矩阵的矩阵范 数。1.矩阵范数定义：设Cm n表示数域C上全体m n 阶矩阵的集合。若对于cmn中任一矩阵A，均对应一 个实值函数|a|,并满足以下四个条件：(1) 非负性：a| 0，等号当且仅当A=0时成立;(2) 齐次性：II A| | HI， C;(3) 三角不等式:IIa b| |a| |b|,a,b cmn,则称 |a|为广义矩阵范数；(4)相容性:|ab| |a

12、| |b|,则称A为矩阵范数。5.常用的矩阵范数(1) Frobenius 范数(F-范数)F-范数:trace(A H A)矩阵和向量之间常以乘积的形式出现，因而需要 考虑矩阵范数与向量范数的协调性。定义：如果矩阵范数|AI和向量范数IIX满足|Ax|A| 11x11则称这两种范数是相容的。给一种向量范数后，我们总可以找到一个矩阵范 数与之相容。(2)诱导范数设 A Cmxn, x Cn, H为 x的某种向量范数,记A max AxN 1 11则|a|是矩阵a的且与x相容的矩阵范数，也称之为A的诱导范数或算子范数。II Ax |pp(3) p-范数:A max"px,x为所有可能的

13、向量，x 1 p Ahlllxllp，l|Ax|AllpmaxllAx|n1 i 1可以证明下列矩阵范数都是诱导范数:nmax1 j nJ i 1ailm?axiiAxii1，aij1，l|Ax|列（和）范数;maxJ i（AHA）谱范数；AHA的最大特征值称为AHA的谱半径。当A是Hermite矩阵时，半径。注：谱范数有许多良好的性质，因而经常用到。IIaAll2 max "）是a的谱ah(3) |A|WL;2nmax1 i m . j 1aijaha行（和）范数max1 i n212)定理矩阵A的任意一种范数|a|是A的元素的连续函数；矩阵A的任意两种范数是等价的。定理 设A C

14、nXn, x Cn,则|A|f和|x|2是相容的 即ax|2 |a|f M2证明：由于 |ax|2|a|2 |x|2 |a|f |x|2成立。定理设a cnXn，则|a|f是酉不变的，即对于任意 酉矩阵U,V cnXn，有UAL IIuav |f证明：|UAV|F Jtr(UAV) H(UAV)JtrV hAhUhUAVJtrV HAHAVJtrA HAVV h Jtr(A ha)|a|f定义设A Cn><n , A的所有不同特征值组成的集合 称为A的谱；特征值的模的最大值称为 A的谱半径, 记为pA)。定理PA)不大于A的任何一种诱导范数，即PA) < IIA |证明：设入

15、是A的任意特征值，x是相应的特征向 量，即Ax=瓜则丨II x|= |AX|W |A| II x| 半 0即|A|试证：设A是n阶方阵，|A|是诱导范数，当|A|<1 时， I-A 可逆，且有|(I-A)-1| w-【H|)-1证明：若 I-A 不可逆，则齐次线性方程组(I-A)x=0有非零解X,即x=Ax，因而有|x|=|Ax| <|1A<|x|但这是不可能的，故 I-A 可逆。 于是 (I-A) -1= (I-A)+A (I-A) -1=I+A (I-A) -1 因此 |(I-A)-1|< |I+|A(I-A) -1|=1+|A(I-A) -1|W+|A| | (I

16、-A) -1|即证|(I-A)-1| MA|)-1补充证明 |I|=1 ：由相容性可知：l|A| |A-1|A A-1|=|l|x|lxIx|I1对于诱导范数（A| 肾x|Ax|）HImiaxlll1六、条件数条件数对研究方程的性态起着重要的作用。定义：设矩阵A是可逆方阵，称|A| |A-1|为矩 阵A的条件数，记为cond(A)，即cond(A)= |A| |A-1|性质：(1) cond(A)乞并且A的条件数与所取的诱导范 数的类型有关。因 cond(A)= |A| - |A-1| > |A-1A=|I|=1(2) cond(kA)= cond(A)=cond(A-1),这里 k 为

17、任 意非零常数。当选用不用的范数时，就得到不同的条件数，如：cond1(A)= |A|1 - |A-1|1cond®(A)= |A| a - |A-1|卜cond2(A)= |A|2 - |A-1|2=J，其中 1, n 分别为aha的特征值的模的最大值和最小值。谱条件数特别地，如果A为可逆的Hermite矩阵，则有icon d2(A)=n这里1, n分别为A的特征值的模的最大值和最小值如果A为酉阵，则cond2(A)= 1 例 求矩阵A的条件数condi(A), cond-(A)152A 210382解:|A|i=max6;14;4=14;|A|卜=max8;3;13=14;2 6

18、 21 1 A 1-484413 23 11故|A-1|1=17/4;|A-1|卜=47/4;cond1(A)= |A|1 . |A-1|1=14X 17/4=259/2;cond®(A)= |A| g |A-1|卜=611/4。例 设线性方程组Ax=b的系数矩阵A可逆。讨论当b有误差Sb寸，解的相对误差 放的大小。解：因矩阵A可逆，所以Ax=b有唯一解x=A-1b, 设解的误差为衣，由A(x+(X)=b+ 8 b得A 8x= 8 b或 8x=A-1 8 b得I x| |a 1 b I|a 1 II b|(1)又Ax=b，可得 丄因b lAI x|,或 |x|b|( 2)所以由(1)和(2),得IM uh IA q W d(A) ILbll何町A | 耐 cond(A) MII x|这说明相误差 的大小与条件数 cond(A)密切相ZV关；当右端b的相对误差con d(A)越大，解的相对误差就可能越大；cond(A)越小，解的相对误 差就可能越小。因而条件数 cond(A)可以反映A的特 性。一般来说：条件数反映了误差放大的程度，条件数越大，矩阵越病态。条件数在最小二乘估计的