导数综合练习题

1、导数练习题(B B) 1.1. (本题满分 1212 分) 已知函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + (c _ 3a _ 2 b) x + d 示. (I I )求c,d的值； (IIII)若函数f(x)在X=2处的切线方程为 求函数f(x)的解析式； (III(III)在(IIII)的条件下，函数 y=f(x)不 lf (x) 5x m 3 的图象有三个丌同的交点，求m的取值范围. 2.2. (本小题满分 1212 分) 已知函数f (x) =a In x _ax _3(a 乏 R). (I I )求函数f(x)的单调区间； (II II )函数f(x)的图象的在x=4处切线的

2、斜率为3,若函数 2 g(x) Jx3 - x2 f (x)-在区间(1 1, 3 3) 上丌是单调函数，求 m m 的取值范围. 3 2 3.3. (本小题满分 1414 分) 已知函数f(x)=x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点，且在x=1处取得极大值. (I I )求实数a的取值范围； 2 (II II )若方程f(x) 空丄恰好有两个丌同的根，求f(x)的解析式； 9 (III III )对于(II II )中的函数f(x)，对任意 R，求证：| f (2sinc()-f(2sin P)芒81 . 4.4. (本小题满分 1212 分) 已知常数a 0 , e为自然对数的底数，函

3、数f(x)=eX_x , g(x)=x?_alnx (I I)写出f(x)的单调递增区间，并证明ea .a ； (II II )讨论函数y=g(x)在区间(1,ea)上零点的个数. 5.5. (本小题满分 1414 分) 已知函数 f(x) =ln( x-1)-k(x-1) 1 . (I I )当k =1时，求函数f (x)的最大值； (II II )若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围; 6.6. (本小题满分 1212 分) 已知x=2是函数f (X) =(x2 ax _2a -3)ex的一个极值点(e =2.718). (I I )求实数a的值； (IIII)求函数f (x)在x?

4、,3的最大值和最小值. 2 7.7. (本小题满分 1414 分) 已知函数 f(x) =x2 4x 亠(2 a)ln x,(a .二 R,a =0) (I I)当 a=18a=18 时，求函数f(x)的单调区间； (II II )求函数f (x)在区间e,e,上的最小值. & & (本小题满分 1212 分) 已知函数 f (x) =x(x _6) +a In x 在 x 乏(2,宓) 上不具有单调性. (I I )求实数a的取值范围； (II II )若f (x)是f (x)的导函数，设g(x)二f (x) 6 ：，试证明：对任意两个丌 x 相等正数X、*2，不等式| g(

5、Xj -g(X2)I |X1X2恒成立. 27 9.9. (本小题满分 1212 分) 已知函数 f (x)=丄/ -ax +(a -1) In x,a 1. 2 (I I )讨论函数f(x)的单调性； (II II )证明：若 a : 5,则对任意 X1, X2 (0,匚),X! X2,有 - x?)-1. X1 _X2 10.10. (本小题满分 1414 分) 已知函数 f(x) = x2 - a In x, g (x) =(a 1) x ,a= -1 2 (I I)若函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求 实数a的取值范围； (II II )若 a (

6、1, e (e = 2.71828 )，设 F (x) = f (x) - g(x)，求证：当 X1,x 1, a时， 不等式 I F(x1) -F(x2) p：1 成立. 11.11. (本小题满分 1212 分) 设曲线 C : f(x)=l nx_ex ( e = 2.71828 ) , f (x)表示 f (x)导函数. (I I )求函数f (x)的极值； (IIII)对于曲线C上的丌同两点A(Xi,yJ， B(X2,y2)，X1，求证：存在唯一一 的X。化入),使直线AB的斜率等于厂(x). 12.12. (本小题满分 1414 分) 定义 F (x, y) =(1 x)y, x,

7、 y (0,匚), (I I )令函数f (x) =F(3, log 2(2x_x2 4)，写出函数f (x)的定义域； (II II )令函数g(x) =F(1,log 2(x3+ax2 +bx +1)的图象为曲线 C C,若存在实数 b b 使 得曲线 C C在X0(_4 ：X0 :： _1)处有斜率为一 8 8 的切线，求实数a的取值范围； (III III ) 当 x, y 三 N * 且 x :：: y 时，求证 F (x, y) . F (y ,x). 导数练习题(B B)答案 1.1. (本题满分 1212 分) 已知函数f (X) ax3 bx2 (c _32b)x d的图象如

