第1部分专题3不等式第2讲三个二次关系与恒成立问题存在性问题

1、第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在 性问题【课前热身】第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性 问题（本讲对应学生用书第2122页）1.（必修5 P69练习3改编）不等式x2+x-2<0的解集为 .【答案】（-2，1）【解析】方程x2+x-2=0的根为xi=-2，x2=1，故不等式x2+x-2<0的解集为（-2，1）.2.（必修5 P73习题6改编）已知不等式ax2+bx-1<0的解集为x|x< 3或x>4,则a=，b=17【答案】-12 1217【解析】由题意知3和4是方程ax2+bx-1=0的两根，所以a（x-3）（x-4）=0，所以a=-12， b= 12

2、.3.（必修5 P94习题11改编）已知关于x的不等式x-ax+2a>0在 R上恒成立，则实数 a的取值范围是.【答案】（0，8）【解析】因为x2-ax+2a>0在R上恒成立，所以 =0-4>2a<0,所以0<a<8.4.（必修5 P71练习5改编）在R上定义运算：x*y=x（1-y）,若不等式（x-a）*（x+a）<1对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是1 3【答案】2 23-a2【解析】依题意知x-a-x2+a2<1恒成立，即3>0恒成立，于是a2-a- 4 <0恒成13立，解得-2 <a< 25.(必修1 P32

3、习题7改编)若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间0, 2上是增函数，且f(m)软0)，则实数m的取值范围是 .【答案】m|0令nW 4【解析】由函数的对称轴为x=2,且在0, 2上为增函数，知a<0,根据函数图象可得实数 m的取值范围是m| 0Wn W 4【课堂导学】谍堂导字含参一元二次不等式的解法例1解关于x的一元二次不等式(x-2)(ax-2)>0.【解答】当a=0时，原不等式可化为x-2<0，所以x<2.1(当a0寸，原不等式化为a(x-2p x- a / >o,22x-2Z当a>1时，a <2,原不等式化为(x-2) a &

4、gt;0，所以x< a或x>2.22当a=1时，a =2,原不等式化为(x-2)2>0,所以x R且xM22x-2当0<a<1时，a >2，原不等式化为(x-2) a >0,则x<2或x> a .当a<0时,2x-2a <2,原不等式化为(x-2) a <0，所以a <x<2.综上所述,当a=0时，原不等式的解集为x|x< 2;当a>1时，原不等式的解集为x|x -或 x 2a当a=1时，原不等式的解集为 x|x R且xm2当0<a<1时，原不等式的解x x集为a ；当玄<0时，原

5、不等式的解集为2XI a变式解关于x的一元二次不等式ax2+(a-1)x-1>0.【解答】由 ax2+(a-1)x-1>0，得(ax-1)(x+1)>0.当 a>0时，(ax-1)(x+1)>01x-a (x+1)>0x<-1 或 x> a ；当-1<a<0时，(ax-1)(x+1)>01x- a (x+1)<0 a <x<-1 ；当a=-1时,(ax-1)(x+1)>0-(x+1)2>0(x+1)2<0x当a<-1时,(ax-1)(x+1)>01x-a (x+1)<0-1

6、<x< a .综上所述,xx当a>0时，不等式的解集为-诫X -a当-1 <a<0时，不等式的解集为xl1 x -1a;当a=-1时，不等式的解集为；x|-1 x 当a<-1时，不等式的解集为a旦叫三个二次之间的关系例2(2019苏州调研测试)已知函数f(x)=x|x-a| , a R, g(x)=x2-i.当a=1时，解不等式f(x)肴(x);记函数f(x)在区间0, 2上的最大值为F(a),求F(a)的表达式.【解答】(1)由f(x)君(x)，当a=1时，即解不等式x|x-11汰2-1.当X时，不等式为x2-x汰<1，解得x<1所以x=1;当

