华东师大初中数学八年级下册平行四边形的判定定理提高知识讲解

1、平行四边形的判定定理(提高)【学习目标】1 .平行四边形的四个判定定理及应用，会应用判定定理判断一个四边形是不是平行四边形.2 .会综合应用平行四边形的性质定理和判定定理解决简单的几何问题.【要点梳理】要点一、平行四边形的判定1 .两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2 . 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3 .两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4 .两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5 .对角线互相平分的四边形是平行四边形要点诠释：(1)这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.(2)这些判定方法既可作为判定平行四边

2、形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.【典型例题】部类型一、平行四边形的判定.1)、B、C在正方形网格的格点上(小正方形的边长为单位1、如图，点A为顶点的平行四边形.、口 B、C (1)在图中确定格点 D,并画出以 A的坐标是轴，建立直角坐标系，则你确定的点D为原点，BC所在直线为 x (2)若以C.【思路点拨】(1)分为三种情况：以 AC为对角线时、以 AB为对角线时、以 BC为对角线时，画 出图形，根据 A、B C的坐标求出即可；(2)在(1)的基础上，把 y轴向左平移了一个单位，根据平移性质求出即可.【答案与解析】(1)解：从图中可知 A (-3 , 2), B (-4 , 0) C

3、 (-1 , 0),'：mo以AB为对角线时，得出平行四边形 ACBD D的坐标ii,2-6 ,）是（的坐标D得出平行四边形 ABCD以AC为对角线时，,），是（02的坐标DABDC 得出平行四边形以 BC为对角线时，33 ,）是（-2, -2轴，建立直x所在直线为BC为原点，C） 解：以2 （.角坐标系，D的坐标是（-1 , 2）, （1, 2）, （-5, 2）,故答案为：（-1 , 2）或（1 , 2）或（-5 , 2）.【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，主要考查学生能否运用平行四边形的性质进行计算，注意：一定要进行分类讨论.举一反三【变式】（2016

4、?呼伦贝尔）如图，分别以 RtAABC的直角边AC及斜边AB向外作等边 ACD 及等边 ABE,已知：/ BAC=30 ° , EFLAB,垂足为 F,连接 DF .（1）试说明AC=EF ;（2）求证：四边形 ADFE是平行四边形.【答案】证明：(1)RtAABC 中，/ BAC=30 'AB=2BC ,又ABE是等边三角形，EFXAB ,AB=2AFAF=BC ,研二BC 在 RtAAFE 和 RtA BCA 中，皿二BARtAAFERtABCA (HL), AC=EF ;(2) . ACD是等边三角形， / DAC=60 ° , AC=AD , / DAB=

5、/ DAC +/ BAC=90 °又 EFLAB ,EF II AD ,AC=EF , AC=ADEF=AD ,四边形ADFE是平行四边形.2、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位.用实数加法表示为3+(-2) =1.若坐标平面上的点作如下平移：沿 x轴方向平移的数量为 a (向右为正，向左为负，平移 同 个 单位)，沿y轴方向平移的数量为 b (向上为正，向下为负，平移|b|个单位)，则把有序数对a , b叫做这一平移的“平移量”；“平移量” a , b与“平移量” c , d的加法运算. b+d, d=a+c , b+c , a法则

6、为解决问题：(1)计算：3 , 1+1 , 2 ; 1 , 2+3 ,1;(2)动点P从坐标原点O出发，先按照“平移量”3,1平移到A,再按照“平移量”1 , 2平移到B;若先把动点 P按照“平移量” 1 , 2平移到C,再按照“平移量”3, 1平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形 OABC证明四边形OABCM平行四边形.(3)如图2, 一艘船从码头 O出发，先航行到湖心岛码头P (2, 3),再从码头P航行到码头 Q(5, 5),最后回到出发点 0.请用“平移量”加法算式表示它的航行过程.【思路点拨】(1)本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项加前项，后项

7、加后项.(2)根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可.(3)根据题中的文字叙述列出式子，根据(1)中的规律计算即可.【答案与解析】解：（1） 3 , 1+1 , 2=4 , 3;1=32+)画最后的位置仍)证明：由知，225 1 2 OC=AB= 2210 13 OA=BC=是平行四边形.四边形 OABC3,出发，先向右平移2个单位，再向上平移 3个单位，可知平移量为2 ,)从(3O，故有到O的平移量为-5 ,-5的平移量为同理得到P到Q3,2,从Q ,-5=0 ,0 . 3+32 , 2+-5理解题目给出 【总结升华】 本题考查了几何变换中的平移变换，解答本 题关键是仔细审

8、题， 的信息，对于此类题目同学们不能自己凭空想象着解答，一定要按照题目给出的思路求解，克服思维定势.举一反三：个单相当于向右平移 3个单位，【变式】一动点沿着数轴向右平移 5个单位，再向左平移 2 . -2位.用实数加法表示为5+ () =3 (向右为正，向左为x若平面直角坐标系 xOy中的点作如下平移：沿轴方向平移的数量为a,个单位)|b|b ,平移回个单位)沿y轴方向平移的数量为(向上为正，向下为负，平移负，与“平移量”c, a则把有序数对，b叫做这一平移的“平移量”.规定“平移量” a , b . b+d, d=a+c , b+c , a的加法运算法则为 d(1)计算：3, 1+1 ,

