第8讲 镜像法

1、第八讲第八讲 镜像法镜像法电磁场与电磁波电磁场与电磁波电子工程学院电子工程学院 陈其科陈其科第八讲第八讲 镜像法镜像法第八讲第八讲 镜像法镜像法镜像法的基本原理镜像法的基本原理接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像导体球面的镜像导体球面的镜像导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像点电荷与无限大电介质平面的镜像线电流与无限大磁介质平面的镜像线电流与无限大磁介质平面的镜像本讲内容本讲内容第八讲第八讲 镜像法镜像法几个实例：几个实例： 非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效等效点电荷点电荷产生的电位替代。产生的电位替代。 求解位于接

2、地导体板附近的点电荷产生的电位求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位 问题的提出问题的提出q qqq非均匀感应面电荷非均匀感应面电荷等效电荷等效电荷第八讲第八讲 镜像法镜像法 镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。镜像法是将不均匀电荷分布的作用等效为点电荷或线电荷的作用。几个实例：几个实例： 问题的提出问题的提出 接地导体球附近点电荷产生的电位接地导体球附近点电荷产生的电位用用等效电荷等效电荷代替非代替非均匀感应电荷均匀感应电荷q q非均匀感应电荷非均匀感应电荷qq等效电荷等效电荷 等效点电荷一般位于点电荷关于分界面的镜像位置等效点电荷一般位于点电荷关于分界面的镜像位置镜

3、像法镜像法。第八讲第八讲 镜像法镜像法问题问题：这种等效电荷是否存在？：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？这种等效是否合理？条件：条件：回顾：回顾：静电场的静电场的惟一性定理惟一性定理 已知场域已知场域V 内的自由电荷分布和电介质特性内的自由电荷分布和电介质特性结论：结论：场域场域V 内的位函数具有惟一确定解。内的位函数具有惟一确定解。SSn 已知已知 场域场域V的边界面的边界面S上的上的 或或 的值的值一、镜像法原理一、镜像法原理方法：方法：在求解在求解区域外区域外设置等效电荷，替代设置等效电荷，替代边界上边界上分布电荷的作用分布电荷的作用目的：目的：将复杂边值问题转换为将复杂边值问

4、题转换为无界均匀媒质无界均匀媒质空间的问题空间的问题第八讲第八讲 镜像法镜像法一、镜像法原理一、镜像法原理根据根据唯一性定理唯一性定理，若镜像电荷的引入满足：，若镜像电荷的引入满足：u 电位函数仍然电位函数仍然满足原方程满足原方程（拉氏方程或泊松方程）（拉氏方程或泊松方程）u 电位分布仍电位分布仍满足原边界条件满足原边界条件则可确保求得的解就是正确的。则可确保求得的解就是正确的。引入镜像电荷的引入镜像电荷的两条原则两条原则：u 等效电荷必须位于所求解的场等效电荷必须位于所求解的场区域以外区域以外的空间中；的空间中；u像电荷的个数、位置及电荷量的大小根据场区域的像电荷的个数、位置及电荷量的大小根

5、据场区域的边界条件边界条件来确定。来确定。：像电荷的：像电荷的个数个数、位置位置及其及其电量电量镜像法应用的关键点：镜像法应用的关键点： 镜像电荷的确定镜像电荷的确定 明确明确等效求解的等效求解的“有效场域有效场域”。第八讲第八讲 镜像法镜像法 等效问题与原问题在求解区域内等效问题与原问题在求解区域内边界条件边界条件及及电荷分布相同。电荷分布相同。由唯一由唯一性定理，知解唯一正确。性定理，知解唯一正确。二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像1 1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像、点电荷对无限大接地导体平面的镜像q qh有效区域有效区域q qhhq 原电荷：原电荷： 镜像电荷镜像电荷:

6、: ( (求解域外求解域外) ), q h,qq hh 第八讲第八讲 镜像法镜像法1 1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像、点电荷对无限大接地导体平面的镜像上半空间内的电位分布为：上半空间内的电位分布为：11( , , )()4qx y zRR22222211()(0)4()()qzxyzhxyzh0snnzDEnz 222 3/22 ()qhxyh222 3/22 ()inssqhqdsdxdyqxyh 点电荷在平面导体面上的点电荷在平面导体面上的感应电荷电量与镜像电荷电量相等感应电荷电量与镜像电荷电量相等。接地导体分界面上感应电荷分布接地导体分界面上感应电荷分布二、平面导体界面的镜像二、平