7、x<1时，不等式为x-x22-1，解得-2所以-2強<1.-1,综上，不等式f(x)君(x)的解集为2所以 F(a)=f(2) =4-2a.因为x 0 , 2,当aw时，f(x)=x<ax,则f(x)在区间0 , 2上是增函数,当 0<a<2时，f(x)=2小-x ax,0 x2x -ax, aa,x 2,则f(x)在区间0,a2上是增函数，在区间是减函数，在区间a,2上是增函数，所以F(a)=maxaa2a而 f 2 = 4 , f(2)=4-2a,令 f 2 <f(2)，即4 <4-2a，解得-4-42 <a<-4+4 .2 ,所以当

8、0<a<4、2 -4时,F(a)=4-2a;2a_令f 2芳(2),即44a ,解得 a <-4-4 、2 或 a4+4、2 ,2a_所以当 4 r 2 -4<i<2时，F(a)= 4 .当 a2寸，f(x)=-x2+ax,a_当1w2 <2,即2<<4时，f(x)在区间上是增函数，在上是减函数,aa2则 F(a)=f 2 = 4 ；a当2孕即a4寸，f(x)在区间0, 2上是增函数,则 F(a)=f(2)=2a-4;4-2a, a 42-4,2,4 2-4 a 4,42a-4, a 4.综上，F(a)=变式(2019苏锡常镇一调)已知函数f(x

9、)=2x-1+a, g(x)=bf(1-x)，其中a, b R.若关于x的不等式f(x)荻x)的解的最小值为2，则实数a的取值范围是 .1【答案】(4,-2 U 4bx【解析】因为 g(x)=b(2-x+a),所以 f(x)君(x)，即 2x-1+a>2 +ab，即(2x)2-2a(b-1)2x-2b>0由二次不等式与二次方程的根的关系知，关于2x的方程(2x)2-2a(b-1)2x-2b=0的2x的值分别bbb为4，- 2 .因为2x取正值，要想2x最小为4，所以-2 <0,即b>0又因为4- 2 =2a(b-1)，所以4( a 2)1b= 4a 1 >0 解得

10、 a<2或 a>- 4 .亘啊> 恒成立问题与存在性问题例 3 已知函数 f(x)=x2+2ax-a+2.(1)若对于任意的x R, f(x) >恒成立，求实数a的取值范围;若对于任意的x -1, 1, f(x) >恒成立，求实数a的取值范围;(3)若对于任意的a -1, 1, x2+2ax-a+2>0恒成立，求实数x的取值范围.【点拨】恒成立问题中注意变更主元法的运用【解答】(1)若对于任意的x R, f(x)恒成立，需满足=a2-4(-a+2) <p解得-2毛<1故实数a的取值范围是-2, 1.(2) 由题知对称轴方程为x=-a,当-a<

11、;-1，即 a>1 时，f(x)min=f(-1)=3-3aQ解得a<1与已知矛盾，舍去；当-a>1，即 a<-1 时f(x)min=f(1)=3+a>Q解得-3<a<-1;当-1< 时,f(x)min=f(-a)=-a2-a+2>Q解得-1<a<l综上，实数a的取值范围是-3, 1.(3) 对于任意的 a -1, 1, x2+2ax-a+2>0恒成立，x22x-120,2等价于g(a)=(2x-1)a+x2+2>0,所以 x -2x120解得x1，所以x的取值范围是x|x 乂1.x2 2x a变式(2019盐城中学

12、)已知函数f(x)= x , x 1 , +s).(1)若对任意的x 1 , +s), f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；若对任意的a -1, 1, f(x)>4恒成立，求实数x的取值范围.【解答】(1)若对任意的x 1 , +7, f(x)>0恒成立，x2 2x a即 X >0, x 1 , +8)恒成立，亦即 x2+2x+a>0, x 1, +8)恒成立，即 a>-x2-2x , x 1, +8)恒成立，即 a>(-x2-2x)max , x 1 , +8),而(-x2-2x)max=-3 , x 1 , +8),所以 a>-3.所以实

