【创新方案】高考数学理一轮突破热点题型：第3章 第6节　正弦定理和余弦定理

1、高考数学精品复习资料 2019.5 考点一利用正、余弦定理解三角形 例1(1)(20xx·天津高考)在abc中，abc，ab，bc3，则sin bac()a.b.c.d.(2)(20xx·安徽高考)设abc的内角a，b，c所对边的长分别为a， b，c.若bc2a,3sin a5sin b，则角c_.(3)(20xx·浙江高考)在abc中，c90°，m是bc的中点，若sinbam，则sinbac_.自主解答(1)由余弦定理可得ac2922×3××5，所以ac.再由正弦定理得，所以sin a.(2)由3sin a5sin b，可

2、得3a5b，又bc2a，所以可令a5t(t>0)，则b3t，c7t，可得cos c，又c(0，)，故c.(3)在abm中，由正弦定理得，设角a，b，c所对的边分别为a，b，c，所以a，整理得(3a22c2)20，故sinbac.答案(1)c(2)(3)【方法规律】正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用1在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若asin bcos ccsin bcos ab，且ab，则b()a. b. c. d.

3、解析：选a由正弦定理得sin asin bcos csin csin bcos asin b，sin bsin(ac)sin b.又sin b0，sin(ac)，即sin b，b或.又ab，ab，b.2已知锐角abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c,23cos2acos 2a0，a7，c6，则b()a10 b9 c8 d5解析：选d由23cos2acos 2a0，得25cos2a1，因为a为锐角，所以cos a.又由a2b2c22bccos a，得49b236b，整理得5b212b650，解得b(舍)或b5.即b5.考点二利用正、余弦定理判断三角形的形状 例2在abc中，a，b，c分别为

4、内角a，b，c的对边，且2asin a(2bc)sin b(2cb)sin c.(1)求a的大小；(2)若sin bsin c1，试判断abc的形状自主解答(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得a2b2c22bccos a，故cos a，又0c，所以a120°.(2)由(1)得sin2asin2bsin2csin bsin c.又sin bsin c1，得sin bsin c.因为0b，0c，故bc，所以abc是等腰钝角三角形【互动探究】若将本例(2)中的条件改为“(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)”，试判断ab

5、c的形状解：(a2b2)sin(ab)(a2b2)sin(ab)，b2sin(ab)sin(ab)a2sin(ab)sin(ab)，2sin acos b·b22cos asin b·a2，即a2cos asin bb2sin acos b.由正弦定理知a2rsin a，b2rsin b，sin2acos asin bsin2bsin acos b，又sin a·sin b0，sin acos asin bcos b，sin 2asin 2b. 在abc中，02a2，02b2，2a2b或2a2b，ab或ab.abc为等腰或直角三角形【方法规律】判定三角形形状的两种

6、常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断(20xx·陕西高考)设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，若bcos cccos basin a，则abc的形状为()a直角三角形b锐角三角形c钝角三角形 d不确定解析：选a依据题设条件的特点，边化角选用正弦定理，有sin bcos ccos bsin csin2a，则sin(bc)sin2a，由三角形内角和及互补角的意义，得sin(bc)sin asin2a，即sin a1，所以a.即abc为

7、直角三角形高频考点考点三 与三角形面积有关的问题1正、余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题2高考对此类问题的考查主要有以下两个命题角度：(1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形例3(1)(20xx·新课标全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知b2，b，c，则abc的面积为()a22b.1c22 d.1(2)( 20xx·湖北高考)在abc中，角a，b，c对应的边分别是a，b，c.已知cos 2a3cos(bc)1.求角a的大小；若abc的面积s5，b5，求sin bsin c的值

8、自主解答(1)由正弦定理知，结合条件得c2.又sin asin(bc)sin(bc)sin bcos ccos bsin c，所以abc的面积sbcsin a1.(2)由cos 2a3cos(bc)1，得2cos2 a3cos a20，即(2cos a1)(cos a2)0，解得cos a或cos a2(舍去)因为0<a<，所以a.由sbcsin abc·bc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理得a2b2c22bccos a25162021，故a.又由正弦定理得sin bsin csin a·sin asin2a×.答案(1)b与三角形面积有关

9、问题的常见类型及解题策略(1)求三角形的面积对于面积公式sabsin cacsin bbcsin a，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式(2)已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化1已知a，b，c分别为abc三个内角a，b，c的对边，acos casin cbc0.(1)求a；(2)若a2，abc的面积为，求b，c.解：(1)由acos casin cbc0及正弦定理得sin acos csin asin csin bsin c0.因为bac，所以sin asin ccos asin csin c0.由于sin c0，所以sin.又0a，故a

10、.(2)abc的面积sbcsin a，故bc4.而a2b2c22bccos a，故b2c28.解得bc2.2(20xx·新课标全国卷)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知abcos ccsin b.(1)求b；(2)若b2，求abc面积的最大值解：(1)由已知及正弦定理得sin asin bcos csin csin b.又a(bc)，故sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c.所以sin bsin ccos bsin c，又c(0，)，所以sin c0，故sin bcos b.又b(0，)，所以b.(2)abc的面积sacsin bac.由已知及余弦定理得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此abc面积的最大值为1.课堂归纳通法领悟1组关系三角形中的边角关系在abc中，ababsin asin bcos acos b.2种途径判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有