第六章 代数系统

1、第六章第六章 代数系统代数系统1. 填空题：f 是 X 上的 n 元运算的定义是（ ） 。2. 判断正误，并说明原因：自然数集合 N 上的减法运算“” 是个封闭的运算。3. 判断正误，并说明原因：实数集合 R 上的除法运算“” 是个封闭的运算。4.填空题：代数系统的定义是：（ ） 。5. 填空题：*是 X 上的二元运算，*具有交换性，则它的运算表的特征是（ ） 。6.填空题：*是 X 上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（ ） 。7. 简答题：*是 X 上的二元运算，*具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？8. 简答题：*是 X 上的二元运算，*具有零元，如何在它的运算表

2、上判定哪个元素是零元？9. 简答题：*是 X 上的二元运算，*具有幺元，如何判定哪个元素是元素 x 的逆元？10 令 N4=0,1,2,3，N4上定义运算+4：任何 x,yN4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。 例如 2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)1请列出的运算表。然后判断+4 运算是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素是否有逆元？如果有上述这些元素，请指出这些元素都是什么。11. 判断正误，并说明原因：对于整集合 I 上的减法运算“”来说， 0 是幺元。12. 填空题：E 是全集，E=a,b，E 的幂集 P(E)上的交运算 的幺元是（ ） 。零元是（ ）

3、。有逆元的元素是（ ） ，它们的逆元分别是（ ） 。13. 填空题：E 是全集，E=a,b，E 的幂集 P(E)上的并运算 的幺元是（ ） 。零元是（ ） 。有逆元的元素是（ ） ，它们的逆元分别是（ ） 。14. 填空题：E 是全集，E=a,b，E 的幂集 P(E)上的对称差运算 的幺元是（ ） 。零元是（ ） 。有逆元的元素是（ ） 。它们的逆元分别是（ ） 。15. 填空题：对于自然数集合 N 上的加法运算“” ，13（ ） 。16. 填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（ ） 。17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有（ ） ，其零元是（ ） 。18. 设是 X 上的二元运算，如果有

4、左幺元 eLX，也有右幺元 eRX，则 eL= eR =e ，且幺元 e 是唯一的。19. 设是 X 上的二元运算，如果有左零元 LX，也有右零元 RX，则L=R =,且零元 是唯一的。20. 设是 X 上有幺元 e 且可结合的二元运算，如果 xX，x 的左、右逆元都存在，则 x 的左、右逆元必相等。且 x 的逆元是唯一的。21. 设是 X 上且可结合的二元运算，如 aX，且 a-1X，则 a 是可消去的，即任取 x,yX，设有 ax=ay 则 x=y。22. 对于实数集合 R，给出运算如下：是加法、是减法、 是乘法、max 是两个数中取最大的、min 是两个数中取最小的、|x-y|是 x 与

5、 y 差的绝对值。判断这些运算是否满足表中所列的性质。如果满足就写“Y”,否则写“N” 。maxmin|x-y|可结合性可交换性存在幺元存在零元23. 设 R 是实数集合，在 R 上定义二元运算* 如下：任取 x,yR，x*y=xy2x2y61验证运算* 是否满足交换律和结合律。2求运算*是否有幺元和零元，如果有请求出幺元和零元。3对任何实数 x，是否有逆元？如果有，求它的逆元，如果没有，说明原因。24.设是 X 上有幺元 e 且可结合的二元运算，求证如果xX，都存在左逆元，则 x 的左逆元也是它的右逆元。25. .给定下面 4 个运算表如下所示。分别判断这些运算的性质，并用“Y”表示“有”

6、，用“N”表示“无”填下面表。如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素，要指出这些元素是什么。a b ca b ca b cb c ac a ba)a b ca b ca b cb a cc c cb)a b ca b ca b ca b ca b cc)a b ca b ca b cb b cc c bd)交换性幂等元幂等性有幺元有零元有可逆元素a)b)c)d)26. 分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构？27. 什么叫做同态核？28.请举同构的两个代数系统的例子，并说明它们同构的理由。29. 给出集合 A0,1,2,3和 A 上的二元运算“*” 。集合 BS

7、,R,A,L和 B 上的二元运算“ ” 。 它们的运算表如下面所示。验证与同构。0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2* *S R A LS S R A LR R A L SA A L S RL L S R A 30 令 S=|X 是集合，*是 X 上的二元运算，即 S 是所有含有一个二元运算的代数系统构成的集合。 是 S 中的代数系统间的同构关系。求证， 是 S 中的等价关系。31. 令 A=0,1,2,3,4,B=1,2,4,8,16,，+表示加法，*表示乘法， 问和是否同构？为什么？32 已知代数系统和，其中 S=a,b,c P=1,2,3

8、 二元运算表如下所示：a b cabca b cb b c c b c 1 2 31231 2 11 2 21 2 3* *试证明它们同构。33 给定两个代数系统，：R+是正实数，是 R+上的乘法运算；： R 是实数集合，是 R 上的加法运算。它们是否同构？对你的回答给予证明或者举反例说明之。34. 已知代数系统与同构，即 X Y。并设 f：XY 是同构映射, 请证明如果运算可结合，则运算 也可结合。35. 已知代数系统与同构，即 X Y。并设 f：XY 是同构映射, 请证明如果运算可交换，则运算 也可交换。36. 已知代数系统与同构，即 X Y。并设 f：XY 是同构映射, 请证明如果运算有