7、面导体界面的镜像第八讲第八讲 镜像法镜像法1 1、点电荷对无限大接地导体平面的镜像、点电荷对无限大接地导体平面的镜像思考思考 无限大导体平板不接地，镜像电荷如何确定？无限大导体平板不接地，镜像电荷如何确定？ 有限大接地导体平板问题，可否用镜像法求解？有限大接地导体平板问题，可否用镜像法求解？q qhq qh二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像第八讲第八讲 镜像法镜像法引入像电荷后满足原问题的边界条件，引入像电荷后满足原问题的边界条件，所得解正确。所得解正确。2 2、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像、无限长线电荷对无限大接地导体平面的镜像hhl 有效区域有效区域RR l xzhl导

8、体 等效问题：等效问题：llzh 上半空间的电位分布为：上半空间的电位分布为：11( , , )(lnln)2lx y zCRR2222()ln(0)2()lxzhCzxzh二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像第八讲第八讲 镜像法镜像法3 3、点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像、点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 要满足在导体平面上电位为零，要满足在导体平面上电位为零，则必须引入则必须引入3 3个镜像电荷。个镜像电荷。 对于非垂直相交的两导体平面对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为构成的边界，若夹角为 ，则，则所有所有镜像电荷数目为镜像电荷数目为2n-1个。个。n d

9、11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1123qqqq 1231111()4qRRRR电位：电位：qd12d2160二、平面导体界面的镜像二、平面导体界面的镜像第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像1 1、点电荷位于接地导体球面外、点电荷位于接地导体球面外PqarRd1()4qqRR?dq问题问题： qPaqrRRdd 球面上的感应电荷可用镜像电荷球面上的感应电荷可用镜像电荷q来等效。来等效。q应位于导体球内（不影响原应位于导体球内（不影响原方程），且在点电荷方程），且在点电荷q与球心的连线上，与球心的连线上，距球心为距球心为d。则有。则有 点电荷

10、点电荷q 位于半径为位于半径为a 的接地导体的接地导体球外，距球心为球外，距球心为d 。第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像1 1、点电荷位于接地导体球面外、点电荷位于接地导体球面外qPaqrRRdd104r ar aqqRR 镜像电荷的确定镜像电荷的确定由镜像法原理：镜像电荷位于球内区域，由镜像法原理：镜像电荷位于球内区域，且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球面上电位为面上电位为0 0，即：，即：222cosRrdrd222cosRrdrd221(42cosqadad22)02cosqadadr a22222222() ( )2 ()

11、cos0adqadqa dqd q第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像1 1、点电荷位于接地导体球面外、点电荷位于接地导体球面外 镜像电荷的确定镜像电荷的确定22222222() ( )2 ()cos0adqadqa dqd q22222222() ( )02 ()0adqadqa dqd q2(aqqqqdadddd 或舍去）qPaqrRRdd导体球面镜像电荷导体球面镜像电荷第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像1 1、点电荷位于接地导体球面外、点电荷位于接地导体球面外 接地导体球边界静电问题接地导体球边界静电问题qPaqrRRdd22142

12、cosqrdrd22223 2()4 (2cos )Sr aq dara adad 2222in223 200()sin d dd4(2cos )SSq daaaqSqaadadd 导体球面上的总导体球面上的总感应电荷感应电荷也也与与所设置的所设置的镜像电荷电量相等镜像电荷电量相等。 球外的电位函数为球外的电位函数为 导体球面上的总感应电荷为导体球面上的总感应电荷为 球面上的感应电荷面密度为球面上的感应电荷面密度为2222()()2 ()cosaradradr ad第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像2 2、点电荷位于接地导体球壳内、点电荷位于接地导体球壳内 镜像电荷

13、的确定镜像电荷的确定aqdObqdrRRP 如图所示接地空心导体球壳的内半径如图所示接地空心导体球壳的内半径为为a 、外半径为、外半径为b，点电荷，点电荷q 位于球壳内，位于球壳内，与球心相距为与球心相距为d ( d |q|，镜像电荷的电荷量，镜像电荷的电荷量大于大于点电荷的电荷量点电荷的电荷量像电荷的位置和电量与外半径像电荷的位置和电量与外半径 b 无关无关（为什么？为什么？）第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像2 2、点电荷位于接地导体球壳内、点电荷位于接地导体球壳内 接地导体球壳的静电问题接地导体球壳的静电问题aqdObqdrRRP导体球面上的导体球面上的总感应