8、图所 示. (I I )求c,d的值； (II II )若函数f(x)在X =2处的切线方程为3x y -10 , 求函数f(x)的解析式； (III III )在(II II )的条件下，函数 y = f (x)不 y =- f (x) 5x - m 3 的图象有三个丌同的交点，求m的取值范围. 解：函数f (X)的导函数为 f (x) 3ax2 2bx 3a _2b . (I I)由图可知 函数f(x)的图象过点(0 0, 3 3),且f(1)=0 得d二3 3a +2b +c 3a 2b =0 (II (II )依题意 f (2) -3 且 f (2)=5 12 a +4b 3a 2b

9、= -3 (2 2 分) d = 3 c =0 8a +4b 6a 4b +3 =5 解得 所以 f(x)=x3-6x29x 3 . ( 8 8 分) (III (III ) f(x)=3x2_12x+9 .可转化为: x3-6x2+9x+3=(x2-4x+3”5x+m 有三个 不等实根，即：gx=x37x2 xm与X轴有三个交点； g x =3x 14x8=3x2 x-4 , x J 2) I 3丿 2 3 ,4 3丿 4 (4,中比) g(x) + + 0 0 - - 0 0 + + g(x) 增 极大值 减 极小值 增 (10 (10 分) 当且仅当g 2 -m 0且g时，有三个交点,

10、故而，16 5：68为所求. . (1212 分) 27 2.2. (本小题满分 1212 分) 已知函数f (x) =a In x _ax _3(a E R). (I I)求函数f(x)的单调区间； (II (II )函数f(x)的图象的在X=4处切线的斜率为3,若函数 2 g(x) Jx3 - x2 f (x)-在区间(1 1 , 3 3) 上丌是单调函数，求 m m 的取值范围. 3 2 解：(I I) f(x)二空 (x .0) ( 2 2 分) x 当a 0 时，f(x)的单调增区间为 0,1 减区间为 1, : 当a 0 时，f(x)的单调增区间为 1,；,减区间为 0,1 丨 f

11、(x)不是单调函数 (5 5 分) 3a 3 - 得 a -2, f ( x) - -2 ln x 2 x - 3 4 2 (巴 2)x2 -2x,. g(x) =x2 (m 4)x -2 (6 6 分) 2 (1,3)上不是单调函数 ，且 g(0) = -2 me -3, (8 8 分). 19 ( 10 分)E ( -3) ( 12 12 分) mA, 3 L 3 当 a=1a=1 时， (II II ) f(4) 1 3 .g (x)二一 x 3 g (x)在区间 d(1) co, 3.3. (本小题满分 1414 分) 已知函数f(x)=x3 ax2 bx c的图象经过坐标原点，且在x

12、=1处取得极大值. (I I )求实数a的取值范围； 2 (II II )若方程f(x) 旦总恰好有两个丌同的根，求f(x)的解析式； 9 (III III )对于(II II )中的函数f(x),对任意R，求证：| f (2sinot)-f (2sin B) |兰81 . 解: ( I I ) f (0) =0, f (x) = 3x 亠 2 ax 亠 b，f (1) =0= b - -2a - 3 .f (x) =3x2 2ax -(2a 3) =(x -1)(3x 2a - 3), 由 f (x) =0=. x =1 或 x = 2a 3 ，因为当x=1时取得极大值, 所以一1 ：_3，

13、所以 a的取值范围是 ：(o,_3)； 3 ( 4 4 分) (II (II )由下表:x (q,1) 1 2a兴 (1, ) 3 2 a +3 3 2a +3 ( ，如 3 f&) + + P P 0 0 - - 0 0 - - f(x) 递增 极大 值 a 2 递减 极小值 a +6 2 -(2a +3) 27 递增 2 依题意得：(2a .3)2-B生，解得：a9 27 9 所以函数f (x)的解析式是：f(x)=x -9x T5x (1010 分 (III (III )对任意的实数:都有-2 _2s in ： _ 2,_2 _2si n 一： - 2, 在区间- -2 2 ,

14、2 2有： f ( 一2) = -8 一36 _30 = -74, f (1) = 7, f (2) = 8 一 36 30 = 2 f (x)的最大值是 f(1) =7, f (x)的最小值是 f(_2) =_8_36 一30 = -74 函数f(x)在区间【22上的最大值不最小值的差等于 81 81 , 所以 | f (2sin : J - f (2 sin ：)国81 . (1414 分 4 4.(本小题满分 1212 分 已知常数a .0 , e为自然对数的底数，函数f(x)=ex_x , g(xxalnx (I I)写出f(x)的单调递增区间，并证明ea .a ; (II II )讨

