高考第一轮复习数学：13.2导数的应用教案含习题及答案

1、高考数学精品复习资料 2019.513.2 导数的应用知识梳理1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤.（1）求（x）.（2）确定（x）在（a，b）内符号.（3）若（x）>0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数；若（x）<0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数.2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤.（1）求（x）.（2）（x）>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（x）<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.点击双基1.函数y=x2（x3）的减区间是a.（，0） b.（2，+）c.（0，2） d.（2，2）解析：y=3

2、x26x，由y<0，得0<x<2.答案：c2.函数f（x）=ax2b在（，0）内是减函数，则a、b应满足a.a<0且b=0 b.a>0且brc.a<0且b0 d.a<0且br解析： （x）=2ax，x<0且（x）<0，a>0且br.答案：b3.已知f（x）=（x1）2+2，g（x）=x21，则fg（x）a.在（2，0）上递增 b.在（0，2）上递增c.在（，0）上递增 d.在（0，）上递增解析：f（x）=fg（x）=x44x2+6，（x）=4x38x，令（x）>0，得<x<0或x>，f（x）在（，0）上递增.答

3、案：c4.在（a，b）内（x）>0是f（x）在（a，b）内单调递增的_条件.解析：在（a，b）内，f（x）>0，f（x）在（a，b）内单调递增.答案：充分典例剖析【例1】 设f（x）=x33ax2+2bx在x=1处有极小值1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间.剖析：由已知x=1处有极小值1，点（1，1）在函数f（x）上，得方程组解之可得a、b.解： （x）=3x26ax+2b，由题意知即解之得a=，b=.此时f（x）=x3x2x，（x）=3x22x1=3（x+）（x1）.当（x）>0时，x>1或x<，当（x）<0时，<x<1.函数f（x）

4、的单调增区间为（，）和（1，+），减区间为（，1）.评述：极值点、最值点这些是原函数图象上常用的点.【例2】 （2004年全国，19）已知函数f（x）=ax3+3x2x+1在r上是减函数，求实数a的取值范围.剖析：在r上为减函数，则导函数在r上恒负.解：（x）=3ax2+6x1.（1）当（x）<0时，f（x）为减函数.3ax2+6x1<0（xr），a<0时，=36+12a<0，a<3.a<3时，（x）<0，f（x）在r上是减函数.（2）当a=3时，f（x）=3（x）3+.由y=x3在r上的单调性知：a=3时，f（x）在r上是减函数，综上，a3.评述：f

5、（x）在r上为减函数（x）0（xr）.【例3】 （2004年全国，21）若函数y=x3ax2+（a1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）内为增函数，试求实数a的取值范围.剖析：用导数研究函数单调性，考查综合运用数学知识解决问题的能力.解： （x）=x2ax+a1=0得x=1或x=a1，当a11，即a2时，函数f（x）在（1，+）上为增函数，不合题意.当a1>1，即a>2时，函数f（x）在（，1）上为增函数，在（1，a1）上为减函数，在（a1，+）上为增函数.依题意，当x（1，4）时，（x）<0，当x（6，+）时，（x）>0，4a16.5a7.a的取值范围

6、为5，7.评述：若本题是“函数f（x）在（1，4）上为减函数，在（4，+）上为增函数.”我们便知x=4两侧使函数（x）变号，因而需要讨论、探索，属于探索性问题.闯关训练夯实基础1.已知a>0，函数f（x）=x3ax在1，+）上是单调增函数，则a的最大值是a.0 b.1 c.2 d.3解析：（x）=3x2a在1，+)上，（x）0恒成立，即a3x2在1，+）上恒成立，a3.答案：d2.已知函数f（x）=x44x3+10x2，则方程f（x）=0在区间1，2上的根有a.3个 b.2个c.1个 d.0个解析：（x）=4x（x23x+5）在1，2上，（x）>0，f（x）在1，2上单调递增.f（