13、数a的取值范围为a|a>- 3.因为a -1, 1时，f(x)>4恒成立，x2 2x a即 x >4, x 1 , +s)恒成立，所以x2-2x+a>0对a -1, 1恒成立，g(1) 0,x2-2x 1 0，2g(-1)0,即 x-2x-10,解得 x<1- .7 或把g(a)=a+x2-2x看成a的一次函数，则使g(a)>0对a -1, 1恒成立的条件是 x> 2 +1.又x>i所以x/T+1，故所求x的取值范围是(血+1, +【课堂评价】1. (2019 全国卷 I )设集合 A=x|x2-4x+3<0, B=x| 2x-3>0

14、，则 APB .3,3 【答案】223 3【解析】因为集合a=(1, 3) , B= 2,所以a nB= 2.2. (2019启东调研测试)已知偶函数f(x)在0, +7上单调递增，且f(3)=0 ,则不等式f(x2-2x)<0的解集为.【答案】(-1, 3)【解析】根据偶函数的性质，可得-3<x2-2x<3，解得-1<x<3 ,从而不等式的解集为(-1 , 3).3.(2019扬州中学)已知函数f(x)=3 x3+2x,对任意的t -3, 3, f(tx-2)+f(x)<0恒成立，则实数x的取值范围是【答案】3 31【解析】易知函数f(x)= 3 x3+2

15、x是 R上的奇函数且单调递增,f(tx-2)+f(x)<0化为 f(tx-2)<f(-x)，即tx-2<-x,问题变为g(t)=(x+1)t-2<0在t -3, 3上恒成立，故有g(-3)g(3)0,1<x<- 34.(2019徐州、连云港、宿迁三检)已知对满足x+y+4=2xy的任意正实数x, y ,都有x2+2xy+y2-ax-ay+1 >0则实数a的取值范围是 .17【答案】 '4(x y)2【解析】对于正实数x, y,由x+y+4=2xy ,得x+y+4=2xy<2,解得x+y>4不等式x2+2xy+y2-ax-ay+1 &

16、gt;可化为(x+y)2-a(x+y)+1令 t=x+y(t> 4)则该不等式可化为t2-at+1 >0 即1 1 12 2aW+t对于任意的t >4"旦成立，令u(t)=t+ t (t > 4,)则u'(t)=1-t = t >0对于任意的t >姮成立，从11 1717而函数u(t)=t+ t(t > 4为单调增函数，所以u(t)min= u(4) =4+ 4=4，于是a<4 .5.(2019宿迁一模)已知函数f(x)=x<2ax+a2-1，若关于x的不等式f(f(x)<0的解集为空集，则实数a的取值范围是.【答案

17、】(4,-2【解析】因为 f(x)=x-(a+1)x-(a-1),所以 f(f(x)<0 等价于f(x)-(a+1)f(x)-(a-1)<0 ,从而 a-1<f(x)<a+1，要使f(f(x)<0的解集为空集，根据函数的图象，则需y=a+1与y=f(x)至多有一个交点.又因为 f(x)=(x-a)2-1 >1，所以 a+1 <1，解得 a<2.温馨提示：趁热打铁，事半功倍请老师布置同学们完成配套检测与评估第1112页.【检测与评估】第2讲三个二次关系与恒成立问题、存在性问题一、 填空题1. 若关于X的不等式ax2+2x+a>0的解集为R,则

18、实数a的取值范围是 .丄2. （2019安徽省六校联考）若正实数x, y满足x+y=2，且xy勿恒成立，则M的最大值为 .23. （2019南师附中）若当x>-3时，不等式a$+x 3恒成立，则实数a的取值范围是 .4. 若对任意实数x -1, 1,不等式x2+ax-3a<0恒成立，则实数a的取值范围是 .5. （2019常州中学）当x （a,-1时，不等式（m2-m） 4x-2x<0恒成立，则实数m的取值范围是 6. （2019启东中学）已知f（x）=x2+2x+aln x,若f（x）在区间（0, 1上恒为单调函数，则实数 a的取值范围为.2 2丄丄4y27. （2019江