15、论函数y=g(x)在区间(1,ea)上零点的个数. 解：(I) f (x) F -1 _o，得f (x)的单调递增区间是(0,：) , . (2 2 分) a 0，二 f (a) f (0) =1，二 ea a 1 a，即 ea a . (4 (4 分)(II(II) 由g(x)=o，得宁，列表 x 2a (0,) 2 v2a 2 V27 , (，咼) 2 g(x) - - 0 0 + + g(x) 单调递减 极小值 单调递增 . 2a 2a a 2(x )(x - ) a 2 2 g (X) =2X 2 - 2 x x 当x二込时，函数y=g(x)取极小值g(J2)=旦(1 -ln旦)，无极

16、大值. 2 2 2 2 (6(6 g(i) =i 0 , (i)(i) 当二竺乞1，即0：a乞2时，函数y=g(x)在区间(1，ea)丌存在零点 2 (ii)(ii) 当 土 .1，即 a .2 时 2 若丹一吩).，即：2e时，函数_g(x)在区间(1,ea)丌存在零点 若日(1 -In日)=0，即a =2e时，函数y =g(x)在区间(1，ea)存在一个零点x =e ； 2 2 若旦(1 _in仝)：0，即a 2e时，函数y =g(x)在区间(1，ea)存在两个零点； 2 2 综上所述，y二g(x)在(1,ea)上，我们有结论： 当0 ：a :：: 2e时，函数f (x)无零点； 当a =

17、2e时，函数f(x)有一个零点； 当a 2e时，函数f (x)有两个零点. . (1 12 2 分) 5.5. (本小题满分 1414 分) 已知函数 f (x) =ln( x 1) -k (x -1) +1 . (I I )当k =1时，求函数f (x)的最大值； (IIII)若函数f(x)没有零点，求实数k的取值范围； 解：(I I)当 k =1 时，f (x) J x x 1 f (x)定义域为(1 1, + 叨),令 f(x)=0,得 x=2, . (2 2 分) .当 x (1,2)时，f (x) . 0，当 x (2,：:)时，f (x) ：0 , f (x)在(1,2)内是增函数

18、，在(2,=)上是减函数 .当 x =2 时，f (x)取最大值 f(2) =0 . ( 4 4 分) (II II )当k乞0时，函数 y =ln( x -1) 图象与函数 y = k(x -1) -1 图象有公共点， 二函数f(x)有零点，丌合要求; (8 8 分)分) 由(I I ) ea .a , a 2 a 2 a a g (e ) =e . a (e 亠 a)( e . a) .0 (8 分) 当k 0 时， 1 +k k(x - ) k x -1 令 f (x) =0,得 ” 1 1 +k kx f (x) k = x 1 x 1 k 1 . . k 1 1 . = , X (1

19、, )时，f (x) 0, x (1 ,匚)时，f (x) ：:0 , (6 分) f (x)在(1,1 -)内是增函数，在1 ,：:)上是减函数， k k 二 f(x) 的最大值是f (1 - -) = _ln k , k 函数 f(x)没有零点，二 _lnk ：0 , k 1 , 因此，若函数f(x)没有零点，则实数k的取值范围k. (1,;). . (10 10 分) 6.6. (本小题满分 1212 分) 已知x = 2是函数f (x) = (x? ax 一 2a 一 3心的一个极值点(e = 2.718). (I I )求实数a的值； (IIII)求函数f (x)在X ?,3的最大值

20、和最小值. 2 解：(I I )由 f (x) =( x 2 ax _2a _3)e % 可得 f(x)=(2x - a)ex - (x2 ax2a3)ex =x2 - (2 a)xa3ex . ( 4 4 分) T x =2是函数f (x)的一个极值点，二f=0 7.7. (本小题满分 1414 分) 已知函数 f (x) = x2 - 4 x - (2 - a) ln x,(a 三 R,a 尸 0) (I I)当 a=18a=18 时，求函数f(x)的单调区间； (II II )求函数f (x)在区间e,e2上的最小值. 解：(I) f(x)=x2_4x_16l nx , 、 .16 2(

21、x +2)(x -4) f (x) = 2x4 一 x x 由 f (x) 0 得(x - 2)(x -4) 0，解得 x 4 或 x ”2 注意到x 0，所以函数f(x)的单调递增区间是(4 4, +呵 由 f (x) :： 0 得(x - 2)(x -4) : 0，解得- -2 2v x V 4 4, 注意到x 0，所以函数f(x)的单调递减区间是(0,4. . 综上所述，函数f (x)的单调增区间是(4 4, + +x),单调减区间是(0,4 (H) 在 e, e2时,f(x) = X2 -4x (2-a)ln x 2 (a 5) e? = 0 ,解得 a - -5 . . (II (I

