高中数学解析几何压轴题专项拔高训练(一)

1、高中数学解析几何压轴题专项拔高训练.选择题(共15小题)221 .已知双曲线 一三-2=1 (工<8<兀的右焦点为F, P是右支上任意一点，以 P为圆心，PF长 cos2 9 sin2 e 2为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于|PF|,则0的值为()A.B.更C.更D.空考点： 专题： 分析：双曲线的简单性质.计算题；压轴题.由 a2=cos2 0, b2=sin2 0白 E f , IT ),知 a= 2cos 0, b=sin 0, c=1, e=-cos e,再由双曲线第二定解答:义,解:|PF| A dd=TiPF |COE 6 了,由此能够导出。的值.- a2=cos

2、2 0b2=sin2 0,a= - cos。，b=sin 0, c=1ee吟，冗)1cose=一由双曲线第二定义，知 e=一cos 0= 一 一一故选C.点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答.222.已知Fl、F2是双曲线三-J=1 (a>0, b> 0)的左、右焦点，若在双曲线上的点 P满足/F1PF2=60°,且|OP|=/7a b2(。为坐标原点)，则该双曲线的离心率是()_A. 2B. 273C, V5D.近考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：假设|FiP|=x,分别根据中线定理和余弦定理建立等式

3、求得c2+5a2=14a2-2c2,可得a和c的关系，即可求双曲线的离心率.解答： 解：不妨设P在左支上，|F1P|=x,则|F2P|=2a+x.OP为三角形F1F2P的中线，.根据三角形中线定理可知x2+ (2a+x) 2=2 (c2+7a2)整理得 x (x+2a) =c2+5a2 由余弦定理可知 x2+ (2a+x) 2-x (2a+x) =4c2整理得 x (x+2a) =14a2- 2c2进而可知 c2+5a2=14a2- 2c2.-. 3a2=c2.故选C.点评：本题考查了双曲线的定义、标准方程，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.3 .如果双曲线x2-my2=1

4、(mvl)上一点P与两焦点Fl, F2构成的三角形面积为 1,则此三角形的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形考点：双曲线的简单性质；三角形的形状判断.专题：计算题；压轴题.分析：先根据双曲线方程确定几何量，再利用三角形的面积公式及余弦定理，可建立方程，利用同角三角函数的平方关系，可用 m表示cosa,利用mvl,即可求解.解答：解：双曲线x2-my2=i(m<i)中，/二1, /二，J二 min不妨设 |PF2|=x, |PF1|=x+2, /FiPF2=a则/+ I，+ 2) 2 - 4-二，4 ml 2 4(1+工)=2x (x+2)- rtirr三角

5、形的面积为1,-j-K工+2)=1x Q+2)二一_ 芯。-2 -_2C0S2x6+2)赢(耳+2),C0FCL=l-Sin2j mcos2 a+sin2 o=1sinCL -，卬 m£ + l|门 isi n Qid2 - 1CDS1 1 =二Dm +1m< 1. cos a< 0，a为钝角故三角形为钝角三角形故选C.点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的焦点三角形，合理运用双曲线的定义，正确运用余弦定理是解题的关 键.4.双曲线x2-y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,点Pn(xn,yn)(n=1 , 2,3)在其右支上，且满足|Pn+1F2|=|PnF1|,P1F

6、21F1F2,则 x2008 的值是()_A. 40162B, 401572C. 4016D, 4015考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；压轴题.分析：根据双曲线的定义，双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值等于2a,可勺到Pn+1F1|- |Pn+1F2|=2/2,在根据|Pn+1F2|=|PnF1|, P1F2LF1F2,判断出数列P nF1|为等差数列，公差为2 ,首项为 贬，求出|P2008F1|,在根据双曲线的第二定义，双曲线上的点到左焦点的距离与到左准线野巨离比等于离心率，求出x2008的值.解答：解：二门+1 点在双曲线 x2- y2=2 右支上，|Pn+1F1|- |Pn+

7、1F2|=2/2又|Pn+1F2|=|PnF1|, ，|Pn+1F1| 一 |PnF1|=2，数列PnFl|为等差数列，公差为2eP1F2XF1F2,|P1F2|=叵 贝U |P1F1|=3|P2OO8Fl|=|PlFl|+2007>272=3V2+2007>2j2=4017-72双曲线x2 - y2=2的左准线方程为x= - 1,离心率为 五,设P2008到左准线距离为 d,则 尸2。口/1 1帖,-.d=40l7d又d=X2008+1 ,x2008=4016故选C点评：本题主要考查了双曲线第一第二定义的应用，以及等差数列的判断，属于圆锥曲线与数列的综合题.5.如图，B地在A地的

