专题六尖子四边形中的相似问题专题答案

1、四边形中的相似问题专题题型一：平行四边形中的相似问题例14（2006威海）已知：如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点过O的直线MN交直线AB于点M，交直线CD于点N；过O的另一条直线PQ交直线AD于点P，交直线BC于点Q，连接PN、MQ（1）试证明PON与QOM全等；（2）若点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，则PON与QOM又有怎样的关系？试就点O在图所示的位置，画出图形，证明你的猜想；（3）若点O为直线BD上任意一点（不与点B、D重合），设OD：OB=k，PN=x，MQ=y，则y与x之间的函数关系式为y=考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质3056

2、60 专题：综合题分析：（1）根据平行四边形的性质容易得到全等条件证明DOPBOQ，PONQOM，然后利用全等三角形的性质得到PO=QO，MO=NO，然后再证明PONQOM就可以解决问题；（2）点O为直线BD上任意一点，则MOQNOP根据APBQ，BMCN可以得到比例线段，而NOP=MOQ，可以证明MOQNOP了；（3）根据（2）和已知可以得到，根据这个等式可以求出y与x之间的函数关系式解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，ADBC，PDO=QBODOP=BOQ，DO=BO，DOPBOQPO=QO（2分）同理MO=NOPON=QOM，PONQOM（4分）（2）解：画图（5分）MOQNOP（

3、6分）APBQ，BMCN，OD：OB=OP：OQ，OD：OB=ON：OMOP：OQ=ON：OM（7分）NOP=MOQMOQNOP（8分）（3）解：根据（2）和已知可以得到，y=（10分）点评：此题综合性比较强，把全等三角形，相似三角形放在平行四边形的背景下，综合利用这些知识来解题15（2010成都）已知：在菱形ABCD中，O是对角线BD上的一动点（1）如图甲，P为线段BC上一点，连接PO并延长交AD于点Q，当O是BD的中点时，求证：OP=OQ；（2）如图乙，连接AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S若AD=4，DCB=60°，BS=10，求AS和OR的长考点：全等三角形的

4、判定与性质；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定与性质305660 专题：综合题分析：（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证ODQOBP（2）首先求AS的长，要通过构建直角三角形求解；过A作BC的垂线，设垂足为T，在RtABT中，易证得ABT=DCB=60°，又已知了斜边AB的长，通过解直角三角形可求出AT、BT的长；进而可在RtATS中，由勾股定理求出斜边AS的值；由于四边形ABCD是菱形，则ADBC，易证得ADOSBO，已知了AD、BS的长，根据相似三角形的对应边成比例线段可得出OA、OS的比例关系式，即可求出OA、OS的长；同理，可通过相似三角形ADR和SCR

5、求得AR、RS的值；由OR=OSRS即可求出OR的长解答：（1）证明：ABCD为菱形，ADBCOBP=ODQO是BD的中点，OB=OD在BOP和DOQ中，OBP=ODQ，OB=OD，BOP=DOQBOPDOQ（ASA）OP=OQ（2）解：如图，过A作ATBC，与CB的延长线交于TABCD是菱形，DCB=60°AB=AD=4，ABT=60°AT=ABsin60°=TB=ABcos60°=2BS=10，TS=TB+BS=12，AS=ADBS，AODSOB，则，AS=，OS=AS=同理可得ARDSRC，则，OR=OSRS=（12分）点评：此题考查了菱形的性质、

6、全等三角形及相似三角形的判定和性质；（2）中能够正确的构建出直角三角形，求出AS的长是解答此题的关键17（2010宁波）如图1在平面直角坐标系中，O是坐标原点，ABCD的顶点A的坐标为（2，0），点D的坐标为（0，2），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G（1）求DCB的度数；（2）连接OE，以OE所在直线为对称轴，OEF经轴对称变换后得到OEF'，记直线EF'与射线DC的交点为H如图2，当点G在点H的左侧时，求证：DEGDHE；若EHG的面积为3，请直接写出点F的坐标考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；平行四

7、边形的性质；轴对称的性质305660 专题：综合题；压轴题；数形结合；分类讨论分析：（1）由于平行四边形的对角相等，只需求得DAO的度数即可，在RtOAD中，根据A、D的坐标，可得到OA、OD的长，那么DAO的度数就不难求得了（2）根据A、D的坐标，易求得E点坐标，即可得到AE、OE的长，由此可判定AOE是等边三角形，那么OEA=AOE=EOF=60°，由此可推出OFAE，即DEH=OFE，根据轴对称的性质知OFE=EFA，通过等量代换可得EFA=DGE=DEH，由此可证得所求的三角形相似过E作CD的垂线，设垂足为M，则EM为EGH中GH边上的高，根据EGH的面积即可求得GH的长，在