19、苏信息卷）若对任意实数x>1, y>2，不等式pW2y-1+ x-1恒成立，则实数p的最大值为.8.（2019苏大考前卷）已知不等式（ax+3）（x2-b） w对任意x （0, +恒成立，其中a, b是整数，则a+b的取值集合为二、解答题9. (2019 江苏怀仁中学)设函数 f(x)=a«+(b-2)x+3(az 0)若不等式f(x)>0的解集为(-1, 3)，求a, b的值；1 4若f(1)=2，a>0，b>0，求a + b的最小值.10. (2019 泰州中学)已知函数 f(x)=ax2+2x+c(a, c N*)满足 f(1)=5; 6<f

20、(2)<11.(1)求函数f(x)的表达式；若对任意的x 1 , 2,都有f(x)-2mx恒成立，求实数m的取值范围.11. (2019 浙江卷)设函数 f(x)=x2+ax+b(a, b R).2a(1)当b= 4 +1时，求函数f(x)在区间-1, 1上的最小值g(a)的表达式；已知函数f(x)在区间-1, 1上存在零点，且0)-2a<1求实数b的取值范围.【检测与评估答案】第2讲 三个二次关系与恒成立问题、存在性问题填空题1. (1, +x)【解析】当a=0时，易知条件不成立；当a工0寸，要使不等式ax2+2x+a>0的解集为R,a 0,必须满足4-4a0 解得 a&g

21、t;1.(x y)2 2 丄 丄2. 1【解析】因为正实数x, y满足x+y=2,所以xyw 4= 4 =1，所以xy>l又xy剤恒成立,所以M <1即M的最大值为1.2 23. (-a, 2 -2 -3【解析】设 f(x)=x+ x 3 =(x+3)+ x 3 -3 ,因为 x>-3 ,所以 x+3>0 ,故.(x 3)2f(x) >2x 3-3=2 *2 -3，当且仅当X2-3时等号成立，所以a的取值范围是(-汽2、2 -3.14.2【解析】设f(x)=x2+ax-3a.因为对任意实数x -1,1,不等式x2+ax-3a<0恒成立,所以f (-1) 1&

22、#174;3a 0,1f(1) 1 a-3a 0,解得 a> 25. (-1 , 2)【解析】原不等式变形为2 m -m<x1，因为函数y= 2 在(-a, -1上是减函数,-12=2.当x (-a, -1时，m2-m<x12 恒成立等价于 m2-m<2，解得-1<m<2.22x 2x a6. (-a, -4 U 0,+a)【解析】由题意知f(x)=2x+2+ x =x ，因为f(x)在区间(0, 1上恒为单调函数，所以f(x)在区间(0, 1上恒大于等于0或恒小于等于0,所以2x2+2x+a>或2x2+2x+a<在区间(0, 1上恒成立，即 a

23、>(2x2+2x)或a<(2x+2x)，而函数 y=-2x2-2x在区间(0, 1上的值域为-4, 0)，所以a >或a<4.2 x4y 当且仅当b=2a= 2时取等号(b1)2(a 1)27.8【解析】令a=2y-1,b=x-1 ,则2y-1 + x-1 =a +b，问题转化为求(b1)2(a 1)2a+b的最小值.又(b1)2 (a 1)2(a1)(b 1)ab(a b) 1ab1a ba + b >2.ab=2 x,ab=27 C1U.ab/ ab>2(2+2)=8,当且仅当a=b=1,即x=2, y=1时取等号8. 8,-2【解析】当 b W0寸,由(ax+3)(x2-b) <得 ax+3 <在 x (0,+*>)上恒成立，则 a<0,且 a 0+3 <Q矛盾，故b>0当b>0时，由(ax+3)(x2-b)w可设f(x)=ax+3, g(x)=x2-b, 又 g(x)的大致图象如图所示,那么由题意可知-3,1 因此