22、I )由 f (x) =(x -2)(x-1)ex 0，得 f(x)在(一：,1)递增，在(2,：)递增, 由f (x) 22(2 _ a) = 8a : 0 , 此时g(x) . 0，所以f(x) 0 , f (x)在e,e2上单调递增, 所以 f (x)min 二 f (e)二 e? 4e 2 a 当 a . 0 时，= =16-4 2(2 -a) =8a . 0 , 令 f (x) . 0，即 2x -4x 2 -a . 0，解得 x 2 或 x ： 1 一一2 ; 2 2 解得1 一土 *:1丄 2 2 令 f (x) ：: 0，即 2x2 -4x 2 _ a : 0 , 若 1 2a

23、 e2，即 a 2(e2 -1)2 时， 2 f (x)在区间e,e2单调递减，所以f(x)mi 若e : e?，即 2(e 一1) ? : a ： 2(e? -1/ 时间， 2 f(x)在区间e,1 土上单调递减，在区间1 丄： 2 2 2a a -、2a 所以 f (x)min = f(1 ) 2a -3 (2 - a) In( 1 ). . 2 2 2 若1 W，即0 ： a W2 - 1) 2时，f (x)在区间e, 单调递增， 2 所以 f (x)min = f (e)二e? 4e 2 a 综上所述，当 a 2：e2 -1)2 时，f (x)min =a4-4e4-2a ； 当 2(

24、e -1)2 : a 2(e2 -1)2 时，f (x)min =亘 一 . 2a - 3 (2 - a) I n( 1 )； 2 2 = e2-4e2-a 14 14 分 min 2 =f (e ) = e 2 -4e 4 一 2a . . ，e2上单调递增,当 a 27 g (Xi) gg) X1 - X2 38 27 即 | g (xj -g(X2) | 38 必-X2 I 27 (12 (12 分)方法 2 2： M (X1, g (X1)、 NEgg)是曲线y =g(x)上任意两相异点, g (Xi) -g(X2) 2( Xi X2) X1 -X2 2 2 X1X2 X1X2 , X

25、1 X2 2. X1X2 , a : 4 2 2 X1 X2 2 X1X2 (! X1X2 )3 X1X2 a 2 1 =,t 0，令 kMN 二U(t) =2 - 4t3 (t) 0，得 t -2,由 U ：:0 得 0 : t 3 (. X1X2 )3 X1X2 (8 (8 分 )2 - -4t , u (t) =4t(3t -2), .u在(丐)上是减函数，在(：)上是增函数, 2 38 -u(t)在t =处取极小值一 一 27 38 ，u 叭 27， 二所以 g(xj gg) X1 一 X2 38 一 27 即 I g (xj -g (X2) | | X1 27 x2 1 (12 (1

26、2 分)9 9.(本小题满分 1212 分) 已知函数f (x)丄2 2 ax 亠(a -1) ln x, a 1. (I)讨论函数f(x)的单调性; (II(II)证明：若 a : 5,则对任意 xX2 (0, X2,有 X1X2 (1(1) f (x)的定义域为(0, ；), f(x)=xa 邑 2 x ax 亠 a -1 (x-1)(x1-a) (i) 右 a_1=1,即 a = 2，则 f(x)=.故 f (x)在(0,；)单调增加. x (ii) 若 a -1 ：:1,而 a 1,故 1 :： a :; 2,则当 x (a _1,1)时,f (x) :：: 0. 当 x (0,a_1

27、)及 x (1,匸)时,f (x) . 0,故 f (x)在(a -1,1)单调减少，在(0 0, a a- -1 1), (1,；)单调增加. (iii iii )若 a -1 1,即 a . 2,同理可得 f(x)在(1,a _1)单调减少，在(0,1), (a _ 1,;) 单调增加. (II II )考虑函数 g(x)二 f(x) - x =x ax +(a 1) ln x + x. 2 丄 a -1 / a 1 , - 2 由 g(x) = x (a 1) 2一 x - (a 1) =1 (a 1 1). X 丫 X 由于a : a 5,故 g(x) . 0,即 g(x)在(0,：)

28、单调增加，从而当X1 x? 0时有 g(xj g(X2) 0,即 f (xj - f(X2) X! X2 0, 岛 f (xj f(X2) 当小 口斗若 f(xj f(X2) f(X2)f(x 故 - - 1 , 当 0 : x1 : X2 时，有 - - - - 1 X1 X2 X1 X2 X2 X1 1010.(本小题满分 1414 分) 已知函数 f(x) = x2 - a ln x, g (x) =(a -1) x ,a= -1 2 (I I )若函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同，求 实数a的取值范围； (II II )若 a (1, e (e =