8、正东方向4km处，C地在B地的北偏东30方向2km处，河流的没岸PQ （曲线）上任意一点到 A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线 PQ上一处M建一座码头，向 B、C两地转运货物.经测算，从 M到B、M到C修建公路的费用分别是 a万元/km、2a万元/km,那么修建这两条公路 的总费用最低是（）C. (2/+1) a 万元 D. (2/豆+3) a 万元考点：双曲线的应用.专题：计算题；压轴题.分析：依题意知曲线 PQ是以A、B为焦点、实轴长为 2的双曲线的一支，此双曲线的离心率为2,以直线AB为2x轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为J -看二,点c的坐标为（3,&#

9、39;73）.求出修建这条公路的总费用W,根据双曲线的定义有，根据a+b >2倔当且仅当a加时取等号的方法求出 W的最小值即可.解答：解：依题意知 PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为 2的双曲线的一支（以 B为焦点），此双曲线的离心率为 2,以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，2则该双曲线的方程为x2-,=1 ,点C的坐标为（3,则修建这条公路的总费用ca|MB|+2|MC| =2a-i |MB|+|MC| ,设点M、C在右准线上射影分别为点Mi、C1,根据双曲线的定义有|MM 1|=|MB| ,所以=2a|MM 1|+|MC|p2a|C C1|=2aX （3-g =5

10、a.当且仅当点M在线段C Ci上时取等号，故 -的最小值是5a.a+b倔当且仅当a=b时取等号的方法来求函故选B.点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及会用数的最小值的能力.6.如图，I表示南北方向的公路，A地在公路的正东2km处，B地在A地北偏东60°方向2611兀处，河流沿岸PQ（曲线）上任一点到公路 l和到A地距离相等，现要在河岸 PQ上选一处M建一座码头，向 A, B两地转运货物，经测算从M到A, B修建公路的费用均为 a万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是（单位万元）（）B. 5aD. 6a考点：双曲线的应用.专题：计算题；压轴题.分析：依题意知曲线 P

11、Q是以A为焦点、l为准线的抛物线的一支，欲求从M到A, B修建公路的费用最低， 只须求出B到直线l距离即可.解答：解：依题意知曲线 PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线的一支，根据抛物线的定义知：欲求从M到A , B修建公路的费用最低，只须求出 B到直线l距离即可.因B地在A地北偏东60 0方向2615处,B到点A的水平距离为：3,B到直线l距离为：3+2=5,那么修建这两条公路的总费用最低为：5a.故选B.点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力，以及会用抛物线的定义的方法来求函数的最小值的能力.227.已知双曲线工作1 3>0, b>0）与抛物线y2=8x有一个公共的焦点 F

12、,且两曲线的一个交点为P,若m b|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为（）A . K 士码B. 3x±y=0C. x=2y=0D. 2xiy=0考点：圆锥曲线的共同特征；双曲线的简单性质.专题：计算题；压轴题.分析：由抛物线y2=8x得出其焦点坐标，由|PF|=5结合抛物线的定义得出点P的坐标，从而得到双曲线22-1 （a>0,的关于a, b的方程，求出a, b的值，进而求出双曲线的渐近线方程.解答：解：抛物线y2=8x得出其焦点坐标（2,0）故双曲线的c=2,又 |PF|=5,设 P （m, n）,则 |PF|=m+21- m+2=5 , m=3,点p的坐标（3, 土传br

13、22a Jb -49 _ 24 -解得:fa 2-1ib 工二3则双曲线的渐近线方程为 一；，,故选B.点评：本题主要考查了抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，抛物线的定义等.解答的关键是学生对圆锥曲线 基础知识掌握的熟练程度.228.已知抛物线y2=2px （p>0）与椭圆 与+。1b>0）有相同的焦点F,点A是两曲线的一个交点， a2 b2且AF，x轴，则椭圆的离心率为（）A .遮-1B. 22-1C五-1d.|x/2 -1考点：圆锥曲线的共同特征；抛物线的简单性质.专题：计算题；压轴题.分析：设点A坐标为（X0, y0）依题意可知|=,ya2 _ b2,把X0与代入椭圆方程求

14、得关于 y0的等式，根据抛物线定义可知y0=2c代入等式整理可得关于离心率e的一元二次方程求得 e.解答：2 一一解：设点A坐标为（X0, y0）依题意可知-=7a2 - h2, x0*代入椭圆方程得-旦十一畀二1（*）2 2 / 片根据抛物线定义可知 y0=p=2t -=2cy20=4c2,代入（*）式整理得 a2 - c2 - 2ac=0两边除以a2得e2+2e-1=0,解得e也-1或-&-1 （排除）故选D点评：本题主要考查了圆锥曲线的共同特征.考查了学生对圆锥曲线知识的综合把握.9.椭圆C1:今的左准线为1,左、右焦点分别为F1、F2,抛物线C2的准线为1,焦点为F2, C1与