7、x）f（1）=7.f（x）=0在1，2上无根.答案：d3.函数f（x）的导函数y=（x）的图象如下图，则函数f（x）的单调递增区间为_.解析：在1，0和2，+)上，（x）0.答案：1，0和2，+)4.若函数y=x3+bx有三个单调区间，则b的取值范围是_.解析：y=4x2+b，若y值有正、有负，则b>0.答案：b>05.设函数f（x）=x3ax2+3x+5（a>0），求f（x）的单调区间.解：（1）（x）=3x2ax+3，判别式=a236=（a6）（a+6）.1°0<a<6时，<0，（x）>0对xr恒成立.当0<a<6时，（x）在

8、r上单调递增.2°a=6时，y=x33x2+3x+5=（x1）3+4.在r上单调递增.3°a>6时，>0，由（x）>0x>或x<.（x）<0<x<.在（，+）和（，）内单调递增，在（，）内单调递减.6.设f（x）=x32x+5.（1）求f（x）的单调区间；（2）当x1，2时，f（x）<m恒成立，求实数m的取值范围.解：（1）（x）=3x2x2=0，得x=1，.在（，）和1，+)上（x）>0，f（x）为增函数；在，1上（x）<0，f（x）为减函数.所以所求f（x）的单调增区间为（，和1，+)，单调减区间为，1.

9、（2）当x1，2时，显然（x）>0，f（x）为增函数，f（x）f（2）=7.m>7.培养能力7.已知函数f（x）=x3ax1.（1）若f（x）在实数集r上单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使f（x）在（1，1）上单调递减?若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）证明f（x）=x3ax1的图象不可能总在直线y=a的上方.解：（x）=3x2a，（1）3x2a>0在r上恒成立，a<0.又a=0时，f（x）=x31在r上单调递增，a0.（2）3x2a<0在（1，1）上恒成立，即a>3x2在（1，1）上恒成立，即a>3.又a=3，

10、f（x）=x33x1，（x）=3（x21）在（1，1）上，（x）<0恒成立，即f（x）在（1，1）上单调递减，a3.（3）当x=1时，f（1）=a2<a，因此f（x）的图象不可能总在直线y=a的上方.8.已知函数f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x2.（1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）的单调递增区间.解：（1）由题意知f（0）=1，（1）=1，f（1）=1.c=1，a=，b=，f（x）=x4x2+1.（2）（x）=10x39x，由10x39x>0，得x（，0）（，+），则f（x）的单调递增区间为（，0）和（，+）.

11、9.已知函数f（x）=2axx3，a>0，若f（x）在x（0，1上是增函数，求a的取值范围.解：（x）=2a3x2在（0，1上恒为正，2a>3x2，即a>x2.x（0，1，x2（0，.a>.当a=时也成立.a.探究创新10.有点难度哟！证明方程x33x+c=0在0，1上至多有一实根.证明：设f（x）=x33x+c，则（x）=3x23=3（x21）.当x（0，1）时，（x）<0恒成立.f（x）在（0，1）上单调递减.f（x）的图象与x轴最多有一个交点.因此方程x33x+c=0在0，1）上至多有一实根.思悟小结1.（x）>0f（x）为增函数（x）<0f（x

12、）为减函数）.2.f（x）是增函数（x）0（f（x）为减函数（x）0）.教师下载中心教学点睛1.可导函数f（x）在极值点的导数为0，但是导数为0的点不一定是极值点.如果f（x）在x0处连续，在x0两侧的导数异号，那么点x0是函数f（x）的极值点.2.求可导函数f（x）的极值的步骤如下：（1）求f（x）的定义域，求（x）；（2）由（x）=0，求其稳定点；（3）检查（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取极小值；如果左右同号，那么f（x）在这个根处不取极值.3.求可导函数f（x）的最值的方法：（1）求f（x）在给定区间内的极值；（2）将f（x）的各极值与端点值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.拓展题例【例1】 若函数f（x）=ax3x2+x5在（，+）上单调递增，求a的取值范围.解： （x