9、幺元 e ，则运算 也有幺元 e ，且 f(e )= e 。37. 已知代数系统与同构，即 X Y。并设 f：XY 是同构映射, 请证明如果运算有零元 ，则运算 也有零元 ，且 f()= 。38 已知代数系统与同构，即 X Y。并设 f：XY 是同构映射, 请证明如果中每个 xX 可逆，即 x-1X, 则中每个 yY 也可逆，即 y-1Y。 且如果 y=f(x) ，则 y-1= (f(x)-1 =f(x-1)。(x 映像的逆元=x 逆元的映像)39 集合 A 上两个同余关系 R、S, 证明 RS 也是同余关系.40. 考察代数系统,定义 I 上如下关系 R 是同余关系？a).R 当且仅当(x0

10、y0)(x0y0)b). R 当且仅当|x-y|10c). R 当且仅当(x=y=0)(x0y0)d). R 当且仅当 xy41. 填空：是 A 上二元运算，代数是半群，当且仅当（ ） 。42. 填空：是 A 上二元运算，代数是独异点，当且仅当（ ） 。43 列举出 5 个你所熟悉的是半群的例子。44. 列举出 5 个你所熟悉的是独异点的例子。45 列举出 1 个你所熟悉的是半群但不是独异点的例子。46. 给定代数系统 ，是实数 R 上二元运算，定义为：a,bR,a b=a+b+ab求证 是独异点。47. 是个半群，a,bA，若 ab 则 abba，试证：a) aA，有 aa=ab) a,bA

11、， aba=ac) a,b,cA， abc=ac48. 设是个半群，且左右消去律都成立，证明 S 是交换半群的充要条件是对任何a,bS，有 (a*b)2=a2*b249. 设是半群，如果 S 是有限集合，则必存在 aS,使得 aa=a。50. 设 A 是有理数集合，在笛卡尔积 AA 上，定义二元运算如下：任取,AA = 其中：是乘法。+是加法。求证是独异点。51.设是交换独异点，A 是 M 中所有幂等元构成的集合，证明是的子独异点。52.令 I：是整数集合；N：自然数集合，R：实数集合。是加法运算，是乘法运算。给定代数系统, ,。请问哪些代数系统不是群？只要说明一条理由即可。又问哪些代数系统是

12、群？并说明理由。53. X=R0,1, X 上定义六个函数，如下所示：xX,f1(x)=x f2(x)=x-1 f3(x)=1-x f4(x)=(1-x) -1 f5(x)=(x-1)x-1 f6(x)=x(x-1) -1令 F=f1,f2, f3, f4, f5, f6， 是 F 上的复合运算，试证明是群。54. 令 R 是实数，F=f| f(x)=ax+b，a,b,xR,ao ， 是 F 上的函数左复合运算，试证明是群。55. 设是半群，e 是左幺元，且对每个 xA， xA，使得 xx=e, a) 证明, a,b,cA，若 ab=ac， 则 b=c。b) 证明是群。56. .设是群,且|A

13、|=2n, n 是正整数，证明 A 中至少存在一个元素 a，使得a*a=e。57. 填空：令是群,其中 G=a,b,c，设 a 是幺元，则 b2=( )，b*c=( )，b 和 c的阶分别是( )和( ) 。58. A 是非空的有限集合，且|A|n 。 令Ff| f 是 AA 的双射函数1求 |F| 等于多少？2令 * 是函数的左复合运算。问是群吗？如果是，给予证明。如果不是，要说明理由。59. 设是 4 阶群，其中 Ga,b,c,d，已知 a 是幺元，b 与 c 互为逆元。首先计算 c*d (要有计算过程)，再分别求元素 b 与 d 的阶。60. 设是 4 阶群，其中 Ga,b,c,d，已知

14、 a 是幺元，且所有元素的逆元都是它自身。求满足方程式 b*x=c*d 中的 x 。61. 判断下列各命题的真值，并说明理由。1是个 n 阶群，则对于任何 a,bG,有 (a*b)-n=(b*a)n。2设 f 是群到群的满同态映射，则对任何 a,bG，有 f(b*a-1)=(f(a*b-1)-1。 62. 设是个群 ,证明 G 中除幺元外,无其它幂等元。63. 设是个群，则对任何 a,bG, 证明存在唯一元素 xG, 使得 ax=b 。64. 是个群，对任何 a,bG，证明 (ab)-1=b-1a-1 。65. 是个有限群，证明 G 中每个元素在运算表中的每一行必出现且仅出现一次。66. 填空

15、：是个 n 阶群，则运算表有（ ）特征。67. 什么叫做群的阶？68. 什么叫做群中运算的阶？69 指出整数集合加法群中，各个元素的阶是什么？为什么？70. 是群, aG, 如果 a 的阶为 n ,证明 ak=e， 当且仅当 k=mn (mI)(即 k是 n 的整数倍)71. 证明群中的元素与其逆元具有相同的阶。72.设是有限群，任何 aG，证明 a 的阶都是有限的。73. 设是群，而 aG, f:GG 是映射, 对xG, f(x)=axa-1 求证 f 是 G 到 G 的自同构。74. 设是个群,而 aG,如果 f 是从 G 到 G 的映射,使得对任何 xG, 都有f(x)=a-1*x*a试

