十二章动量定理

1、理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理12121 1 质点的动量矩定理质点的动量矩定理12122 2 质点系动力学基本问题质点系动力学基本问题理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理动量定理：解决的问题质点移动规律质点系的质心移动规律转动问题尚待解决定轴转动的匀质圆盘p=0（与力相联系）动量主矢=0动量的主矩0o0p0)(0mvmiivmiivm理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理要解决具有转动问题还须另一定理：动量矩定理动量矩定理 0)(0mvmpmvmvci

2、动量的主矩不等于零。aiivmiivmnfm理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理1、质点的动量矩定理、质点的动量矩定理ao)(0mvmmvqraqxymv)(zyx12121 1 质点的动量矩定理质点的动量矩定理计算公式：mvrmvm)(0 xmxiymyjzmzk理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理或：oqarmvmvm2sin)(0质点动量对于轴的矩：)()(0mvmmvmzzaqomvmz 2)(质点动量对点的矩与对轴之矩的关系式：理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理、质点的动量矩定理、

3、质点的动量矩定理由牛顿第二定律fdtdvmfmvdtd)(frmvdtdr)(mvdtdrdtmvdrmvrdtd)()()(0mvmmvf)(0fmxyzo理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理frmvrdtd)()()(00fmmvm理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理1、质点系的动量矩定理、质点系的动量矩定理2r1f1m13f11vm12f1ro2m21vm21f23f32f2r3r31f3m3f33vm由合力矩定理知：)()()(0210120rmfmfm又：0r12122 2 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理理论力

4、学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理对某一质点皆可写出动量矩定理)()()()mfmfmvmrdtd)()()()(23021020222fmfmfmvmrdtd)()()()(32031030333fmfmfmvmrdtd理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理)()()(00iiieiiidtdfmfmvmr)()(00iefmmvmdtd质点系对任意固定点的动量矩对时间的导数等于质点系所受全部外力对该点的主矩理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理注意注意：质点系动量矩定理，

5、适合惯性坐标系，故矩心点是固定点：内力不能使整个系统的动量矩发生变化只有外力才使其发生变化，但内力可使每一个质点的动量矩发生变化：当全部外力对所取点的主矩为零0)(0iefm时，则动量矩守恒即：)(0mvm常矢量：质点系对点之动量矩是说明在某一瞬时质点系运动的一个量度理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理：应用质点系动量矩定理时，可取投影式)()(exxfmmvmdtd)()(eyyfmmvmdtd)()(ezzfmmvmdtd理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理ba1marbr 例例12-1 12-1 滑块，质量分别为，0.5

6、，用长米的绳连接，在水平光滑滑竿上滑动，绳和竿的质量不计。竿绕铅垂轴转动，轴的摩擦也不计。当 时，滑块以速度.沿竿向外运动，竿的角速度 求此时竿的角加速度。srad /5 . 0mra6 . 0【典型题精解典型题精解】理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理baxyzgmbgmabrarzravrbv【解解】画受力图：理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理可知：（1）所有外力对z轴的矩为零。支点系对z轴的动量矩应该守恒)(mvmz常量滑块a，b为点的复合运动牵连速度：aaervbberv相对速度：ravrbv0)(ezfm理论力学电

7、子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理bbebaaeazrvmrvmmvm)(22bbaarmrm)(22bbaarmrm常量将上式两端对t 求导，得0)()(222dtdrmrmdtdrrmdtdrrmbbaabbbaaa又：1barr0dtdrdtdrabmrrab4 . 01smdtdrdtdrab4 . 0理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理故：0)(2)(22dtdrrmrmrmrmabbaabbaa解得：25 . 0srad负号说明与转向相反， 竿在此瞬间做减速运动理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动

8、量矩定理 例例12-212-2 公园内的喷水器有四根旋臂，每一旋臂由两根水平管组成，管长分别为0.25m,0.15m,夹角为 每一喷嘴喷。设喷水量为 水流相对于喷嘴的速度为 水器转动时的摩擦力矩l0.25n.m,求喷水器喷水时的转速。120sm/12min/01. 03m 取质点系（取悬臂以及从进水口至喷嘴内所含的水）动量矩得计算,(经 后，进水口处的水流入 ,各喷水嘴流去 旋转臂及管内稳定流动的质量三部分引起的对z轴的动量矩变化）应用动量矩定理求得tmm41理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理ozmb4/ml1200.25m0.15marvavbv1oh1o