9、2;(2)若一动点从点 A (1,1)出发，先按照“平移量” 2 , 1平移到点B,再按照“平移量” -1 , 2平移到点C;最后按照“平移量”-2 , -1平移到点D,在图中画出四边形 ABCD并直接写出点D的坐标；(3)将(2)中的四边形 ABCD以点A为中心，顺时针旋转 90° ,点B旋转到点E,连结AE、BE请用“平移量”加法算式表示动若动点P从点A出发，沿 AEB的三边AE、ER BA平移一周.点P的平移过程.解：(1) 3 , 1+1 , 2=4 , 3;(2) B 点坐标为：(1+2, 1 + 1) = (3, 2) ; C点坐标为：(3-1 , 2+2) = (2,

10、4); D点坐标为：(2-2 ,4-1 ) = (0, 3);如图所示：.30,) D (平移1个单位，个单位；个单位，向下平移2至点)点向上平移点E至点1个单位；个单位，AE,向右平移1 (3 3个单位；B,向右向下平移至点点 BA,向左平移2 . -1,3+-2 , -2+1 , 1的平移过程可表示为：P故动点.CD, O,分别与AB的对角线相交于点 O,直线EF经过点3、如图，平行四边形 ABCD是平行四边形.求证：四边形AECF的延长线交于点 E,选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面平行四边形的判定方法有多种，【思路点拨】，根据条件OA=OCOF=OE勺条件多些，本题所给的条件为四

11、边形ABC/平行四边形，可证 在图形中的位置，可选择利用“对角线相互平分的四边形为平行四边形”来解决.【答案与解析】证明：四边形 ABC/平行四边形， .OD=OB OA=OC. AB/ CD, ./ DFO=/ BEO / FDO=/ EBQ FDO和 EBO中，DFO= BEO FDO= EBO, OD = OB .FDW EBO (AAS, ,.OF=OE 四边形AECF是平行四边形.【总结升华】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.类型二、平行四边形的性质定理与判定定理的综合运用4、（2015?河南模拟）如图， ABC中

12、AB=AC点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点 E从点C出发沿线段 AC的延长线移动，已点知 D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F.（1）如图1,当点D在线段AB上时，过点 D作AC的平行线交BC于点G,连接CD GE,判 的形状，并证明你的结论；CDGBt四边形.（2）过点D作直线BC的垂线垂足为 M,当点D、E在移动的过程中，线段BM MR CF有何数量关系？请直接写出你的结论.备用图【思路点拨】（1）由题意得出 BD=CE由平行线的T质得出/DGBN ACB由等腰三角形的性质得出/ B=/ ACB得出/ B=/ DGB证出BD=GD=CE即可得出结论；（2）由（1）得：BD=

13、GD=CE由等腰三角形的三线合一性质得出BM=GM由平行线得出 GF=CF即可得出结论.【答案与解析】 解：（1）四边形CDG系平行四边.理由如下：如图 1所示: D、E移动的速度相同,.BD=CEDG/ AE, / DGB与 ACB. AB=AC.B=/ACB. B=/DGB.BD=GD=CE又 DG/ CE,.四边形CDG电平行四边形;(2) BM+CF=MF理由如下：如图 2所示:由(1)得：BD=GD=CEDML BC,.BM=GMDG/ AE,.GF=CF熟练掌握等【总结升华】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质;三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键.如

14、图，已知四边形 ABCD为平行四边形， AEX ）求证:举一反三 于F. BD于E, CF± BD【变式】2 M .形MEN用勺形状（不必说明理由）试判断四边 DM=BN同别为边AD BC上的点，且）若（【答案】 是平行四边形，解：（1） .四边形ABCD CDAB=CD , AB/ , / ABD=Z CDB'C,于 FCF'.' AE! BD于 E, ± BDC CFD=90° , ./ AEB= ), AAS>,. ABE,）可知：证明：由（1BE=DF为平行四ACDF （ BE=DF;MENF是平行四边形.（2）四边形边形，.

15、,四边形 ABCD,：AD/ BC / / MDB=NBD DM=BN .DMF BNE, , MFDN NEB,ABCD中，E、FZ NE=MF , MFE=/ NEF： / , /NE： MF 是平行四边形.四边形MENF是对角线BD上的两点，BE=DF,点G、5、如图，已知在 H分别在BA |和DC的延长线上，且 AG=CH 连接 GE EH HF、FG.（1）求证：四边形 GEHFM平行四边形；（2）若点G H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不 用说6明理由）.,根据两直线平行内错角相等/ CD先由平行四边形的性质，得 AB=CD AB【思路点拨】（1

16、,从 而得/ HFE,利用全等的性质， 证明/ GEF=再由SAS可证 GB昭 HDF得/ GBEV HDFGE=HF 运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证.II HF,又GE1）的证明方法进行证明.（2）仍成立.可仿照（【答案与解析】是平行四边形，1）证明：.四边形ABCD . GBEHDFAB=CDAB/ CD. AG=CH BG=DH / . GBE HDF又BE=DF5 . , / HFEGEB= HFR./GEF=：GE=HF / 是平行四边形.，：四边形GEHF=GE/ HF （证法同上）2）解：仍成立.（本 题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.【总结升华】举一反三 AGBGL于F, E± BD于，CF± BDBD【变式】如图， ABCD中，对角线 AC,相交于 O点，AE _ 是平行四边形. H.求证：四边形 GEHFACF G