16、证明 f 是从 G 到 G 的自同构.75. 设与都是群，在 A 与 B 的笛卡尔积 AB 上，定义二元运算如下：任取,AB =求证也是群。76. 设与都是群，在 A 与 B 的笛卡尔积 AB 上，定义二元运算如下：任取,AB =已知也是群。定义映射 f: ABA ,对任意AB,f()=a求证 f 是到 的同态映射，并求出 f 的同态核。77. 令 G2m3n|m,nQ,Q 是有理数， “”是 G 中乘法运算。1证明是个群。2给定映射 f:G G，f 定义为 f:2m3n2m，证明 f 是 G 到 G 的同态映射；并求出 f 的同态核。78. 给出两个群和的运算表如下：证明它们同构。p1 p2

17、 p3 p4p1 p1 p2 p3 p4p2 p2 p1 p4 p3p3 p3 p4 p1 p2p4 p4 p3 p2 p1q1 q2 q3 q4q1 q3 q4 q1 q2q2 q4 q3 q2 q1q3 q1 q2 q3 q4q4 q2 q1 q4 q3 79. 判断下面命题的真值。并简单说明原因。1R 为实数集合，为乘法运算，则是个交换群。2设是 n 阶群，则对任何 a,bG，有 a-n=bn。3设是群，且对 G 中任何元素的逆元都是它自身，则它是交换群。80. 是交换群，当且仅当 对任何 a,bG 有 (ab)(ab)=(aa)(bb) ( 即(ab)2=a2b2 )81.令 G=km

18、|kZ，m 是某个确定的自然数，Z 是整数集合，是加法运算。证明 是交换群。82. 设 I 是整数集合，在 I 上定义二元运算 如下：对于任何 a,bI ab=ab2 求证是个交换群.83. 已知是交换群，aG，在 G 上又定义一个二元运算“”如下：对于任何 x,yG，xy=x*a-1*y (其中 a-1是 a 对于*运算的逆元)求证也是交换群。84. 令 G 是所有非 0 实数构成的集合，在 G 上定义二元运算 如下：任何 a,bG, ab2ab。求证是个交换群。85. 设 I 是整数集合，在 I 上定义二元运算*如下：对于任何 a,bI ab=ab4 求证是个交换群。86 设是群，xG,有

19、 xx=e,证明是交换群 。 87. 证明任何阶数为 1,2,3,4 的群都是交换群，并举一个 6 阶群，它不是交换群。88. 给定集合x|x 是有理数且 x1，在上定义二元运算*如下：对任何 a，b，a*b=a + b + ab。求证是交换群。89. 设是群，a,bG,有 a3b3=(ab) 3, a4b4=(ab) 4, a5b5=(ab) 5,证明是交换群 。90. 什么叫做循环群？什么叫做循环群的生成元？什么叫做循环群的循环周期？91.证明循环群都是交换群。92.给定群 其中 N4 =0,1,2,3，+4是以 4 为模的加法运算。是循环群吗？为什么？如果是循环群请指出它的循环周期。93

20、. 给定群，它，它是循环群吗？为什么？如果是循环群请指出它的循环周期。94.填空：设是个以 g 为生成元的有限循环群，|G|=n，则 G=( )。95. 令 I 是整数集合，在 I 上定义二元运算 如下：对于 I 中任何 a 元素，ab=ab2求证是个循环群96. 设 I 是整数集合，在 I 上定义二元运算 如下：对于任何 a,bI ab=a1b 求证是个循环群.97. 设 G=1,2,3,4,5,6, 7是 7 为模的乘法运算，即x,yG，x7y=(xy)(mod 7)， 例如 47520(mod 7)=6是循环群吗？如是,指出生成元。98. 循环群的任何子群都是循环群。99. 填空题：设是

21、以 g 为生成元的 n 阶循环群，则元素 g 的阶为（ ） 。100 判断题下面命题的真值：循环群的生成元也是其任何子群的生成元。101. 什么叫做子群？102 名词解释：平凡子群与真子群103.设是群, B 是 G 的有限子集,如果在 B 上满足封闭性，则是的子群。104.填空：设是群的子群，aG，定义集合：aH=( )则称 aH 为 a 确定的 H 在 G 中的左(右)陪集。105 设 H3=0,2,4，是以 6 为模的加法运算。验证是的子群。并分别求左陪集 1H3和 2H3。106.设 N6=0,1,2,3,4,5，6是 N6上以 6 为模的加法运算。即任何 x,y N6，x6 y=(x

22、+y)(mod 6)， 例如 46 59(mod 6)=31画出的运算表。2是否为群？为什么？3如果是群，它有几个子群？分别列出子群的运算表。107. 设是群. aG, 令 H=y| ya=ay, yG 求证， 是的子群。108. 设是个群， R 是 G 中等价关系，定义为：对于任何 a,b,cG，如果有R， 则R. 又定义集合 H 为Hx| xG, 且R, e 是 G 中幺元求证是的子群。109. 设是的子群, 定义集合 A 如下:A=x| xG, xHx-1=H 求证是的子群 . 110 p 是个质数, 证明 pm阶群中必包含着一个 p 阶子群.111.证明 25 阶群必含有 5 阶子群。

23、112. p 是个素数，是个 p 阶循环群，则 G 中有多少个生成元？为什么？113 是群的子群，任取 a,bG,则 aH=bH 的充分且必要条件是( )114. 设是个群，且|G|=11，任取 a,bG,且 a,b 不是幺元，设 a,b 的阶分别是 m 和 n, 令 A=a1,a2,am,B=b1,b2,bn。试问 A、B 以及 G 三者有什么关系？为什么？115 是群，定义 G 上关系 R 如下；R= | zG,使得 y=zxz-1 116 设是个群,和是其子群, 在 G 上定义关系 R 为:任意 a,bG, aRb 存在 hH, kK 使得 b=h*a*k证明 R 是 G 上等价关系.1

