十一章节交试验设计

1、第十一讲第十一讲 正交试验设计正交试验设计一、正交试验的基本方法一、正交试验的基本方法二、正交表的方差分析二、正交表的方差分析三、重复试验、重复取样的方差分析三、重复试验、重复取样的方差分析四、交互作用四、交互作用一、正交试验的基本方法一、正交试验的基本方法在科学研究和生产中，通常所考察或感兴在科学研究和生产中，通常所考察或感兴趣的指标往往受多个因素的影响，需通过试验趣的指标往往受多个因素的影响，需通过试验来选择各个因素的最佳试验状态，这就存在着来选择各个因素的最佳试验状态，这就存在着如何合理安排试验和如何分析试验结果的问题。如何合理安排试验和如何分析试验结果的问题。方差分析方法就是分析因素对

2、所考察指标是方差分析方法就是分析因素对所考察指标是否有显著的影响或寻找最优试验方案否有显著的影响或寻找最优试验方案(或最优生或最优生（一）（一） 引言引言素素)都是全面试验。当涉及的因素及水平都比较都是全面试验。当涉及的因素及水平都比较多时，从人力、物力、财力和时间等方面来说，多时，从人力、物力、财力和时间等方面来说，作全面试验一般是不现实的。作全面试验一般是不现实的。 因而人们自然希因而人们自然希望只选作其中的一部分试验，就能很好地反映望只选作其中的一部分试验，就能很好地反映全面搭配可能产生的各种情况，以便从中选择全面搭配可能产生的各种情况，以便从中选择出较好的方案。出较好的方案。的的基本要

3、求基本要求是既要试验的次数尽可能的少，又是既要试验的次数尽可能的少，又因此一个科学的试验安排方法因此一个科学的试验安排方法产工艺条件产工艺条件)，但方差分析中所涉及的试验，但方差分析中所涉及的试验(多因多因试验设计的方法很多，在此仅介绍常用的一种试验设计的方法很多，在此仅介绍常用的一种试验设计方法试验设计方法正交设计正交设计，即利用已设计好的，即利用已设计好的正交表正交表安排多因素试验，并对试验结果进行统安排多因素试验，并对试验结果进行统计分析，找出最优试验方案。计分析，找出最优试验方案。正交设计能明确回答下面几个问题正交设计能明确回答下面几个问题（1）因素的主次，即各因素对指标大小的影因素的

4、主次，即各因素对指标大小的影响的顺序。响的顺序。要便于分析试验数据并能获得满意的结果。要便于分析试验数据并能获得满意的结果。（3）什么是较好的生产条件或生产工艺。什么是较好的生产条件或生产工艺。（4）进一步研究的方向。进一步研究的方向。（2）因素与指标的关系，即每个因素各水平因素与指标的关系，即每个因素各水平不同时，指标是如何变化的。不同时，指标是如何变化的。正交表正交表如表所示，正交表必须满足以下两个性质：如表所示，正交表必须满足以下两个性质：（1）表中任何一列，其所含各种水平的个数表中任何一列，其所含各种水平的个数都相同。都相同。（二）（二）（2）表的任何两列中，所有各种可能的数对表的任何

5、两列中，所有各种可能的数对出现的次数都相同。出现的次数都相同。把满足上述两个性质的搭配方案称为把满足上述两个性质的搭配方案称为正交表正交表。有关正交表的构造原理，因需涉及较多的抽象有关正交表的构造原理，因需涉及较多的抽象代数知识，就不再讨论，常见的正交表可参看代数知识，就不再讨论，常见的正交表可参看附录附录p421。由正交表安排试验的一种方案如表所示。由正交表安排试验的一种方案如表所示。正正交表两个性质决定了这样安排的试验具有如下交表两个性质决定了这样安排的试验具有如下)3(l49列号列号水平水平试验号试验号1234432187659211133223132121323232113132332

6、132211abcd两个特点：两个特点：（1）每个因子的各个不同水平在试验中出现了每个因子的各个不同水平在试验中出现了相同的次数。相同的次数。（2）任何两个因子的各种不同水平的搭配，在任何两个因子的各种不同水平的搭配，在试验中出现了，且出现的次数相同试验中出现了，且出现的次数相同由此可知，正交试验法安排的试验方案是有代由此可知，正交试验法安排的试验方案是有代表性的，能够比较全面地反映各因子各水平对指表性的，能够比较全面地反映各因子各水平对指标影响的大致情况，且大大地减少了试验次数。标影响的大致情况，且大大地减少了试验次数。正交设计的初步分析正交设计的初步分析极差分析极差分析（三）（三）用于初步

7、分析的数据列于下表中。从这用于初步分析的数据列于下表中。从这个表中的极差个表中的极差 ，我们可以回答下述问题：，我们可以回答下述问题：（1）各因子对指标的影响哪些是主要的？哪些各因子对指标的影响哪些是主要的？哪些是次要的？是次要的？jr（2）各因子取哪些水平好呢？各因子取哪些水平好呢？（3）什么是较好的生产条件呢？什么是较好的生产条件呢？（4）各因子的水平变化时，指标是如何变化的？各因子的水平变化时，指标是如何变化的？列号列号水平水平试验号试验号1234432187659211133223132121323232113132332132211abcd拉脱力拉脱力 影响影响87890995185