8、题已经证得DEGDHE，可得DE2=DGDH，可设出DG的长，然后表示出DH的值，代入上面的等量关系式中，即可求得DG的长，根据轴对称的性质知：DG=AF，由此得到AF的长，进而可求得F点的坐标，需注意的是，在表示DH的长时，要分两种情况考虑：一、点H在G的右侧，二、点H在G的左侧解答：解：（1）在直角OAD中，tanOAD=OD：OA=，A=60°，四边形ABCD是平行四边形，C=A=60°；（2）证明：A（2，0），D（0，2），且E是AD的中点，E（1，），AE=DE=2，OE=OA=2，OAE是等边三角形，则AOE=AEO=60°；根据轴对称的性质知：AO

9、E=EOF，故EOF=AEO=60°，即OFAE，OFE=DEH；OFE=OFE=DGE，DGE=DEH，又GDE=EDH，DGEDEH过点E作EM直线CD于点M，CDAB，EDM=DAB=60°，EM=DEsin60°=2×=，SEGH=GHME=GH=3，GH=6；DHEDEG，=即DE2=DGDH，当点H在点G的右侧时，设DG=x，DH=x+6，4=x（x+6），解得：x1=3+，x2=3（舍），点F的坐标为（1，0）；当点H在点G的左侧时，设DG=x，DH=x6，4=x（x6），解得：x1=3+，x2=3（舍），DEGAEF，AF=DG=3+，O

10、F=AO+AF=3+2=+5，点F的坐标为（5，0），综上可知，点F的坐标有两个，分别是F1（1，0），F2（5，0）点评：此题涉及的知识点较多，主要有：平行四边形的性质、轴对称的性质、全等三角形以及相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大题型二：梯形中的相似问题21（2000朝阳区）已知：在梯形ABCD中，ADBC，点E在AB上，点F在DC上，且AD=a，BC=b（1）如果点E、F分别为AB、DC的中点，如图求证：EFBC，且EF=；（2）如果，如图，判断EF和BC是否平等，并用a、b、m、n的代数式表示EF请证明你的结论考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质；平行线分线段成比例30

11、5660 分析：（1）连接AF并延长，交BC的延长线于M，利用ASA可证ADFMCF，那么，AF=MF，AD=CM，于是EF就转化为ABM的中位线，那么EF=BM，而CM=AD，所以EF=BM=（BC+CM）=（BC+AD）；（2）证法和（1）相同，只是换成求线段的长先利用平行线分线段成比例定理的推论，可得AF：FM=AD：CM=DF：FC=m：n，从而在ABM中，AE：BE=AF：FM，再利用比例线段的性质，就有AE：AB=AF：AM，再加上一个公共角，可证AEFABM，则AEF=ABM，那么EFBM，从而有EF：BM=AE：AB=m：（m+n），而AD：CM=m：n，可求CM，那么BM可求

12、，把BM代入上式即可求EF解答：（1）证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点M，（1分）ADBM，D=1，点F为DC的中点，DF=FC，又2=3，ADFMCF，AF=FM，AD=CM，（3分）点E为AB的中点，EF是ABM的中位线，EFBC，EF=BM，BM=BC+CM=BC+AD，EF=（AD+BC），即EF=（a+b）；（5分）（2）答：EFBC，EF=，证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点M，ADBM，又，在ABM中，有=EFBC，（9分）=，EF=BM=，（10分）而，CM=，（11分）EF=（b+），EF=点评：本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例

13、定理的推论、比例线段的性质等知识10（2007岳阳）已知：等腰RtABC中，A=90°，（1）如图1，E为AB上任意一点，以CE为斜边作等腰RtCDE，连接AD，则有ADBC；（2）若将等腰RtABC改为正ABC，如图2所示，E为AB边上任一点，CDE为正三角形，连接AD，上述结论还成立吗？答成立；（3）若ABC为任意等腰三角形，AB=AC，如图3，E为AB上任一点，DECABC，连接AD，请问AD与BC的位置关系怎样？答：ADBC请你在上述3个结论中，任选一个结论进行证明考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形305660 专题：几何综合题分析：欲证ADBC，

14、可以根据等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性质，证明ACDBCE，再证明AD与BC的内错角相等，得出结论解答：解：（1）ABC和DEC是等腰直角三角形，ABCDEC，ACB=DCE=45°=，DCA=ECBACDBCEDAC=EBC=45°DAC=ACBADBC（2）ABC和DEC是正三角形，ABCDEC，ACB=DCE=60°=，DCA=ECBACDBCEDAC=EBC=60°DAC=ACBADBC成立（3）ABC和DEC是等腰直角三角形，ABCDEC，ACB=DCE=，DCA=ECBACDBCEDAC=EBCDAC=ACBADBC点评：观察测量，

15、然后进行推理证明，是数学知识发现的基本规律本题考查了等腰直角三角形，正三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定注意证明方式相同8（2008安徽）如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；（2）求BP：PQ：QR考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质305660 专题：几何综合题分析：此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形（1）根据平行四边形的性质，可得到角相等BPC=BRE，BCP=E，可得BCPBER；（2）根据ABCD、ACDE，可得出PCQPAB，PCQ