24、17. 设 是群的子群, R 是 G 上关系, 定义如下:aRb 当且仅当 a-1*bH, a,bG1求证 R 是 G 上等价关系.2e 是 G 中幺元,由 e 确定的相对 R 的等价类e，求证e=H。118. 设 f 和 g 都是群到的同态，证明是的一个子群，其中C=x| xG1 且 f(x)=g(x)119. 设 f 是从群到的同态映射, 则 f 为入射，当且仅当 Ker (f)=e1, 其中 e1 是 G1中的幺元。120. .G 是个 6 阶群，证明 G 中一定有且只有一个 3 阶子群。121 设是群, S 是 G 的非空子集，如果任何 a,bS 有 ab-1S, 则是的子群。122

25、已知和 是群 的子群，求证 是、和的子群。123 设是个群，和是其子群，且已知|H|6，|K|35，试求HK。并对你的回答说明原因。124. 设是群的子群，且 HG，|G|=15，则是交换群。此说法正确否？为什么？125. 填空： 设是个群，且已知|G|n，如果元素 aG，a 的阶为 m，则 m与 n 的关系是（ ）126. 填空：设 f 是从群到的同态映射, x1 ,x2X，且 y1f(x1) ，y2f(x2)，则 f(x1-1 x2) -1) =( )。127. 设 f 是从群到的同态映射，K 为 f 的同态核，即 ker(f)=K。求证，对任何 X 中元素 x,y，如果 x 与 y 在

26、K 的同一个陪集中，则有 f(x)=f(y)。128. 填空：代数系统是个环，当且仅当 是个（ ） ，是个（ ） ，并且还满足条件（ ） 。129. 填空：代数系统是个交换环，当且仅当 是个（ ） ，是个（ ） ，并且还满足条件（ ） 。130. 填空：代数系统是个含幺环，当且仅当 是个（ ） ，是个（ ） ，并且还满足条件（ ） 。131 填空：代数系统是个整环，当且仅当 是个（ ） ，是个（ ） ，并且还满足条件（ ）和（ ） 。132 填空：代数系统是个域，当且仅当 （ ）是个交换群， （ ）是个交换群，并且还满足条件（ ） 。133 填空：代数系统是个域，当且仅当 是（ ） ，是（ ）

27、 ，并且还满足条件（ ） 。134.令 N 是自然数集合，I 是整数集合，R 是实数集合，+和分别是加法和乘法, , 中哪些不是环吗？为什么？如果是环，那些不是整环？为什么？哪些不是域？为什么？135. 判断, , 是否为环？为什么？136. 试证是有幺元的交换环，其中 和 的定义为：对任何 a,bI, ab=a+b-1 a b=a+b-ab137. .设是一个环, 并且对于任何 aA ,有 aa=a , 证明a).对于任何 aA, 都有 a+a=,其中 是+的幺元.b). 是一个交换环.138. 下面的说法是否正确？说明理由.设是个域，对任何 a,bF,如果 a*b=0,则必有 a=0 或

28、b=01.答案：( f：XnY )。2.答案：错误。举反例：12-1，-1 不是自然数。所以不封闭。3.答案：错误。0 不能做除数。例如 10 没有定义，所以“”不是 R 上的运算。4.答案：代数系统定义：X 是非空集合，X 上有 m 个运算 f1, f2, f3, fm, 则称为一个代数系统。 5.答案：（它的运算表是个与主对角线为对称的表）6.答案：（运算表的主对角线上各个元素均与表头元素对应相同）7.答案：从运算表找左幺元 eL ： eL所在行的各元素均与上表头元素相同。从运算表找右幺元 eR ： eR所在列的各元素均与左表头元素相同。eL= eR=e e 是幺元。8.答案：从运算表找左

29、零元 L ：L所在行的各元素均与左表头元素相同。从运算表找右零元 R：R所在列的各元素均与上表头元素相同。LR =. 是零元。9.答案：从运算表找 x 的左逆元 xL-1 ：在 x 列向下找到 e 后，再向左到左表头元素即是 xL-1 。从运算表找 x 的右逆元 xR-1： 在 x 行向右找到 e 后，再向上到上表头元素即是 xR-1 。10.答案：的运算表如下：0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2+4由运算表看出：此运算满足交换性。有幺元 0，没有零元，0 的逆元是 0，1的逆元是 3，2 的逆元是 2，3 的逆元是 1。11.答案：错误。尽

30、管 x0 x ,这说明 0 是右幺元。但它不是左幺元，如0 x-xx。12.答案：运算 的幺元是（E ） 。零元是（） 。有逆元的元素是（E ） ，它们的逆元分别是（ E ） 。13.答案：运算 的幺元是（ ） 。零元是（E） 。有逆元的元素是（） ，它们的逆元分别是（ ） 。14.答案：运算 的幺元是（ ） 。零元是（无） 。有逆元的元素是（所有元素XP(E)） ，它们的逆元分别是（X 自身 ） 。15.答案：13（ 3 ）16.答案：（ 合取 与析取 或者 集合的交 与并 ）17.答案：（乘法，零元是 0；合取 ，零元是 F；析取 ，零元是 T； 集合的交 ，零元是 ；并 ，零元是全集 E

