高考数学理二轮专题练习：活用“审题路线图”破解高考不再难含答案

1、高考数学精品复习资料 2019.5审题是解题的开端，深入细致的审题是成功解题的必要前提著名数学教育家波利亚说，“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图”为此波利亚总结出一张“怎样解题表”，将解题的过程分为四个阶段其中第一步弄清问题就是我们常说的审题审题就是多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分，真是令人痛心不已本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，破解高考不再难一审条件挖隐含任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的条件是解题的主要素

2、材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能例1(20xx·重庆)已知函数f(x)sin(x)(>0，<)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)若f()(<<)，求cos()的值审题路线图条件：f(x)图象上相邻两个最高点距离为挖掘三角函数图象的特征f(x)的周期为t，>0(已知)2条件：f(x)图象关于直线x对称f()取到最值2×k(kz)<(已知)条件：f()代入f(x)sin()条件<&

3、lt;cos()欲求cos()sin sin()sin cos()解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期为t，从而2.又因为f(x)的图象关于直线x对称，所以2×k，kz.由<，得k0，所以.(2)由(1)得f()sin(2·)，所以sin().由<<，得0<<，所以cos().所以cos()sin sin()sin()coscos()sin××. (20xx·四川)已知函数f(x)sin(3x)(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若是第二象限角，f()cos()cos 2，

4、求cos sin 的值解(1)因为函数ysin x的单调递增区间为2k，2k，kz，由2k3x2k，kz，得x，kz.所以函数f(x)的单调递增区间为，kz.(2)由已知，有sin()cos()(cos2sin2)，所以sin coscos sin(cos cossin sin)(cos2sin2)，即sin cos (cos sin )2(sin cos )当sin cos 0时，由是第二象限角，知2k，kz.此时，cos sin .当sin cos 0时，有(cos sin )2.由是第二象限角，知cos sin <0，此时cos sin .综上所述，cos sin 或.二审结论会转

5、换问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向例2已知函数f(x)x2aln x.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方审题路线图求f(x)的极值(从结论出发向条件转化，注意隐含条件定义域)求f(x)0的

6、解，即f(x)的极值点(转化为求函数值)将极值点代入f(x)求对应的极大、极小值(转化为研究单调性)求f(x)在1，e上的单调性(转化为求函数值)比较端点值、极值，确定最大、最小值(构造函数进行转化)f(x)f(x)g(x)(将图象的上、下关系转化为数量关系)求证f(x)<0在1，)上恒成立研究函数f(x)在1，)上的单调性(1)解由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)x，令f(x)0得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，函数f(x)单调递减，当x(1，)时，函数f(x)单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值为.(2)解当a1时，易知函数f(x)在1，e上为增函数，所

7、以f(x)minf(1)，f(x)maxf(e)e21.(3)证明设f(x)f(x)g(x)x2ln xx3，则f(x)x2x2，当x>1时，f(x)<0，故f(x)在区间1，)上是减函数，又f(1)<0，所以在区间1，)上，f(x)<0恒成立即f(x)<g(x)恒成立因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方 (20xx·课标全国)设函数f(x)aln xx2bx(a1)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01，使得f(x0)<，求a的取值范围解(1)f(x)(1a)xb

8、.由题设知f(1)0，解得b1.(2)f(x)的定义域为(0，)，由(1)知，f(x)aln xx2x，f(x)(1a)x1(x)(x1)若a，则1，故当x(1，)时，f(x)>0，f(x)在(1，)单调递增所以，存在x 01，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即1<，解得1<a<1.若<a<1，则>1，故当x(1，)时，f(x)<0，当x(，)时，f(x)>0，f(x)在(1，)单调递减，在(，)单调递增所以，存在x01，使得f(x0)<的充要条件为f()<.而f()aln >，所以不合题意若a>

9、1，则f(1)1<.综上，a的取值范围是(1，1)(1，)三审图形抓特点在不少数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键例3已知函数f(x)atan(x)(>0，|<)，yf(x)的部分图象如图所示，则f()_.审题路线图f(x)图象的周期性|tt，>02f(x)图象过点(，0)atan(2×)0k，kz|<f(x)图象过点(0,1)a1f()tan(×2)答案解析由题中图象可

10、知，此正切函数的半周期等于，即最小正周期为，所以2.由题意可知，图象过定点(，0)，所以0atan(2×)，即k(kz)，所以k(kz)，又|<，所以.又图象过定点(0,1)，所以a1.综上可知，f(x)tan(2x)，故有f()tan(2×)tan. 如图，在abc中，ab3，ac5，若o为abc的外心，则·的值为_答案8解析方法一取边bc的中点d，由于o为abc的外心，所以，所以·0，()，所以·()·()·()(|2|2)8.方法二取ab的中点e，ac的中点f，连接oe，of，则oeab，ofac.易知向量在上的