15、C2的一|of 1 I |nc I)Di个交点为P,线段PF2的中点为G, O是坐标原点，则 网 jy-卡铲y的值为（A . - 1B. 1C.12考点：圆锥曲线的共同特征.专题：计算题；压轴题.分析：P到椭圆的左准线的距离设为d,先利用椭圆的第二定义求得PF1|=ed,利用抛物线的定义可知|PF2|=d,最、|0F1 | |og| |后根据椭圆的定义可知|pF2|+|PF1|=2a求得d,则|PF2|可得，最后化简一-|胃一j即得.解答：解：设椭圆的离心率为 e, P到椭圆的左准线的距离设为d,则 |PF1|=ed, |PF2|+|PF1|=2a,又 |PF2|二d,d+ed=2ad=|PF

16、2尸2al1+e|PF1|=1 + e又线段PF2的中点为G, O是坐标原点, |OG|=-|PF1|=ae14e，叫I"FT"'=12故选D.点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，解题的关键是灵活利用椭圆和抛物线的定义.10.已知双曲线 三一%1 (a>b>OD的左、右焦点分别为 F1、F2, P为左支一点, 2 b3P到左准线的距离为d,若d, |PF1|, |PF2|成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是(芋,+8)B.C.1+近 +8)D.考点：双曲线的简单性质.专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:将等比数列的概念与双曲线的

17、第二定义结合，再利用双曲线的简单性质得到不等式|PF1|R- a即可求得该双曲线的离心率的取值范围.|PFi|与其离心率e的关系，通过解答:解：,该双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,又P为左支一点，则|PF2|-|PF1|=2a,设双曲线的离心率为e,依题意,IPFJ |PF2I|PFl |二e,2a|FF10V7,即,(e- 1)1 v e4+ :故选D.点评:本题考查等比数列的性质，考查双曲线的第二定义及双曲线的简单性质，突出转化思想与不等式的应用,属于中档题.11.已知点P是双曲线C：工-上匚=1上的动点，F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点O为坐标原点,IFF】 WlPFzl|OP|

18、的取值范围是()A. 06考点： 专题： 分析：双曲线的简单性质.计算题；压轴题.设 P (x, y)则 y2解答:B.(2C.D, 0,e=,由焦半径公式能够得出|PFi|=ex+a, |PF2|=ex-a,4简得到x2涿求出范围即可.代人所求的式子并化解：设P (x, y) x>0,由焦半径公式|PFi|=ex+a, |PF2|=ex- a,iPFi |+|PF2|(y2一4,|OP|同理当 x<0 时，|PFi|=a ex, |PF2|= ex - a,|PFi I+|pf2I即推出 TZTTi一的取值范围为(2,照.点评：本题考查了双曲线的性质，由焦半径公式得到|PFi|=

19、ex+a, |PF2|=ex- a是解题的关键，要注意分 x>0和x<0两种情况作答，属于中档题.12.已知点P是双曲线2J (a>0. b>D)左支上的一点，F1, F2分别是双曲线的左、 b2右焦点，/PF1F2=",/ PF2F1= &双曲线离心率为e,则at吨tair2A .D.e2-l考双曲线的简单性质.八、专 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.题：分利用正弦定理与双曲线的定义及和差化积公式的综合应用即可求得答案.析：解 I ;二I答：解：依题意，在 PF1F2中，由正弦定理得： ?=二=_ 1与合比定理得:言inCt gin P

20、sinL180 一呼J盟|也让即"一 停 .sin180 一(口+ F) sin P _ sinQ sin ( Q + P ) sm P _ sinae=©=sin ( d，3) a sinP - sinac . a” Q + B I . u + b I . a p ci . f sin-cos 5_ sin 三- sirr costcqs sirr-I -=- - -.=Zcos-sin- sin simrcos-7 -CL p tairytan- tairl- tan-故选A.点 本题考查正弦定理与双曲线的定义及和差化积公式的综合应用，求得是关键，属于难题. 评：13.