31、。 ） （写出一个运算即可）18.答案：证明：因为 eL是左幺元，又 eRX，所以 eLeR=eR因为 eR是右幺元，又 eL X，所以 eLeR= eL于是 eL= eR =e 。下面证明幺元的唯一性。假设有两个幺元 e1、e2，因为 e1是幺元，又 e2X，所以 e1e2=e2因为 e2是幺元，又 e1X，所以 e1e2= e1则 e1= e2 =e 。所以幺元是唯一的。19.答案：证明：因为 L是左零元，又 RX，所以 LR=R因为 R是右零元，又 L X，所以 LR= L于是 L= R =。下面证明零元的唯一性。假设有两个零元 1、2，因为 1是零元，又 2X，所以 12=2因为 2是

32、零元，又 1X，所以 12=1则 1= 2 =。所以零元是唯一的。20.答案：证明：设 xL-1、 xR-1分别是 x 的左、右逆元，于是有 xL-1x = x xR-1 =exR-1 =e xR-1 =( xL-1x) xR-1 = xL-1(x xR-1)= xL-1e= xL-1 假设 x 有两个逆元 x1、x2， 所以 x1x= e = x x2x2= e x2 =( x1x) x2= x1( x x2)= x1 e = x1所以 x 的逆元是唯一的。21.答案：证明 .如 aX,且 a-1X，任取 x,yX，设有 ax=ay 则a-1(ax)= a-1(ay) (a-1a)x= (a

33、-1a)y 所以ex=ey x=y a 相对是可消去的。22.答案：maxmin|x-y|可结合性YNYYYN可交换性YNYYYY存在幺元YNYNNN存在零元NNYNNN23.答案：证明：1. (1)验证*可交换：任取 x,yR，x*y=xy-2x-2y+6yx-2y-2x+6=y*x(2) 验证*可结合：任取 x,y,zR，(x*y)*z=(xy-2x-2y+6)z-2(xy-2x-2y+6)-2z+6xyz-2xz-2yz+6z-2xy+4x+4y-12-2z+6= xyz-2xz-2yz+4z-2xy+4x+4y-6= xyz-2xz-2yz-2xy+4x+4y+4z -6x*(y*z)

34、=x(yz-2y-2z+6)-2x-2(yz-2y-2z+6)+6xyz-2xy-2xz+6x-2x-2yz+4y+4z-12+6=xyz-2xy-2xz+4x-2yz+4y+4z-6=xyz-2xy-2xz-2yz +4x+4y+4z-6可见 (x*y)*z= x*(y*z)。2. (1) 设幺元为 e，则对任何 xR，有e*x=ex-2e-2x+6=x，于是 e(x-2)=3x-6=3(x-2) 所以 e=3 3*x=3x232x6x 由于*可交换 x*ex，所以 3 是幺元。(2) 设零元为 ，则对任何 xR，有*x=x-2-2x+6=，于是 (x-3)=2x-6=2(x-3) 所以 =

35、2 。2*x=2x222x+6=2 由于*可交换 x*22，所以 2 是零元。3任取 xR， x2 (因为零元不可逆)，设 x 的逆元为 x-1，于是有x*x-1=x x-1-2x-2x-1+6=3，(x-2) x-1=2x-3，于是 x-1(2x-3)/(x-2)由于*可交换 x* x-13，所以 x (x2)的逆元是(2x-3)/(x-2)。24.答案：证明：任取 aX，bX，ba=e, 即 b 是 a 的左逆元。cX, cb=e, 即 c 是 b 的左逆元。于是有ab=e(ab)=(cb)(ab)=c(ba)b=ceb=cb=e 所以 b 也是 a 的右逆元。25.答案：交换性幂等元幂等

36、性有幺元有零元有可逆元素a)YaNaNa-1=a , b-1=cb)Ya,cNaca-1=a , b-1=bc)Na,b,cYN, N, Nd)Ya,bNaNa-1=a26.答案：设,是两个代数系统，和 都是二元运算，如果存在映射 f：XY,使得对任何 x1 ,x2X，有f(x1x2)=f(x1)f(x2) -此式叫同态(同构)关系式则称 f 是从到的同态映射，简称这两个代数系统同态。记作 X Y。如果 f 是满射的，称此同态 f 是满同态映射。如果 f 是入射的，称此同态 f 是单一同态映射。如果 f 是双射的，称与同构，记作 X Y。f 是到 的同构,称之为自同构。27.答案：设,是两个代

37、数系统，和 都是二元运算，如果存在映射 f：XY 是从到的同态映射，即 X Y。设 e是 Y 中幺元。则集合Ker(f)=x| xX,f(x)e称此集合为 f 的同态核。28.答案：设 R+是正实数，是 R+上的乘法运算构成代数系统； R 是实数集合，是 R 上的加法运算，构成代数系统。与同构。构造映射 f：R+R任何 xR+, f(x)=lgx (是双射)任何 x,yR+, f(xy)=lg(xy)=lgx+lgy=f(x)+f(y)所以与同构。29.答案：构造映射 f：AB 如下, 显然 f 是双射。 S LA B0 1 2 3 f R A下面验证 f 是同构映射。f(1*2)=f(3)=