14、电荷与总感应电荷与所设置的所设置的镜像电荷不相等镜像电荷不相等。 球壳球壳内内的电位函数为的电位函数为 球壳球壳内表面内表面的总感应电荷为的总感应电荷为 球壳球壳内表面内表面感应电荷面密度为感应电荷面密度为22222201()42cos()2 ()cosqarardrdd radr ad220223 2()4 (2cos )Sr aq adra adad 2222in223 200()sin d dd4(2cos )SSq adaqSqaadad 第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像3 3、点电荷位于不接地导体球面外、点电荷位于不接地导体球面外aqrPd1qd2-qR

15、R导体球不接地时的特点：导体球不接地时的特点： 导体球面是导体球面是电位不为零电位不为零的等位面的等位面 球面上既有感应负电荷分布也有感应正电球面上既有感应负电荷分布也有感应正电荷分布，但荷分布，但总的感应电荷为零总的感应电荷为零。u负电荷分布与接地球球分布相同负电荷分布与接地球球分布相同u正电荷均匀分布正电荷均匀分布与与 共同使使球面电位为共同使使球面电位为0 0q使球面为电位非使球面为电位非0 0的等势面的等势面问题：如何确定镜像电荷？问题：如何确定镜像电荷？q qa a=+a aa第八讲第八讲 镜像法镜像法0aqqqdd ，2,aaqq ddd 三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像3 3

16、、点电荷位于不接地导体球面外、点电荷位于不接地导体球面外q qaq qa+qPaqrRRddqq qa a=+a aa第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像3 3、点电荷位于不接地导体球面外、点电荷位于不接地导体球面外0aqqqdd ，01()4qqqRRr球外任意点的电位为球外任意点的电位为qPaqrRRddq2,aaqq ddd 结论：结论：不接地导体球外存在点电荷不接地导体球外存在点电荷q时，其镜像电荷为：时，其镜像电荷为：第八讲第八讲 镜像法镜像法三、导体球面的镜像三、导体球面的镜像4 4、点电荷位于不接地空心球壳内、点电荷位于不接地空心球壳内aqqd, add

17、2 aqdobaqobPaqrRRddqPbrqq= q，位于球心，位于球心（为什么？）（为什么？）第八讲第八讲 镜像法镜像法四、导体圆柱面的镜像四、导体圆柱面的镜像1 1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像、线电荷与接地导体圆柱面的镜像线电荷与导体圆柱线电荷与导体圆柱lxoa0d线电荷与导体圆柱的镜像线电荷与导体圆柱的镜像ald( , )P xo0ld问题：问题：密度为密度为l 的无限长线电荷位于半径的无限长线电荷位于半径为为a 的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的的无限长接地导体圆柱面外，与圆柱的轴线平行且到轴线的距离为轴线平行且到轴线的距离为d。特点：特点：在导体圆柱面上有感应电荷，圆柱在导体圆

18、柱面上有感应电荷，圆柱外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。外的电位由线电荷与感应电荷共同产生。分析方法：分析方法：根据电位边界条件确定。根据电位边界条件确定。问题：如何确定镜像电荷？问题：如何确定镜像电荷？第八讲第八讲 镜像法镜像法由于导体圆柱接地，所以当由于导体圆柱接地，所以当 时，电位应为零，即时，电位应为零，即 四、导体圆柱面的镜像四、导体圆柱面的镜像1 1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像、线电荷与接地导体圆柱面的镜像22221ln22cos1ln22cosllddCdd222211lnln0222cos2cosllCadadadada 设镜像电荷的线密度为设镜像电荷的线密度为 ，且距圆柱