21、设F是双曲线 三一与1 (a>0, b>0)的右焦点，双曲线两条渐近线分别为11,12,过F作直线11的垂线，3 b-扪分别交11, 12于A、B两点，且向量BF与FA同向.若|OA|, |AB|, |OB|成等差数列，则双曲线离心率e的大小为()A.!，B 卜用C 口,7D. 2考点：双曲线的简单性质；等差数列的通项公式.专题：计算题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：由勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率.解答：解：不妨设OA的倾斜角为锐角向量而与位同向,渐近线11的倾斜角为（0,渐近线11斜率为：k=-<

22、;1,c2-a2=e2 - 1 v 1a.- 1<e2<2|AB|2= (|OB|-|OA|) (|OB|+|OA|) = (|OB|-|OA|) 2|AB|,|AB|=2 (|OB|-|OA|),|OB| - |OA|=-1|AB| , |OA|, |AB| , |OB|成等差数列 |OA|+|OB|=2|AB| ,. 10A17ABi4 在直角 AOAB 中，tan/AOB=1,由对称性可知:OA的斜率为k=tan (2L AOB )二2k1 - k2.-.2k2+3k- 2=0, . k(k= 2 舍去)32,22 Z.上=：=e2T=：，故答案为:点评:本题考查了双曲线的简

23、单性质以及等差数列的性质，确定|OA|g|AB|,联想到对应的是渐近线的夹角的正4切值，是解题的关键.14.双曲线22a£ b£（如b>0）的左、右焦点分别为F1、F2,过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB ,若/AF1B=90°,则双曲线的离心率为（)B .1-考点： 专题： 分析： 解答:双曲线的简单性质.计算题；压轴题.直接利用双曲线的通径与 ZAF1B=90 °,得到a, b, c的关系，求出双曲线的离心率.解：由题意可知，双曲线的通径为:,因为过焦点F2且垂直于x轴的弦为AB,若/AF1B=90°,点评:所以所以 所以 故选2c=2

24、ca=c2 - a2,e2 - 2e - 1=0 ,解得e=1划区 因为e> 1,所以 e=/2+l|- C.本题考查双曲线的基本性质，双曲线的离心率的求法，考查计算能力.15.设P为双曲线b>0的渐近线在第一象限内的部分上一动点，F为双曲线C的右焦与八、5A .A为双曲线C的右准线与x轴的交点,e是双曲线C的离心率，则/APF的余弦的最小值为(B. 1C.D.e£-l考点专题分析双曲线的简单性质.计算题；压轴题.根据双曲线的简单性质得:2A(三，0)cF (c, 0),P (at, bt)由直线的斜率公式，得KpfKPA从而得出/APF解答:再利用根据到角公式, 的余弦

25、的最小值.解：由题意得：A由直线的斜率公式,KPF=btat - c得tan/ APF的表达式，最后利用基本不等式求得 tan / APF的最大值,0), F (c, 0), P (at, bt)得btKPA=|；atc根据到角公式,bttan / APF=1+bt2 aC bt化简，得tan / APF=b 3a3+ac 2)2C3t+A_£ - ( /+隹 2 )此时-一息也 + (tanZAPF) 2 侑则/APF的余弦的最小值 1故选B.点 本题主要考查了双曲线的简单性质.涉及了双曲线方程中a, b和c的关系，渐近线问题，离心率问题等.评：二.解答题(共15小题)16.实轴长

26、为46的椭圆的中心在原点，其焦点 F1, F2在x轴上.抛物线的顶点在原点 O,对称轴为y轴，两曲 线在第一象限内相交于点 A,且AFi，AF2, AFlF2的面积为3.(I )求椭圆和抛物线的标准方程；(n )过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于 B, C,若正而,求直线l的斜率k.考点：圆与圆锥曲线的综合.专题：综合题；压轴题.分析：2(I )设椭圆方程为 a圆的方程和抛物线方程.(n)设直线1的方程为联立直线与抛物线的方程2+今(a>b>0)AF i=m , AF2=n,由题意知,由此能求出椭B (xi, yi), C (x2, y2),由AC=2杷，得2盯一工之二28 ,y

27、- L=k (工-2后)?，得，x 6二8kx =8y.联立直线:脑回的卡产L厂k （l 2近）与椭圆的方程W,付bx2+4y2=12（1+4）小 飞扬2）对32k之 - 1印水-8二。由此能求出直线l的斜率.解答：.解：（I ）设椭圆方程为 3+ 工=1 0b>0） , AF i=m , AF2=na2 b2r 222m +n =4c由题意知，Mn=4（2分）即二6解得 c2=9,，b2=12 9=3.22，椭圆的方程为2口+工一二1（4分）12 3yA>C=3,，yA=1,代入椭圆的方程得 以二2阪，将点A坐标代入得抛物线方程为 x2=8y.仁分）（n）设直线l的方程为卜一1二