9、120armv1v理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理【解解】质点系 ：由悬臂以及从进水口至喷嘴内所含的水应用动量矩定理：(积分式）现取对 z轴的投影式，且lfmi)(0为常量 则经t时dtfmvmmvmmittiiii )()()(210020tldtfmitt )(210喷嘴口的水为点的复合运动：取其为动点。动系：悬臂zvmmii)(0中的iv为绝对速度水在喷嘴喷出的速度为reavvv理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理lvesmvr/12经t后 ，对z轴的动量矩的变化。悬臂及管内稳定流的这一部分水质点动量矩不变，及动量矩

10、之差为零0)60sin25. 0(414)(10mvlvvmvmmerii故tllvvmer)60sin25. 0(（*）221225. 0ml 理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理当 mtmt）为即式（*0skgkgm/60/40min/40100001. 04把已知数据代入式（*）中25. 0)1225. 0866. 025. 012(6040min/3 .173/15.18rsrad理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理 例例12-3 （1）如图（a）所示，刚体由均质圆环与直杆焊 接而 成，两者是质量均为 ，则 等于多少？

11、（2）如图（b）所示，圆盘质量为 ，绳子无重且不可伸长，与圆盘之间无相对滑动，物块 质量均为 。则系统对 点的动量矩为多少？mojmba、morr4roab（a）（b）理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理【解解】 （1）圆环对 点的转动惯量为o212mrjo直杆对 点的转动惯量为o)2()4(121222rmrmjo故)416121(222221mrrmmrjjjooo2322mr理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理（2）由运动状态可知； 块作平动， ； 块作平 动， 。arvabrvb设 的转向为旋转正向，则三个质量块对 点

12、的动量矩分别为o2mrrmvlaoa2mrrmvlbob221mrjlooo故2)221(rmmlllloboaooo理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理例例12-4 如图所示，一匀质圆盘刚连于匀质细杆 上，可绕 轴在水平面内转动，已知杆 长 ，质量 ， 圆盘半径 ，质量 ， 为圆盘质心。若在杆上作用一常力偶矩 ，不计摩擦，试求杆 的角加速度。 ocoocml3 . 0kgm101mr15. 0kgm402cmnm 20oc【解解】取整体为研究对象。设角加速度为 ，由刚体定轴转动微分方程，得：mioz式中2222212131lmrmlmiozcr1m2mmo理

13、论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理代入已知值得：2223 . 04015. 040213 . 01031ozi235. 4mkg 2/6 . 435. 420sradimoz理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理1.是非题是非题（1）质点系的内力不能改变质点系的动量与动量矩。（ ）（2）若系统的动量守恒，则其对任意点的动量一定守恒，若系统对某点的动量矩守恒，则其动量一定守恒（ ）2.选择题选择题（1）如图所示，均质矩形板质量为 ，尺寸如图所示。已知薄板对 轴的转动惯量 。试写出对 轴的转动惯量 的计算公式。 与 轴互相平行。（

14、）m1z1zj2z2zj1z2z4/b4/b2/b2z1zc【思考题思考题】 对对错错c理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理a.2)4(12bmjjzz2)4(12bmjjzzb.c.222163)4()2(112mbjbmbmjjzzz222163)4()2(112mbjbmbmjjzzzd.4/b4/b2/b2z1zc（2）如图所示，长为 、质量为 的均质杆 的 端上焊接一个半径为 、质量为 的均质圆盘，该组合物体绕 点转动的角速度为 ，则对 点的动量矩为（ ）。l1moaar2mood理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理

15、a.)(2121rlmm2221)()21(rlmm22212131rmlm222221)(2131mrlrmlmb.c.d.r2m1malo理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第十二章 动量矩定理动量矩定理（3）如图所示，均质圆板质量为 ，半径 ，用长为 的无重杆固结在转轴 上，并绕该轴转动。已知角速度为 ，圆板对 轴的动量矩为（ ）mrrabzzbacrra.22mrlz，从 轴的正向看为反时针方向zb.241mrlz，从 轴的正向看为反时针方向zd.2417mrlz，从 轴的正向看为反时针方向zc.229mrlz，从 轴的正向看为反时针方向zd理论力学电子教程理论力学电子教程第十二章第