8、71030803899973927ji2538271727862757jii2750295427568227 tjiii2760273526852817jr434161011642653综上所述，可获得应用正交试验法的一般综上所述，可获得应用正交试验法的一般步骤为：步骤为：1）定指标，挑因子，选水平；定指标，挑因子，选水平；2）选用适当的正交表，排表头；选用适当的正交表，排表头；3）严格按表中指定条件做完各次试验，并将严格按表中指定条件做完各次试验，并将试验数据填入表格右端；试验数据填入表格右端；4）计算各列同一水平的数据和与极差，并填计算各列同一水平的数据和与极差，并填入表格下端；入表格下端

9、；5）按极差的大小排出因子的主次；按极差的大小排出因子的主次；6）选取较优的生产条件；选取较优的生产条件；7）进行验证性试验，作进一步分析。进行验证性试验，作进一步分析。极差分析法的极差分析法的优点优点：简便易行简便易行，计算量少计算量少。但其但其缺点缺点是：没有将是：没有将试验条件改变试验条件改变引起数据的引起数据的波动波动与与试验误差试验误差引起数据的引起数据的波动波动区分开来；没区分开来；没有提供判断因子影响是否显著的有提供判断因子影响是否显著的标准标准。二、二、正交表的方差分析正交表的方差分析考虑有考虑有 个水平的正交表个水平的正交表 ，)(lmntt其中其中 是是n能安排的试验次数能

10、安排的试验次数(正交表的行数正交表的行数)， 是因子的是因子的t水平个数，水平个数， 是正交表的列数是正交表的列数(即最多可安排因即最多可安排因子的个数子的个数)，根据正交表的构造有关系式，根据正交表的构造有关系式m).1(1 tmn设用设用 安排试验，安排试验，)(lmnt第第 号试验的结果记为号试验的结果记为iiy., 2 , 1ni ,1 niiyt,nty tnr (同水平重同水平重复的次数复的次数) niityys12)(mjyrtrstiijj, 2 , 1,)(12 其中其中 表示正交表表示正交表 的第的第 列的第列的第 个个ijt)(lmntji水水平所对应试验结果平所对应试验

11、结果 之和。之和。iy反映了全部试验结果之间的差异程度，称反映了全部试验结果之间的差异程度，称ts为为总离差平方和总离差平方和；js反映了正交表第反映了正交表第 列所排列所排j因子的不同水平之间的差异程度，称为第因子的不同水平之间的差异程度，称为第 列列j离差平方和。离差平方和。定理定理16.1和和 可分别表示为可分别表示为tsjsntysniit212 mjnttrstiijj, 2 , 1,1212 mjjtss1定理定理16.2的自由度为的自由度为 ；ts1 n的自由度的自由度js为为 ；1 t), 2 , 1(mj 的自由度为的自由度为 的自的自tsjs由度之和由度之和 。)1(1(

12、tmn定理定理16.3设试验结果设试验结果 服从同方差服从同方差 的正态的正态iy分布且相互独立，则分布且相互独立，则 相互独立。进相互独立。进2 msss,21一步，当第一步，当第 列所排因子的作用不显著时，则列所排因子的作用不显著时，则j有有mjtsj, 2 , 1),1(22 注注：因子作用不显著是指：因子作用不显著是指 相互独立相互独立tjjjttt,21且服从同一正态分布。且服从同一正态分布。由由 可知未排因子的空列离差平方可知未排因子的空列离差平方 mjjtss1和就是误差平方和，因此在第和就是误差平方和，因此在第 列所排因子的列所排因子的j作用不显著时，则有作用不显著时，则有),

13、(/误误因因误误误误因因因因ffffsfsf 其中其中 为所有空列的为所有空列的 之和，之和，误误sjs是是 的自由的自由误误f误误s度，即空列度，即空列 的自由度之和，的自由度之和， 是的是的 自由自由js度。当第度。当第 列所排因子的作用显著时，列所排因子的作用显著时，jjs有偏有偏大的趋势，故当大的趋势，故当),(1误误因因ffff 则以显著性则以显著性水平水平 推断该因子作用显著；否则，认为该因推断该因子作用显著；否则，认为该因 子作用不显著。子作用不显著。因因f因因s在实际应用中，常常先计算出各列的平均在实际应用中，常常先计算出各列的平均变动平方和变动平方和,/jjjfss 当当 比比 还小时，还小时，js误误sjs就可以当作误差平方和，并入就可以当作误差平方和，并入 中去，中去，误误s这样这样使误差的自由度增大，从而在作使误差的自由度增大，从而在作 检验时会检验时会 f更灵敏。更灵敏。将全部可以当作误差的将全部可以当作误差的 都并入都并