28、k （工-2后），B （xi, yl）, C （x2, y2） 由正二2丽-26=2（盯-2近），化简得2工-工3=26（8分）fy- l=k （x - 22 ）联立直线与抛物线的方程，x2=8y得 *2 - Wkx+16 J证-8=0,打+2四二泳（10分）联立直线与椭圆的方程y- l=k （x - 2被）、J+4，= 12得（1+4炉）”一：8k-：L5k2） ”32k? - 二。leVak2 -2kl+4kZ（12分）2it _ 12=2 （8k- 2近）-l+4k2整理得:（l&k-4V2）=0lHkk等，所以直线i的斜率为斗, （14 分）点评：本题考查椭圆和抛物线的标准方程

29、的求法和求直线 条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化.l的斜率k.解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含17.已知：点F是抛物线：x2=2py (p>0)的焦点，过 F点作圆：(x+1 ) 2+ (y+2) 2=5的两条切线互相垂直. (J求抛物线的方程；(n)直线l： y=kx+b (k>0)交抛物线于A, B两点.若抛物线在A, B两点的切线交于 P,求证：k-kPF> 1; 若B点纵坐标是A点纵坐标的4倍，A, B在y轴两侧，且S&)皿，求l的方程.考点：圆与圆锥曲线的综合.F形成的四边形为正方形，因为半径为娓,所以点F到圆心的距离为 历，2即可得_+ (

30、1+2) =10,进而求出p的数值.(II)设AB两点的坐标分别为(),(x2,2争,利用导数求出切线的斜率，写出两条切线的 4方程，求出交点P的坐标，进而求出kPF=；ik - kPF=k -1+b =k+-2k1+H k2+b+k2+l2k2k本不等式可得:k - kpF>2k联立直线与抛物线的方程，利用根与系数的关系得到坐标的4倍，可得x2= - 2x1,进而得到b=8k2.因为Sx1+x2=4k , x1x2= - 4b,因为B点纵坐标是 A点纵AOAB弋'结合题意可得 “16kqi6bq至 ij k=.4解答：解：(I)b=-.2由题意可得：过 F点作圆：(x+1) 2

31、+ (y+2) 2=5的两条切线互相垂直，切点分别为 M, N.所以由圆心、切点与点 F形成的四边形为正方形, 因为半径为限2所以点f到圆心的距离为 Vw,即可得修 =10解得：p=2或者p= - 10 (舍去)， 所以抛物线的方程为 x2=4y .(II)设A , B两点的坐标分别为(x12),(x2, £),专题：计算题；作图题；证明题；压轴题. 分析：(I)由题意可得：圆心、切点与点因为抛物线的方程为 x2=4y,所以y =-x.2所以切线AP为："3¥ 2Kl 42切线BP的方程为：尸|瓦2史-子，由 可得点p的坐标为（!?）.24联立直线l: y=kx+

32、b与抛物线的方程白方程可得：x2- 4kx - 4b=0,所以=16k2+l6b>0, xi+x2=4k, xix2=-4b,所以可得点P的坐标为（2k, - b）,所以kPF=1-2k'所以 k-kpF=k-4=k+l±jdik空包>6土-2k 2k 2k 2k所以由基本不等式可得：k - kPF>Kl±L* .2k所以 k - kpF> 1.2|2一K1宜？设A, B两点的坐标分别为（xi, 一；），（x2, 今，44由题意可得：联立直线 l: y=kx+b与抛物线的方程的方程可得：x2- 4kx-4b=0,所以=16k2+i6b>

33、0, xi+x2=4k, xix2= - 4b, 因为B点纵坐标是A点纵坐标的4倍，22所以生士42，即x22=4xi2.4 4 4因为A, B在y轴两侧，所以x2= - 2xi由可得：b=8k2.又因为 加AB弓 Xbl工* 匕恭 Q（ 迎），一叫又?二（，所以结合整理可得： 劄161?+16b=|，所以由可得：k二二，b.42所以1的方程为：1:产1区十寺点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系，并且熟练利用利用数 形结合的数学思想解决数学问题.i8.已知抛物线 Ci： y2=4x,圆C2： （x-i） 2+y2=i,过抛物线焦点 F的直线1交Ci于A

34、 , D两点（点A在x轴上 方），直线l交C2于B, C两点（点B在x轴上方）.（I ）求 |AB|?|CD|的值；（n）设直线 OA、OB、OC、OD的斜率分别为 m、n、p、q,且满足 m+n+p+q=3。®,并且|AB|, |BC|, |CD|成等差数列，求出所有满足条件的直线l的方程.考点：圆与圆锥曲线的综合.专题：综合题；压轴题.分析： (1)利用抛物线的定义和|AF|=|AB|+1就可得出|AB|=xa,同理可得：|CD|=xD,要分l，x轴和l不垂直x轴 两种情况分别求值，当l，x轴时易求，当l不垂直x轴时，将直线的方程代入抛物线方程，利用根与系数 关系可求得.(2)首

