高考数学大题冲关集训(五)

1、高考数学精品复习资料 2019.5大题冲关集训(五) 1.(20xx广东广州高三毕业班第二次综合测试)经过点f(0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为m.点a、d在轨迹m上,且关于y轴对称,过线段ad(两端点除外)上的任意一点作直线l,使直线l与轨迹m在点d处的切线平行,设直线l与轨迹m交于点b、c.(1)求轨迹m的方程;(2)证明:bad=cad.(1)解:法一设动圆圆心为(x,y),依题意得,x2+(y-1)2=|y+1|.整理得x2=4y.所以轨迹m的方程为x2=4y.法二设动圆圆心为p,依题意得点p到定点f(0,1)的距离和点p到定直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义知,动

2、点p的轨迹是抛物线.且其中定点f(0,1)为焦点,定直线y=-1为准线.所以动圆圆心p的轨迹m的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)得x2=4y,即y=14x2,则y'=12x.设点d(x0,14x02),由导数的几何意义知,直线l的斜率为kbc=12x0.由题意知点a(-x0,14x02).设点c(x1,14x12),b(x2,14x22),则kbc=14x12-14x22x1-x2=x1+x24=12x0,即x1+x2=2x0.因为kac=14x12-14x02x1+x0=x1-x04,kab=14x22-14x02x2+x0=x2-x04.由于kac+kab=x1-x04+x2

3、-x04=(x1+x2)-2x04=0,即kac=-kab.所以bad=cad.2.(20xx广东六校第二次质检)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1,f2,短轴的两个端点分别为a,b,且四边形f1af2b是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程;(2)若c,d分别是椭圆长轴的左、右端点,动点m满足mdcd,连接cm,交椭圆于点p,证明:om·op为定值.(o为坐标原点)(1)解:依题意得a=2,b=c,b2=2,故椭圆方程为x24+y22=1.(2)证明:c(-2,0),d(2,0),设m(2,y0),p(x1,y1),则op=(x1,y1)

4、,om=(2,y0).直线cm的方程为y=y04(x+2),即y=y04x+12y0,代入椭圆方程得(1+y028)x2+12y02x+12y02-4=0.解得x1=-2(y02-8)y02+8,y1=y04x1+12y0=8y0y02+8,即op=(-2(y02-8)y02+8,8y0y02+8),op·om=-4(y02-8)y02+8+8y02y02+8=4y02+32y02+8=4(定值).3.(20xx河南洛阳一模)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,直线l:y=x+2与以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆o相切.(1)求椭圆c的方程

5、;(2)设椭圆c与曲线|y|=kx(k>0)的交点为a、b,求oab面积的最大值.解:(1)由题设可知,圆o的方程为x2+y2=b2,因为直线l:x-y+2=0与圆o相切,故有|2|12+(-1)2=b,所以b=2.又e=ca=33,所以有a2=3c2=3(a2-b2),所以a2=3,所以椭圆c的方程为x23+y22=1. (2)设点a(x0,y0)(x0>0,y0>0),则y0=kx0,设ab交x轴于点d,如图,由对称性知:soab=2soad=2×12x0y0=kx02.由y0=kx0,x023+y022=1,解得x02=62+3k2.所以soab=k·

6、;62+3k2=62k+3k622k·3k=62.当且仅当2k=3k,即k=63时取等号.所以oab面积的最大值为62.4.(20xx广东省华师附中综合测试)如图,已知椭圆c:x24+y2=1的上、下顶点分别为a、b,点p在椭圆上,且异于点a、b,直线ap、bp与直线l:y=-2分别交于点m、n.(1)设直线ap、bp的斜率分别为k1,k2,求证:k1 ·k2为定值;(2)求线段mn的长的最小值;(3)当点p运动时,以mn为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.(1)证明:a(0,1),b(0,-1),令p(x0,y0),则由题设可知x00, 直线ap的斜率k1=y0-1

7、x0,pb的斜率k2=y0+1x0,又点p在椭圆上,所以x024+y02=1(x00),从而有k1k2=y0-1x0·y0+1x0=y02-1x02=-14.解:(2)由题设可以得到直线ap的方程为y-1=k1(x-0),直线bp的方程为y-(-1)=k2(x-0),由y-1=k1x,y=-2,x=-3k1,y=-2.由y+1=k2x,y=-2,x=-1k2,y=-2.直线ap与直线l的交点m(-3k1,-2),直线bp与直线l的交点n(-1k2,-2).又k1k2=-14,|mn|=|3k1-1k2|=|3k1+4k1|=3|k1|+4|k1|23|k1|·4|k1|=4