38、L f(1)f(2)=RA=L f(1*2)=f(1)f(2)f(1*3)=f(0)=S f(1)f(3)=RL=S f(1*3)=f(1) f(3)f(2*3)=f(1)=R f(2)f(3)=AL=R f(2*3)=f(2)f(3)f(2*2)=f(0)=S f(2)f(2)=AA=S f(2*2)=f(2)f(2)其余类似可验证。 A B30.答案：1. 有自反性：任何代数系统 , 有 XX。 证明： 因为有双射 IX：XX, 任取 x1 ,x2X，有IX(x1x2)= x1x2 =IX (x1)IX (x2) 所以 XX。所以有自反性。2. 有对称性：任何代数系统 , 如果有 X Y

39、，则必有 Y X。证明：因有 X Y，有双射 f：XY, 任取 x1 ,x2X，有f(x1x2)= f(x1) *f(x2) 因 f 是双射，有 f-1：YX, 任取 y1 ,y2Y因 f :XY 是满射，x1 ,x2X, 使得 y1=f(x1), y2=f(x2) x1=f-1 (y1) , x2=f-1 (y2)f-1(y1* y2)=f-1 (f(x1) * f(x2)= f-1 (f(x1x2)= f-1f(x1 x2)= IX (x1x2)=x1x2 =f-1 (y1)f-1 (y2) Y X， 所以有对称性。3. 有传递性：任何代数系统 , 如果有 X Y 和 Y Z，则必有 X

40、Z 。证明：因有 X Y，有双射 f：XY, 任取 x1 ,x2X，有f(x1 x2)= f(x1)* f(x2) 因有 Y Z ，有双射 g：YZ, 任取 y1 ,y2Y，有g(y1* y2)= g(y1)g(y2)又已知双射 gf：XZ, 任取 x1 ,x2X， 令 h=gf h(x1x2)=gf(x1x2)=g(f(x1x2)=g(f(x1) * f(x2) )=g(f(x1) g(f(x2)= gf(x1) gf(x2)=h(x1)h(x2) X Z。所以有传递性。最后得是个等价关系。31.答案：和同构。. 因为 B=1,2,4,8,16,20, 21, 22, 23, 24,.。构造

41、双射 f：AB。任何 iA, f(i)= 2i，显然 f 是双射。验证 f 满足同构关系式。任取 i,jAf(i+j)=2i+j=2i*2j=f(i)*f(j)。 所以和同构。32.答案：证明：构造双射 f：SP 如下： abc123f:S Pf(a*b)=f(b)=2 f(a)f(b)=32=2 f(a*b)=f(a)f(b)f(b*c)=f(c)=1 f(b)f(c)=21=1 f(b*c)=f(b)f(c)f(a*c)=f(c)=1 f(a)f(c)=31=1 f(a*c)=f(a)f(c)f(c*c)=f(c)=1 f(c)f(c)=11=1 f(c*c)=f(c)f(c)可以验证对任

42、何 x,yS, 有 f(x*y)=f(x)f(y)。 所以与同构。33.答案：与同构。证明：构造映射 f：R+R任何 xR+, f(x)=lgx (是双射)任何 x,yR+, f(xy)=lg(xy)=lgx+lgy=f(x)+f(y)所以与同构。34.答案：证明：任取 y1 ,y2 , y3 Y， 因 f :XY 是满射，x1 ,x2 , x3X, 使得 y1=f(x1) , y2 =f(x2) , y3 =f(x3) 。y1 (y2 y3) = f(x1) (f(x2) f(x3) = f(x1) f(x2 x3) =f(x1( x2 x3) =f(x1 x2) x3) (因可结合)= f

43、(x1 x2) f(x3) = (f(x1) f(x2) f(x3)= (y1 y2 ) y3 也可结合。35.答案：证明：任取 y1 ,y2Y， 因 f :XY 是满射，x1 ,x2X, 使得 y1=f(x1) , y2 =f(x2) 。y1 y2 = f(x1) f(x2) =f(x1 x2) = f(x2 x1) (因可交换)= f(x2)f(x1) = y2 y1 也可交换。36.答案：证明：任取 yY 因 f :XY 是满射，xX, 使得 y=f(x) y f(e)= f(x) f(e)=f(xe) =f(x)=yf(e) y=f(e) f(x)=f(ex) =f(x)=y所以 f(

44、e )是相对 的幺元。即 f(e)= e 。37.答案：证明：任取 yY 因 f :XY 是满射，xX, 使得 y=f(x) y f() = f(x) f()=f(x) = f() f() y= f() f(x)=f(x) = f() 所以 f() 是相对 的零元。即 f() = 38.答案：证明：任取 yY 因 f :XY 是满射，xX, 使得 y=f(x) 设运算的幺元 e ，运算 的幺元 e 。 f(e)= e 。 y f(x-1)= f(x) f(x-1)=f(xx-1) =f(e)= e f(x-1) y=f(x-1) f (x)=f(x-1x) =f(e)= e 所以 y-1= (

45、f(x) -1 =f(x-1)。39.答案：证明：设 R 和 S 相对代数系统是同余关系，a).已经证明过 RS 也是 A 上等价关系。b).下面证明 RS 相对满足代换性质：任取 x1,x2,y1,y2A,设有 x1RSx2 y1RSy2 ，( 推出( x1y1)RS( x2y2) )由题设得：(x1Rx2 x1Sx2) (y1Ry2 y1Sy2 ) (x1Rx2 y1Ry2 ) (x1Sx2 y1Sy2) ( x1y1)R( x2y2) ( x1y1)S( x2y2) (因 R 和 S 相对满足代换性质) ( x1y1)RS( x2y2) 所以 RS 相对满足代换性质。故 RS 是同余关系