35、先在第1问得基础上和|AB|, |BC|, |CD|成等差数的关系用坐标表示，就可得出k的值，然后再把m+n+p+q= |哂用坐标表示，再联立直线和圆的方程利用根与系数关系，把几个坐标的关系式联合起来就可确定k的值，从而求出此时的直线方程.解答： 解：(1) . y2=4x,焦点 F (1, 0),准线 l0： x=T.由定义得：|AF|=xa+1,又 |AF|=|AB|+1 , |AB|=XA 同理：|CD|=XD当 lx 轴时，贝U XD=XA=1 ,|AB| 斗CD|=1当 l： y=k (x-1)时，代入抛物线方程，得：k2x2- (2k2+4) x+k2=0,xAxd=1 , /.

36、|AB| x|CD|=1综上所述，|AB| X|CD|=1(2) . |AB|, |BC|, |CD|成等差,且 |AB|=xa, |BC|=2, |CD|=xD, ，xA+xD=42由(1)得：支产军生，二卜2=2，上=±血l： y=k (x1),Cl _)同理：n二k (1 一 一-) , p二k (1 ), q二k (1 一“ 代 不 I r ' I I 1- I -. I ：:,H 电 kb *c1 1X+=-=4“町以面把 y=k (x 1)代入(x1) 2+y2=1 得，(k2+1) x2- 2 (1+k2) x+k2=1 , .*2=2,3x2- 6x+2=0所

37、以所求直线l的方程为 代工+y-亚二。点评：本题主要考查抛物线的定义、一元二次方程的根与系数关系，好在本题还融和了等差数列，主题思路是转 化成坐标关系式，用方程的思想去解决.19.如图：过抛物线 y2=4x上的点A (1, 2)作切线l交x轴与直线x= - 4分别于D, B.动点P是抛物线y2=4x上的一点，点E在线段AP上，满足AEEP；点F在线段BP上，满足BF_ »而一%,3及+2 22=15且在4ABP中，线段PD与EF交于点Q.(1)求点Q的轨迹方程；(2)若M , N是直线x= -3上的两点，且 OOi： (x+2) 2+y2=1是4QMN的内切圆，试求 4QMN面积的取

38、值范考点：圆与圆锥曲线的综合；向量在几何中的应用；直线与圆的位置关系.专题：压轴题.分析：(1)切线 AB: y=x+1 , D ( - 1, 0), B (-4, - 3),而=(3, 3),血=(2, 2),则PB+PA,由此能求出点Q的轨迹方程.(2)设 Q(X0, y0)(9m) , N (-3, n),则y =3l0+).切线MQ: ym=,由相切可得:(X0+1)m2+2y0m - (x0+3) =0,同理(x0+1) n2+2y0n - (x0+3) =0.由此能求出AQMN面积的取值范围.0),(2, 2),解答：解：(1)切线 AB： y=x+1 , D (- 1B (-4,

39、 - 3), BD= (3, 3) , DA=PD二1=£匪14 5辛 .=9?'F令 FQ二九 FD=T 'FA =-：1+ -I：-'：-：'：-5l 5士由于E, Q, F三点共线，所以又3%+2龙=15,故k，Q分而的定比为二, 43设 P （X0, y0）, Q（X, y）,则（2）设 Q（x°, y0 口 >-%M（- 3, m）,N（-3, n）,yn - m切线 MQ : y - m=（工+3）,X 口 43由相切可得：（X0+1） m2+2y0m - （x0+3） =0, 同理（xo+i） n2+2yon -（X0+3

40、） =0.知 m, n 是方程（xo+i） x2+2y0x - （x0+3） =0 的两根的i -如 _ （町*3）故 Mn= 1，rn*n=-，沏+1防十】S/1QMK引5 口卜（耳口十3）1210+34k（j+122十-J （孙+3 ）,（町2小+10令 t=x0+1 ,二次求导可知 g'(t) >0, QMN面积的取值范围卫拿，+8) -L点评：本题考查点Q的轨迹方程的求法和求 4QMN面积的取值范围，具体涉及到抛物线的性质、 圆的性质和直线 与圆锥曲线的相关知识，解题时要认真审题，仔细解答.对数学思维的要求比较高，有一定的探索性.综 合性强，难度大，易出错.20.平面内动