16、RDQ，PABRDQ根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系解答：解：（1）四边形ACED是平行四边形，BPC=BRE，BCP=E，BCPBER；同理可得CDE=ACD，PQC=DQR，PCQRDQ；四边形ABCD是平行四边形，BAP=PCQ，APB=CPQ，PCQPAB；PCQRDQ，PCQPAB，PABRDQ（2）四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，BC=AD=CE，ACDE，BC：CE=BP：PR，BP=PR，PC是BER的中位线，BP=PR，又PCDR，PCQRDQ又点R是DE中点，DR=RE，QR=2PQ又BP=PR=PQ+QR=3PQ，BP：PQ：QR

17、=3：1：2点评：此题考查了相似三角形的判定和性质：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似题型三：矩形中的相似问题12（2008厦门）已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点A与C重合，再展开，折痕EF交AD边于E，交BC边于F，分别连接AF和CE（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AE=10cm，ABF的面积为24cm2，求ABF的周长；（3）在线段AC上是否存在一点P，使得2AE2=ACAP？若存在，请说明点P的位

18、置，并予以证明；若不存在，请说明理由考点：菱形的判定；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定与性质305660 专题：开放型；存在型分析：（1）因为是对折所以AO=CO，利用三角形全等证明EO=FO，四边形便是菱形；（2）因为面积是24，也就是AB、BF的积可以求出，所以求周长只要求出AB、BF的和就可以，而结合勾股定理它们和的平方减去乘积二倍就是AF的平方；（3）因为AC=AO所以可以从与AOE相似的角度考虑，即过E作EPAD解答：（1）证明：连接EF交AC于O，当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，OA=OC，AOE=COF=90°（1分）在矩形ABCD中，ADBC，EAO=

19、FCO，AOECOF（ASA）OE=OF（2分）四边形AFCE是菱形（3分）（2）解：四边形AFCE是菱形，AF=AE=10设AB=x，BF=y，B=90，（x+y）22xy=100又SABF=24，xy=24，则xy=48（5分）由、得：（x+y）2=196（6分）x+y=14，x+y=14（不合题意舍去）ABF的周长为x+y+AF=14+10=24（7分）（3）解：过E作EPAD交AC于P，则P就是所求的点（9分）证明：由作法，AEP=90°，由（1）得：AOE=90°，又EAO=EAP，AOEAEP（AA），=，则AE2=AOAP（10分）四边形AFCE是菱形，AO=

20、AC，AE2=ACAP（11分）2AE2=ACAP（12分）即P的位置是：过E作EPAD交AC于P点评：本题主要考查（1）菱形的判定方法“对角线互相垂直且平分的四边形”，（2）相似三角形的判定和性质30（2006成都）已知：如图，在正方形ABCD中，AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C，D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD，AE，BC于点F，H，G，交AB的延长线于点P（1）设DE=m（0m12），试用含m的代数式表示的值；（2）在（1）的条件下，当时，求BP的长考点：正方形的性质；平行线的性质；相似三角形的判定与性质305660 专题：几何综合题分析：（1）通过构建相似三角形

21、来求解，过点H作MNAB，分别交AD，BC于M，N两点那么MH就是三角形ADE的中位线，MH=m，那么HN=12m，只要证出两三角形相似，就可表示出FH：HG的值，已知了一组对顶角，一组直角，那么两三角形就相似，FH：HG=MH：NH，也就能得到所求的值（2）可通过构建相似三角形求解，过点H作HKAB于点K，那么HN=KB，MH=AK，根据FH：HG=1：2，就能求出m的值，也就求出了MH，HN的长，又知道了HK的长，那么通过三角形AKH和HKP相似我们可得出关于AK，KH，KP的比例关系，就可求出KP的长，然后BP=KPKB就能求出BP的长了解答：解：（1）过点H作MNAB，分别交AD，BC

22、于M，N两点，FP是线段AE的垂直平分线，AH=EH，MHDE，RtAHMRtAED，=1，AM=MD，即点M是AD的中点，AM=MD=6，MH是ADE的中位线，MH=DE=m，四边形ABCD是正方形，四边形ABNM是矩形，MN=AD=12，HN=MNMH=12m，ADBC，RtFMHRtGNH，即（0m12）；（2）过点H作HKAB于点K，则四边形AKHM和四边形KBNH都是矩形，解得m=8，MH=AK=m=8=4，HN=KB=12m=128=8，KH=AM=6，RtAKHRtHKP，即KH2=AKKP，又AK=4，KH=6，62=4KP，解得KP=9，BP=KPKB=98=1点评：本题主要

23、考查了相似三角形的判定和性质，要充分利用好正方形的性质，通过已知和所求的条件构建出相似三角形来求解是解题的关键13（2009宁波）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（8，0），直线BC经过点B（8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形OABC，此时OA、BC分别与直线BC相交于P、Q（1）四边形OABC的形状是矩形，当=90°时，的值是；（2）如图2，当四边形OABC的顶点B落在y轴正半轴上时，求的值；如图3，当四边形OABC的顶点B落在直线BC上时，求OPB的面积；（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明