8、3,当且仅当3|k1|=4|k1|,即k1=±32时取等号,故线段mn长的最小值是43.(3)当点p运动时,以mn为直径的圆恒过定点.设点q(x,y)是以mn为直径的圆上的任意一点,则qm·qn=0,故有(x+3k1)·(x+1k2)+(y+2)(y+2)=0,又k1k2=-14,所以以mn为直径的圆的方程为x2+(y+2)2-12+(3k1-4k1)x=0,令x=0,得(y+2)2-12=0,解得y=-2+23,或y=-2-23,所以以mn为直径的圆恒过定点(0,-2+23)或(0,-2-23).5.(高考江西卷)已知三点o(0,0),a(-2,1),b(2,1

9、),曲线c上任意一点m(x,y)满足|ma+mb|=om·(oa+ob)+2.(1)求曲线c的方程;(2)点q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线c上的动点,曲线c在点q处的切线为l,点p的坐标是(0,-1),l与pa,pb分别交于点d,e,求qab与pde的面积之比.解:(1)由ma=(-2-x,1-y),mb=(2-x,1-y),得|ma+mb|=(-2x)2+(2-2y)2,om·(oa+ob)=(x,y)·(0,2)=2y,由已知得(-2x)2+(2-2y)2=2y+2,化简得曲线c的方程是x2=4y.(2)直线pa,pb的方程分别是y=-x

10、-1,y=x-1,曲线c在点q处的切线l的方程是y=x02x-x024,且与y轴的交点为f(0,-x024),分别联立方程组y=-x-1,y=x02x-x024,y=x-1,y=x02x-x024,解得d,e的横坐标分别是xd=x0-22,xe=x0+22,则xe-xd=2,|fp|=1-x024,故spde=12|fp|·|xe-xd|=12·(1-x024)·2=4-x024,而sqab=12×4×(1-x024)=4-x022,则sqabspde=2.即qab与pde的面积之比为2.6.(20xx佛山质检)已知椭圆c1和抛物线c2有公共焦

11、点f(1,0),c1的中心和c2的顶点都在坐标原点,直线l过点m(4,0).(1)写出抛物线c2的标准方程;(2)若坐标原点o关于直线l的对称点p在抛物线c2上,直线l与椭圆c1有公共点,求椭圆c1的长轴长的最小值.解:(1)由题意,抛物线c2的焦点f(1,0),则p2=1,p=2,所以抛物线c2的方程为y2=4x.(2)法一设p(m,n),则op的中点为m2,n2.因为o,p两点关于直线y=k(x-4)对称,所以n2=k(m2-4),nm·k=-1,即km-n=8k,m+nk=0,解得m=8k21+k2,n=-8k1+k2,将其代入抛物线方程,得(-8k1+k2)2=4·

12、8k21+k2,所以k2=1.联立y=k(x-4),x2a2+y2b2=1消去y得(b2+a2)x2-8a2x+16a2-a2b2=0.由=(-8a2)2-4(b2+a2)(16a2-a2b2)0,得a2+b216,注意到b2=a2-1,即2a217,所以a342,即2a34,因此,椭圆c1长轴长的最小值为34.法二设p(m24,m),因为o,p两点关于直线l对称,则|om|=|mp|=4,即(m24-4) 2+m2=4,解得m=±4,即p(4,±4),根据对称性,不妨设点p在第四象限,且直线与抛物线交于a,b,如图,则kab=-1kop=1,于是直线l的方程为y

13、=x-4.联立y=x-4,x2a2+y2b2=1消去y得(b2+a2)x2-8a2x+16a2-a2b2=0.由=(-8a2)2-4(b2+a2)(16a2-a2b2)0,得a2+b216,注意到b2=a2-1,即2a217,所以a342,即2a34,因此椭圆c1长轴长的最小值为34.7.(20xx广东六校第二次质检)已知椭圆c1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为33,直线l:x-y+2=0与以原点为圆心、以椭圆c1的短半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆c1的方程;(2)设椭圆c1的左焦点为f1,右焦点为f2,直线l1过点f1且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直直线l1

14、于点p,线段pf2的垂直平分线交l2于点m,求点m的轨迹c2的方程;(3)若a(x1,2),b(x2,y2),c(x0,y0)是c2上不同的点,且abbc,求y0的取值范围.解:(1)e=33,所以e2=c2a2=a2-b2a2=13,所以2a2=3b2,又因为直线l:x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切,所以22=b,b2=2,a2=3,所以椭圆c1的方程是x23+y22=1.(2)因为|mp|=|mf2|,所以,动点m到定直线l1:x=-1的距离等于它的定点f2(1,0)的距离,所以,动点m的轨迹是以l1为准线,f2为焦点的抛物线,p2=1,所以点m的轨迹c2的方程为y2=4x.(3)由(1)知a(1,2),b