41、点 M与点P1(-2,0),P2(2,0)所成直线的斜率分别为ki、k2,且满足广一(1)求点M的轨迹E的方程，并指出E的曲线类型；(2)设直线l： y=kx+m (k>0, m%)分别交x、y轴于点A、B,交曲线E于点C、D,且|AC|=|BD|, N (泥，D 求k的值及 NCD面积取得最大时直线l的方程.考圆锥曲线的综合；轨迹方程.八、专综合题；压轴题.题：分 (1)设动点 M的坐标为(x, y),由ki?k2= -A 可得匕.Z一二一工 整理可求析：2工+2 x-22 在1 :产kx+i中分别令了二0,尸0可得A (0), E (0, m),从而可得AB的中点为0 (-工，理)，

42、联立方程结合方程的根与系数的关系及|AC|=|BD| ,可得CD中点就是AB中点，从而可求k,2k 匚由于CD|=- I :'一., .-.u， J线方程解答：解：(1)设动点M的坐标为(x, y) , ki?k2=-1，2/动点M的轨迹E是中心在原点，半长轴为 2,焦点为(耳:22(除去长轴两个端点.)它的方程是 士+工=1 (y加).4 2在屋y=kx+i中分别令苴=Qp产。可得A (-?。：设 C (x1, y1), D (x2, y2),由“宣 2 / n (l+2k2)=1I q 24血 41+2/'I+2/ . . |AC|=|BD| , ，CD中点就是 AB中点，

43、即-34二一引 4kJ=l+2k kg，k=l+2k?卜2|CD|=1 *2 _ X(町-1+nil Vs点 N 至ij CD 的距离 d=j=-T|m|,41 + / 二y1H2 y即±+"=1 （y加）2 k-22423 0）的椭圆）,B （。，m） , AB的中点为Q （-喘祟 ZKtLJ+4mkK+2l|2 - 4=0A=32k2- 8m2+16, x1+x2=-*2 4（皿2 -2）二43 （4- m2），点N到CD的距离d=-L弊E±L3E|m|,代入利用基本不等式可求面积的最大值及K的值，进而可求直/ + /3SzxNCD=；|CD|5：业（4 -

44、/）*|m|=2（4一印 2）0雪（4- in2+fn2）二 2当且仅当4- m2=m2时等号成立，即 m2=2, m=f2,此时。，所以直线的方程为i： v叁.士叵占八、本题主要考查了利用直线的斜率关系求解点的轨迹方程，要注意（1）中要去掉不符合条件的点，考查了基本评：不等式在求解最值中的应用.21.已知椭圆C1=1（a> b>0）的左、右焦点分别为F1、F2,其中F2也是抛物线02： y2=4x的焦点，M是C1与02在第一象限的交点，且|MF21T.（1）求椭圆01的方程；（2）已知菱形ABCD的顶点A, 0在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为 1.当直线BD过点（0,十

45、）时，求直线AC的方程；当/ABC=60°时，求菱形 ABCD面积的最大值.考点：圆锥曲线的综合.专题：计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想.分析：（1）根据右焦点F2也是抛物线C2： y2=4x的焦点，且|MF2|£,可求出F2,根据抛物线的定义可求得点M3的横坐标，并代入抛物线方程，可求其纵坐标；把点M代入椭圆方程，以及焦点坐标，解方程即可求得椭圆C1的方程；直线BD所在的直线的斜率为1,且过点（°小，可求出BD的方程，"BCD为菱形，ACg设直线ACy= -x+m,联立消去y,得到关于x的一元二次方程，。，利用韦达定理即可求得 AC的中点,在

46、直线BD上，可求直线 积的最大值，转化为求弦AC 的方程； ABCD 为菱形，且 Z ABC=60 |AB|=|BC|=|CA| ,菱形 ABCD 面AC的最大值，利用韦达定理求出AC的长度，并求其最大值即可.解答:解:(1)设 M (x1, y1) .4(1，0) |Mf2 | =1. J由抛物线定义,-1 ,又 b2=a2 - 1JC) 'J H在 c1 上,9a2 3b29a4 37a2+4=0 /. a2=4 或耳,*匚 之舍去.ya2=4, b2=322椭圆C1的方程为3-+g=1 .（2）直线BD的方程为y=x+号 ABCD 为菱形，ACXBD ,设直线 AC 为 y= -

47、 x+m ,得 7x2 - 8mx+4m 2 - 12=0A, C、在椭圆 C1 上，.>0 解得（-近，<Yg ,设 A （xi , y1） , c （x2, y2）,*则,生_工人町十国2- 丁叼x广7-，所二_工廿02yz二 灯+叼,二力+四量 K的中点坐标为（爷，爷）由ABCD为菱形可知，点（爷，爷）在直线尸肝,上，氏器巨（-小百）.直线AC的方程为y= - x - 1即 x+y+1=0 .ABCD为菱形，且/ABC=60 °, . |AB|=|BC|=|CA| ,=菱形ABCD的面积）,（-瓜 <nr< 后）.当m=0时，菱形ABCD的面积取得最大值