19、的轴线为，且距圆柱的轴线为 ，则由，则由 和和 共同共同产生的电位函数产生的电位函数ldll线电荷与导体圆柱的镜像线电荷与导体圆柱的镜像ald( , )P xo0ld第八讲第八讲 镜像法镜像法四、导体圆柱面的镜像四、导体圆柱面的镜像1 1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像、线电荷与接地导体圆柱面的镜像将上式对将上式对求导，可以得到求导，可以得到2222()()2()cos0lllld add adadd 2222()()00lllld add ad 2lladd 线电荷与导体圆柱的线电荷与导体圆柱的镜像镜像ald( , )P xo0ld222211lnln0222cos2cosllCadadada

20、d导体柱面镜像电荷导体柱面镜像电荷第八讲第八讲 镜像法镜像法四、导体圆柱面的镜像四、导体圆柱面的镜像1 1、线电荷与接地导体圆柱面的镜像、线电荷与接地导体圆柱面的镜像导体圆柱面外的电位函数：导体圆柱面外的电位函数：2242222cosln22cosldadaCddd由由 时，时，a0故故2242222222cosln22cosldadaaa dda导体圆柱面上的感应电荷面密度导体圆柱面上的感应电荷面密度2222()2(2cos )lSadaa adad 导体圆柱面上单位长度的感应电荷导体圆柱面上单位长度的感应电荷222in220()dd22coslSlSdaaSaadad 感应电荷与镜像电荷相

21、等感应电荷与镜像电荷相等ln2ldCa？第八讲第八讲 镜像法镜像法四、导体圆柱面的镜像四、导体圆柱面的镜像2 2、两平行导体圆柱面的镜像、两平行导体圆柱面的镜像图图1 两平行导体圆柱两平行导体圆柱hahall图图2 两平行导体圆柱的等效电荷两平行导体圆柱的等效电荷lblhhbaa特点特点：两圆柱带电导体的电场互相影响，两圆柱带电导体的电场互相影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相对一侧电使导体表面的电荷分布不均匀，相对一侧电荷密度大，而相背一侧电荷密度较小。荷密度大，而相背一侧电荷密度较小。分析方法：分析方法：将导体表面上的电荷用线密将导体表面上的电荷用线密度分别为度分别为 、且相距为、且相距为

22、2b 的两根无限长的两根无限长带电细线带电细线来等效替代。来等效替代。l问题：问题：两平行导体圆柱半径均为两平行导体圆柱半径均为a，轴线间，轴线间距为距为2h，单位长度分别带电荷，单位长度分别带电荷 和和 。ll第八讲第八讲 镜像法镜像法四、导体圆柱面的镜像四、导体圆柱面的镜像2 2、两平行导体圆柱面的镜像、两平行导体圆柱面的镜像两平行导体圆柱的等效电荷两平行导体圆柱的等效电荷lblhhbaa 通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴电轴，因而这，因而这种方法又称为种方法又称为电轴法电轴法。2add 由由2()()hb hba22bha 利用线电荷与

23、接地导体圆柱面的利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定镜像确定b 。由对称性。由对称性第八讲第八讲 镜像法镜像法五、无限大介质分界平面的镜像五、无限大介质分界平面的镜像 1 1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像 图图1 1 点电荷与电介质点电荷与电介质分界平面分界平面zx12qh问题：问题：求解空间中的电位分布（上半空间求解空间中的电位分布（上半空间及下半空间）。及下半空间）。特点：特点：在介质分界面上存在在介质分界面上存在极化电荷极化电荷分布分布空间中任一点的电场由空间中任一点的电场由点电荷点电荷与与极化电极化电荷荷共同产生。共同产生。问题：如何确定镜像电

24、荷？问题：如何确定镜像电荷？第八讲第八讲 镜像法镜像法五、无限大介质分界平面的镜像五、无限大介质分界平面的镜像 1 1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像 计算计算上半空间上半空间中的电位中的电位由镜像法，镜像电荷须位于下半空间由镜像法，镜像电荷须位于下半空间介质介质1 1的镜像电荷的镜像电荷Pqhh11xzqRR 计算计算下半空间下半空间中的电位中的电位由镜像法，镜像电荷须位于上半空间由镜像法，镜像电荷须位于上半空间介质介质2 2的镜像电荷的镜像电荷22qqPxzhR?qq问题问题： 由由边界条件边界条件来确定。来确定。第八讲第八讲 镜像法镜像法五、无限大