46、.40.答案：解. a) .不是同余关系，因为不满足代换性质。例如RR,而,R。b).不是同余关系，因为 R 不传递，不是等价关系。RR, 而R.c). 不是同余关系，因为不满足代换性质。例如RR,而,R。d).不是同余关系，因为 R 不对称，不是等价关系。 （R 是偏序。 ）41.答案：是半群，当且仅当（ 在 A 上满足封闭性和可结合性。 ） 。42.答案：是独异点，当且仅当（ 在 A 上满足封闭性、可结合性和有幺元。 ） 。43.答案：是半群：I:是整数集合, N:自然数集合,R:实数集合, ,44.答案：是独异点：I:是整数集合, N:自然数集合,R:实数集合, ,45.答案：是半群但不

47、是独异点：如 N=1,2,3,4,.时， 。46.答案： 证明： 证明封闭，任取 a,bR,由于实数 R 对+和 封闭，所以 a+b+abR，故 abR。 证明可结合，任取 a,b,cR,a(bc) =a+(bc)+a(bc) =a+(b+c+bc)+a(b+c+bc)=a+b+c+bc+(ab+ac+abc)=(a+b+ab)+c+(ac+bc+abc)=(a+b+ab)+c+(a+b+ab)c=(ab)+c+(ab)c =(ab)c 证明有幺元 0，任取 aR,a0=a+0+a0=a 0a=0+a+0a=a 所以对，0 是幺元。最后得 是独异点。47.答案：证明：将已知条件 “若 ab 则

48、 abba,”等价变换成：“若 ab=ba, 则 a=b ”。 (根据 QP PQ )a) aA, 由可结合得 (aa)a=a(aa) , 由已知条件得 aa=a 。b) a,bA, (aba)a=ab(aa)=aba=(aa)ba=a(aba) 由已知条件得 aba=a。c) a,b,cA, (abc)(ac)=(ab)(cac)=(ab)c=a(bc)=(aca)(bc)=(ac)(abc) 由已知条件得 abc=ac48.答案：证明：充分性：已知对任何 a,bS，有 (a*b)2=a2*b2 。(a*b)2=a2*b2，即(a*b)* (a*b)=(a*a)* (b*b)a* (b*a)

49、*b=a* (a*b)*b因为左右消去律都成立，所以左边消去 a，右边消去 b 得(b*a)=(a*b)，所以 S 是交换群。必要性：可知 S 是交换群，任何 a,bS,(a*b)2 =(a*b)* (a*b)a* (b*a)*ba* (a*b)*b= (a*a)* (b*b)= a2* b2 。49.答案：证明：因是有限半群,在 S 上封闭,所以任何 bS,对任何 i1有 biS,因 i 可以取无穷多个值，所以必存在正整数 i,j(ij) ,使得 bi = bj , 令 p=j-i ,显然 p1，j=p+i,于是bi = bj = bp+i = bpbi 即 bi = bpbi bib =

50、bpbib bi+1 = bpbi+1bi+1b = bpbi+1 b bi+2 = bp bi+2 .于是对所有大于 i 的正整数 q 有： bq = bpbq 因 p1，总可以找到 k1，使得 kpi，于是有 bkp = bp bkp= bp (bp bkp) = (bp bp ) bkp = b2p bkp= b2p (bp bkp) = b3p bkp = = bkp bkp令 bkp=a, 于是有 aa=a 50.答案：1.证明封闭性：任取,AA，=因为 a,b,c,dA，即它们都是有理数。所以 ac 和 ad+b 都是有理数。所以AA。即AA，故在 AA 中满足封闭性。2. 证明可

51、结合性：任取,AA， () =() 故在 AA 中是可结合的。3 证明有幺元：因为对有幺元 1，对有幺元 0， AA，任取AB， 所以是 AA 中运算的幺元。所以 AA,是独异点。51.答案：证明： 先证幺元 eA。 因为 ee=e 所以 e 是幂等元。因此 eA。 再证在 A 上封闭。任取 a,bA, 即 aa=a， bb=b(ab)(ab)=a(ba)b=a(ab)b (可交换)= (aa)(bb)= ab 所以 ab 也是幂等元 abA。(3) 可结合不必证明，自然继承下来。所以也是独异点，52.答案：不是群的有：，,。因为和：除 1 以外都不可逆。：0 不可逆。,：除幺元外，都不可逆。

52、是群的有：, 。因为和：都满足封闭性、结合性、0 是幺元，任何 x 的逆元都是-x。：都满足封闭性、结合性、 是幺元，任何 X 的逆元都是 X 自身。53.答案：证明：列的运算表：f1f2f3f4f5f6f1f1f2f3f4f5f6f2f2f1f4f3f6f5f3f3f5f1f6f2f4f4f4f6f2f5f1f3f5f5f3f6f1f4f2f6f6f4f5f2f3f1例如 f2f3(x)= f2( f3(x)=(1-x) -1 = f4(x)f5f6(x)= f5( f6(x)=(x(x-1) -1) -1)(x(x-1) -1) -1 =x-1= f2(x)由此表可以看出 满足：封闭性，有

53、幺元 f1 ，每个函数都有逆元： f1-1 =f1 , f2-1 =f2, f3-1 =f3, f4-1 =f5, f5-1=f4, f6-1=f6另外已经知道函数复合 是可结合的。所以是群。54.答案：证明1）证明封闭性 任取 F 中的两个函数 f、g，设xR f(x)=a1x+b1, g(x)=a2x+b2,a1o, a2ogf(x)=g(f(x)= a2(a1x+b1)+b2,= (a2a1x+ a2b1)+b2 = a2a1x+(a2b1+b2),因为 a1o, a2o，所以a2a10，且 (a2b1+b2)R, 所以 gfF 。运算 满足封闭性。2) 又知道函数复合运算 是可结合的。