11、投影为|，在上的投影为|，所以··()··|·|·|5×3×8.四审结构定方案数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案例4在锐角abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c.若6cos c，则的值是_审题路线图观察方向一观察条件：6cos c(数式中既有边又有角，应统一)6×(将条件转化为简洁形式)a2b2c2观察结论所求：(考虑到在abc中的正、余弦

12、定理，切化弦是必由之路)·(角化边、用条件)·×4观察方向二观察条件6cos c(关注数式的特征)边a、b具有轮换性观察所求结论：角a、b具有轮换性(从数式的特征考虑)当ab即ab时，应满足题意(特殊化思想，可靠吗？)cos c(完全转化成三角函数运算)tan2，即tan tan c2tan atan b4答案4解析由6cos c，得b2a26abcos c.根据余弦定理，化简整理得2(a2b2)3c2，将切化弦，得·()··.根据正、余弦定理得4. (1)(20xx·课标全国)已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的

13、对边，a2，且(2b)·(sin asin b)(cb)·sin c，则abc面积的最大值为_(2)(20xx·课标全国)函数f(x)sin(x2)2sin ·cos(x)的最大值为_答案(1)(2)1解析(1)2r，a2，又(2b)·(sin asin b)(cb)sin c可化为(ab)(ab)(cb)·c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.cos a，a60°.abc中，4a2b2c22bc·cos 60°b2c2bc2bcbcbc(“”当且仅当bc时取得)，sabc·bc·s

14、in a×4×.(2)f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，f(x)的最大值为1.五审图表、数据找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法例5下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为ai，j(i，jn*)，则(1)a9,9_；(2)表中的数82共出现_次

15、.23456735791113471013161959131721256111621263171319253137审题路线图审视图表数据(ai，j)每行成等差数列a1，jj1(a1,12，d1)a1,910每列成等差数列a9,9a1,98×9107282一般规律观察ai，j(i1)(j1)·iij1数82在表中位置ai，j82ij182出现的次数ij182的解答案(1)82(2)5解析(1)a9,9表示第9行第9列，第1行的公差为1，第2行的公差为2，第9行的公差为9，第9行的首项b110，则b9108×982；(2)第1行数组成的数列a1，j(j1,2，)是以2

16、为首项，公差为1的等差数列，所以a1，j2(j1)·1j1；第i行数组成的数列ai，j(j1,2，)是以i1为首项，公差为i的等差数列，所以ai，j(i1)(j1)iij1，由题意得ai，jij182，即ij81，且i，jn*，所以8181×127×39×91×813×27，故表格中82共出现5次 (1)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，为“梯形数”根据图形的构成，数列第6项a6_；第n项an_.(2)如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为()a11 b11.5c12 d

17、12.5答案(1)35(2)c解析(1)由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为n1时，a123×(23)×2；n2时，a2234×(24)×3；由此我们可以推断：an23(n2)×2(n2)×(n1)，a635.(2)中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线横坐标设中位数为a，则xa将频率分布直方图分成两个面积相等的部分，则有0.30(a10)×0.10.5，所以a12.六审细节更完善审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题例如括号内的标注、数据

18、的范围、图象的特点等因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性例6各项均为正数的数列an的前n项和为sn，snaan (nn*)(1)求an；(2)令bncnb2n4 (nn*)，求cn的前n项和tn.审题路线图snaan(注意nn*，an>0)a12(下面的变形是有条件的，条件是n2)ansnsn1aanaan1(不变形怎么办？肯定要进行代数式变形)(anan1)(anan12)0(注意到an>0了吗？anan1>0)anan12(关于等差数列的

19、定义不用重复了吧！)an2(n1)×22n(注意到bn与an的关系了吗？n是分奇偶的)b1a12；b2b12；b3a36；b4b22(cn与bn的关系很特殊！)c1b6b36c2b8b42(下面变化的条件是n3，这可是细节啊！)cnb2n4b2n12b2n21a2n212n12.tnc1c2c3cn62(222)(232)(2n12)2n2n(不要忘了当n1，n2时，对tn的表达式的验证)tn解(1)a1s1aa1aa10，因为a1>0，故a12；当n2时，ansnsn1aanaan1，所以(aa)(anan1)0，即(anan1)(anan12)0.因为an>0，所以anan12，即a