25、介质分界平面的镜像五、无限大介质分界平面的镜像 1 1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像 介质介质1 1的镜像电荷的镜像电荷Pqhh11xzqRR介质介质2 2的镜像电荷的镜像电荷22qqPxzhR介质介质1 1中的电位为中的电位为122222211( , , )4()()qqx y zxyz hxyz h(0)z 222221( , , )4()q qx y zxyz h(0)z 介质介质2 2中的电位为中的电位为待求待求第八讲第八讲 镜像法镜像法五、无限大介质分界平面的镜像五、无限大介质分界平面的镜像 1 1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像、点电荷

26、与无限大电介质分界平面的镜像 12121212qqqq 1020zz211020zzzz由电位的边界条件由电位的边界条件qqqq1211()()qqqq点电荷对电介质平面分界面的镜像电荷点电荷对电介质平面分界面的镜像电荷 对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无对位于无限大平表面介质分界面附近、且平行于分界面的无 限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为限长线电荷（单位长度带），其镜像电荷为12121212,llll 第八讲第八讲 镜像法镜像法五、无限大介质分界平面的镜像五、无限大介质分界平面的镜像 2 2、线电流与无限大磁介质分界平面的镜像、线电流与无限大磁介质分界平面的镜像 图图

27、1 1 线电流与磁介质线电流与磁介质分界平面分界平面zx12Ih图图2 2 磁介质磁介质1 1的镜像线的镜像线电流电流PIhh11xzIRR特点：特点：分界面上有分界面上有磁化电流磁化电流分布分布空间中的磁场由空间中的磁场由线电流线电流和和磁化电流磁化电流共同产生。共同产生。计算磁介质计算磁介质1 1中的磁场时，用中的磁场时，用图图2 2 所示的镜像线电流来代替分界面所示的镜像线电流来代替分界面上的磁化电流上的磁化电流图图3 3 磁介质磁介质2 2的镜像线的镜像线电流电流22IIPxzhR计算磁介质计算磁介质2 2中的磁场时，用中的磁场时，用图图3 3所示的镜像线电流来代替分界面所示的镜像线电

28、流来代替分界面上的磁化电流。上的磁化电流。第八讲第八讲 镜像法镜像法五、无限大介质分界平面的镜像五、无限大介质分界平面的镜像 2 2、线电流与无限大磁介质分界平面的镜像、线电流与无限大磁介质分界平面的镜像 111222211lnln22()()IIAxzhxzh(0)z 2222()1ln2()IIAxz h(0)z 电流沿轴方向流动，则矢量磁位电流沿轴方向流动，则矢量磁位A也只有轴向分量。磁介质也只有轴向分量。磁介质1和和磁介质磁介质2中任一点的矢量磁位分别为中任一点的矢量磁位分别为102021001211zzzzAAAAzz利用矢量磁位满足的边界条件利用矢量磁位满足的边界条件12()()I

29、IIIIIII21212121IIII 第八讲第八讲 镜像法镜像法解：移动电荷解：移动电荷q时，外力需要克服电场力做功，而电荷时，外力需要克服电场力做功，而电荷q受的电场力受的电场力来源于导体板上的感应电荷。来源于导体板上的感应电荷。由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷qq替代。当电荷替代。当电荷q移至移至x时，像电荷时，像电荷q应位于应位于x，则有，则有【例【例1】 一个点电荷一个点电荷q与无限大导体平面距离为与无限大导体平面距离为d，如果把它移至无穷，如果把它移至无穷远处，（外力）需要做多少功？。远处，（外力）需要做多少功？。qqq qx x = = 0

30、 0d d-d-d 2042xqE xex 2220014162eddWqE x dxqqdxdx 20016eqWWd O六、典型例题六、典型例题 第八讲第八讲 镜像法镜像法六、典型例题六、典型例题 【例【例2】真空中一点电荷真空中一点电荷Q位于导体球附近。导体球半径为位于导体球附近。导体球半径为a，点电荷距，点电荷距离球心距离为离球心距离为d（da）。求：）。求：（1）导体球接地时球外空间电位分布及电荷）导体球接地时球外空间电位分布及电荷Q所受的电场力；所受的电场力；（2）导体球未接地时空间电位分布及电荷）导体球未接地时空间电位分布及电荷Q所受的电场力；所受的电场力；PqarRdqPaqrRRdd解解:(1)当导体球接地时，由镜像法，原问当导体球接地时，由镜像法，原问题可等效为空间只存在题可等效