48、一干.点评：此题是个难题.考查抛物线的定义和简单的几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，注意直线与圆锥曲线相交，。.体现了数形结合和转化的思想方法.22. F1、F2分别是双曲线x2- y2=1的两个焦点,O为坐标原点，圆 O是以F1F2为直径的圆，直线l: y=kx+b 与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点.向量在向量FF方向的投影是P-（1）根据条件求出b和k满足的关系式;当（51 而）/二1时，求直线l的方程;（3）当（加布）p2=m,且满足2前9时，求4AOB面积的取值范围.考圆与圆锥曲线的

49、综合.八、专 计算题；综合题；压轴题；方程思想；转化思想.题：分（1）先利用条件求出圆 O的方程，再利用圆心到直线的距离等于半径可得b和k满足的关系式；析. , 、，- .c（2）先把直线l的方程与双曲线方程联立求出A、B两点的坐标与b和k之间的等式，再利用（而而）以及（1）的结论求出b和k进而求彳#直线l的方程；（3）用类似于（2）的方法求出之间的关系式，求出弦 AB的长，再把4AOB面积整理成关于 m的函数；利用 函数的单调性求出4AOB面积的取值范围即可.解 解：（1）双曲线x2 - y2=1的两个焦点分别是F1 近,0）, % （中盯，0），从而圆。的方程为x2+y2=2.由于直线y=

50、kx+b与圆O相切，所以有*L二行.即 b2=2 （k2+1）, （kw±）为所求.（3 分）（2）设 A（X1, y1）, B （x2, y2）则由.号""消去了并整理得，（k2-1） x2+2kbx+ （b2+1） =0,其中k% .i -y =1.根据韦达定理，得（5分）=（l+k?）打+kb （工+ *2）+卢二（"J） ”耍 41 +江5 + 匕2 . ：2 I?k£ -1 l-k£又由（1）知卢二2，亦能（1+谓）2±g+4卜2 二；1）+2k2 T 1-k2又由于*-在下右方向上的投影为p,1112所以必皿2同

51、，, 总向.砒/岩,件2=1即 2k2+3-4k2+2k2-2=k2T, （8 分）己2共二土店工土泥所以直线i的方程为产土返工+y?或产土迎冗一也（9分）2k2+3 4k2（3）类似于（2）可得弓k£-l 1-k2即 2k2+3 - 4k2+2k2 - 2=mk2 - m,2122k =1+-? b 二4+-. （10 分）IDID=卬(2rnH)(4nr+l)立.一网近制X2S2irrU) ：4M1) X心=/一H6 （呜）而2<m0,当 m=2 时,2MBminT 1 £ X 2 + 12 X 之十2= 3VT5当m=4时，3T16X/十12乂4十2二病因此4A

52、OB面积的取值范围是 WI5，又闻. （14分）点 本题是对函数，向量，抛物线以及圆的综合考查，由于知识点较多，是道难题. 评：2223.已知椭圆C; ' +工针1 Ob口）的离心率为 / b2丑，其左、右焦点分别为 Fl、F2,点P是椭圆上一点，且2PF；PF；二0, |OP|=1 （O为坐标原点）（i）求椭圆c的方程；（n）过点 S （0, 4）且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点 M,使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出 在，说明理由.M的坐标，若不存考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程.专题：综合题；压轴题；数形结合.分析,（I）因为-二所以即

53、m二限,由西画二0,得lOPlJXFgl二.由此能得到椭圆的方程.（n ）动直线l的方程为：y=kK -，由得泊）-一-曝。设A （xi, yi）由此能够证明在y轴上存在定点 M,使4k_ _16B (x2, y2).贝U(十工之二一一一yX 1冥2 ；y； 1 2 312£耳1)129 ( 2/+1)得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0, 1）.解答:解：（I）因为巳=所以£二, 即阱（ 2分） 28 2 1 PFi -FF2=O, PFHPF2,lOFh IFJ2 |=c;又lOPFl, c=l,a=V2 b=1.因此所求椭圆的方程为:2,号+/=1 .(4 分)(n)动直线1的方程为：尸k岚工设 A (xi, yi) , B (x2, y2).打工二裳3%)二一 161叼9，1). (8 分)假设在y轴上存在定点 M (0, m),满足题设，则MA= ( K. y t -