54、3）有幺元 IR：RR，xR , IR(x)= x, 对任何f F，有 fIRIRff，所以 IR是 的幺元。4）证明可逆性：对任何f F，f(x)=ax+b，a,b,xR,ao，有 f 的逆函数 f-1，f-1 (x)=abax 1，使得 f-1f(x)=a1(ax+b)abx, 所以 f-1fIR。 f f-1 (x)= a (abax 1)+bx, 所以 f f-1IR。所以 f 的逆元是 f-1。综上所述是群。55.答案：证明:a) a,b,cA，设有 ab=ac, 由已知条件得aA,使得 aa=e, a(ab)= a(ac), (aa)b=(aa)c , eb=ec, 所以 b=cb

55、) 先证明 e 也是右幺元: 任取 xA, (证出 xe=x)由已知得 xA,使得 xx=e, x(xe) =(xx)e=ee =e=xx由 a)的结论得: xe=x , 所以 e 也是右幺元。 所以 e 是幺元。再证 x是 x 的右逆元: (因为由 xx=e, 得 x是 x 的左幺元)x(xx)=(xx)x=ex=x=xe，由 a)的结论得 xx=e ，所以 x也是x 的右逆元。所以 x是 x 的逆元。综上所述得 是群.56.答案：证明: 因为 a*a=e，则意味着 a-1=a。 任取 xA, 分两种情况讨论 x 的逆元：a).若 x-1x, 这样的元素成对出现，故这样元素有偶数个。b).若

56、 x-1=x, 因|A|是偶数，所以这样的元素也有偶数个。其中幺元 e-1=e, 所以至少还有一个元素 a，使得 a-1=a，即 a*a=e 。57.答案：的运算表如下： * *a b ca b cc a bb c a从此表看出：b2=( c )，b*c=( a )，b3= b2*b=c*b=a c3= c2*c=b*c=a， 所以 b 和 c 的阶分别是( 3 )和( 3 ) 。58.答案：1|A|n，A 上有双射个数为 n！。即 |F|=n! 。2是群。证明如下：1）证明封闭性 任取 F 中的两个双射函数 f：AA，g：AA，根据函数的复合性质，得 f*g 也是从 A 到 A 的双射。所以

57、 f*gF。所以*满足封闭性。2) 又知道函数复合运算*是可结合的。3）有幺元 IA：AA，对任何f F，有 f*IAIA*ff，所以 IA是*的幺元。4）证明可逆性：对任何f F，有 f 的逆函数 f-1，使得 f*f-1=f*f-1IA。 所以是群。59.答案：证明方法 1. 根据有限群运算表特征写出如下运算表如下，从表中可见 c*db；而 d*d=a，所以 d 的阶是 2；b*b=d，所以 b*b*b*b=a，b 的阶是 4。a b c* a b c da a b c db b d a cc c a d bd d c b a证明方法 2.: 如果 c*da 则说明 c 与 d 互逆，有矛

58、盾。如果 c*dc , 则说明 d 是幺元，有矛盾。如果 c*dd 则说明 c 是幺元， 有矛盾。而 c*dG, 所以 c*db 。60.答案：根据题意的运算表如下：a b c da a b c db b a d cc c d a bd d c b a*b*xc*db 所以 xa 61.答案：1命题真值为真。因为 n 阶群中，任何元素 aG ，有 ane。(a*b)G, - (b*a)G，所以(a*b)n=e=(b*a)n。即(a*b)n=(b*a)n。2命题真值为真。因为，对任何 a,bG，有(b*a-1)=(a*b-1)-1 又根据代数系统同态性质 f(x-1)=(f(x) -1。得：f(

59、b*a-1)= f(a *b-1) -1=(f(a*b-1)-1。62.答案：证明. 假设有 aG 是幂等元，即aa=a 又 a-1G, 于是有a-1(aa)= a-1a (a-1a)a=eea=e所以 a=e63.答案： 证明先证明方程式有解因是个群，对任何 a,bG,有 a-1G, a-1bG, 用 a-1b 代入方程式中的 x 得：ax= a(a-1b)= (aa-1)b= eb=b 所以 x=a-1b 是方程式的解。再证明方程式的解的唯一性设方程式有两个解 x1, x2G, 于是有ax1=b ax2=b 所以 ax1= ax2，由可消去性得 x1=x2 64.答案：验证 b-1a-1是

60、 ab 的逆元，(ab)(b-1a-1)=a(bb-1)a-1=aea-1=aa-1=e(b-1a-1)(ab)=b-1(a-1a)b=b-1eb=b-1b=e所以 b-1a-1是 ab 的逆元，即(ab)-1=b-1a-1 。65.答案：证明. 令 G=a1,a2,a3,.,an，的运算表如下图：任取 ajG，证明 aj在任意 aiG 行必出现且仅出现一次。由群方程可解性得存在唯一元素 akG, 使得 aiak=aj 这说明 aj在 ai行出现 (即aj在第 i 行第 k 列出现)。假设 aj在 ai行出现两次，设在第 t 列也出现，则有aiak=aj 和 aiat=aj 所以 aiak=a