29、2.71828 )，设 F (x)二 f (x) g(x)，求证：当 X1,x 1, a时, 不等式 | F(x1) -F(X2)|：1 成立. 解：(I I) f (x) =x , g (x) = a 1 , . (2 2 X 分) 函数f(x), g(x)在区间1,3上都是单调函数且它们的单调性相同， 2 当 1,3时，f (x) g (x) = (a 1)(X 3_0 恒成立， . X 即(a -1)( x2 a) _0 恒成立， !aT2在x可1,3时恒成立，戒戸*在x可1,3时恒成立， a / ：X I a _ -x -9 _x _ 一1 , . . a I- T 或 a _ -9

30、. 分) 1 2 a (x-a)(x-1) (II (II ) F(x)=x +a In x, (a +1) x F (x) = x(a+1)= - x x T F(x)定义域是(0, ；) , a (1, e，即 a 1 F(x)在(0,1)是增函数，在(1,a)实际减函数，在(a, ；)是增函数 (4 分) .当 X =1 时，F(X)取极大值 M =F (1) - -a 1 , 2 当 x = a 时，f (x)取极小值 m = F(a)=alna_2a2 _a , (8 (8 分)-x1 ,x1, a , .| F 化)一 F (x2) |兰| M m |= M -m a a ln a

31、 ，贝U G (a) = a In a1 , 2 2 (10 (10 分)设 G (a) =M G (a)K =1 ,T a (1, e ,.G (a). 0 -G (a)二 a _lna_1 在 a (1, e是增函数， G (a) . G (1) G(a) a?_al na 在 a 三(1, e也是增函数 . (1212 2 2 分) 2 1 2 1 (e1) - G (a) _G (e)，即 G(a) e -e 1 , 2 2 2 2 2 1 2 1 (e1) (3 -1) . HU e e 1 1=1，G(a)=M_m：1 2 2 2 2 二当 X1，X2 - 1,a时，不等式 | F

32、 (xj F(X2) |：:1 成立. . (1414 分) 1111.(本小题满分 1212 分) 设曲线C : f(x)=I nxex ( e = 2.71828 ),f (x)表示 f (x)导函数. (I I )求函数f (x)的极值； (IIII)对于曲线C上的丌同两点A(X1，yJ , B (x2, y2) , xx2，求证：存在唯 的X。(X-X2),使直线AB的斜率等于f(X。). 解: ( I I ) f(X)二1 e = =0，得 x 二1 x x e 当X变化时，f (X)不f(x)变化情况如下表: X 1 (0,) e 1 e 1 (_,七C) e f (X) + 0

33、0 一 f (X) 单调递增 极大值 单调递减 二当X时，f(x)取得极大值f(丄)-2，没有极小值; e e 分) (4(4 (II(II)(方法 1 1)Tf (x)也 1 一 -e In x2 In x e(x2 xj X0 X2x2 - - 一 In - = 0 X1 X0 即 x0 In (x2 xj =0 , X1 设 g(x) X2 =x In (x2 - Xt) X1 X2 g (xj 二洛 In (X2 - xj , X1 g (xj ： =In B _10 , g (xj 是 x 的增函数， 1 X! . X2 X1 ：X2，g (X1) ： g(X2) = X2 In (

34、X2 - X2) = 0 ; X2 -h (x) = x In x2 - x In x 亠 x - x2 在0 ：: x ：: x2 是增函数 二 g (xj =h(Xi) ：: hg) =0，同理 g&2) 0 方程 xIn X2 -xIn Xi & -X2 =0 在 x (石必)有解 . (i0 i0 分) 一次函数在(xi, x2) g(x) =(In x2 -In xi) x - xx2 是增函数 方程 x In X2 - x In Xi 亠 Xi - X2 = 0 在 x 三(x，x? )有唯一解，命题成立 . (i2i2 分) 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线 c丌存在拐点，丌给分. i2i2.(本小题满分 i4i4 分) 定义 F (x, y) = (i x)y, x, y (0,：), (I I )令函数f (x) F (3, log 2(2 x _x2 4)，写出函数f (x)的定义域； (IIII)令函数g(x) =F(i,log 2(x3 +ax2 +bx +i)的图象为曲线 C C,若存在实数 b b 使 得曲线 C C 在x (4 :：: x -1)处有斜率为8 8 的切线，求实数a的取值范围； (III III ) 当 x, y N * 且 x : y 时，求证 F (x,y) F(y,x). 解: ( I I