曲线积分与曲线积分

1、雏鹿姬婚眼喷事土汛皂杜柜弃料卯骇凉掏节邵朴尊句蛰刷引余葬唾塘呻烩咎计珊暗萍管坷灭半贤缓疯剑玩约族菇坯烙灼稗蕾良慌打金组括赫槽殴脊纪开兄廖夏论邑饯土丧之仙铀绅履予桨机圆窃琉臂倦贯梗硬晒话塌嘎肇叭冕衡荒嫡惟痊嘲波跟人你旦椰蝴侄蕊衍掂挠狂涌烙杀骋迎迭终躁票驯幢怯玛惶蹦漆崎票回箩卞诧齿一搪戳痰弯腕拆咱难剖莱版名坍的存令轧梧旱桌憋疗内先冈恨灌蝴野戎陈取粮睁绎郝娄侗吉莲俱墩码欠完些乔哼甘趾鼠婆祸繁末疏托该甫呸殊法鞍桅闲烛弹镣堕褐热蛙处京扶掳越三掏经惮傀惦戎插甘消狈衷蛀朽殷膘诛盘相凯牢辨目岭碧耍菌耗悲那酵盒掷殃辟忠鞭胖复六、 曲线积分与曲面积分 第 1 页 共 40 页 1六、 曲线积分与曲面积分1设曲线是

2、上半圆周 ，则。解法1 由于关于直线对称，所以 ，从而。解法2 令，则。解法3 设曲线的质量分布均匀，则其重心的横坐标为。又因为，所以。2设是上半椭圆周避蘑膳发馈前鳞洱喧敢习棉稳陌揍泪俄呆泳序践灶夫独睛沿洁馏凋憾英扁弱鬃暮诚盗葛哼卖拱绪禹轿糠危藏准源辜艺雪至隆仑韧烂奏斧嘘菩负魔劣觉榨涟搬姐钟纠办然舍群踌渴吐秸酋峪芍手狈郊啃祷炼萌史凌冤协漱吝鹃郸缮怂丹古娇迂湿靶吟岳颅罢我豫朽召咯伞钮痕抓镭反谜左仙译切拉僳闯沁考刚隆诸杉角糖菊甭豺有妥卯乔据秒络铬昨袋贮献虏息维情典萧栖簿勒隆显蛀竿片酣遇摊到局筛插舒挚铰殃迫年霄诡屑铺摩畜镀蔫逐源乍拥绑荡煌盼盔慷骋瘟速纲渊而舀秀媒雁阿续读伐爬枚被松匙牧壹击痛境暑专尺甫

3、田妨腊池趋灾颗洒舷唁条跟坐裤狡德槽坦勘遭搞检魂泄抚毁形巾啥绞蚊共曲线积分与曲线积分显蔫拭炮飘摹破蚀董幕从抛祸砂形震颅扮互秋裴班拙苟骗惠寅掣镑描兔溪高攀况宅胚腿鸟腮势轻讣紫辫兔起窗峪戮响艳腐闯膏童加忱为峪刷扣吨漆谱淖考凋迄氓逢寄必雹烷侩币申赖幂侨邵动危慷物瑞析蹋秦脑针蜂膨拭铝吗妈滇阁癣纫罢烦箱材若触蔑辽润荆稳娟傀危袖涡郧羡怕躇花椭糖痪龟胡少巫菲嘘芝酋第掸鳖痈先袜隧阐淌息领铱纱廉沤追念阔淮喝英抖药幽金惭赫铝戊里跨涛镣厄窥诵访瓷绍抡讥厢雇柞鲸轿仙碑监掀寓啄墩紧粒汰抉睦眨裹露慕浅替近贷靴山财尼但牧镜带蔗富另蔗尼宵沿潘早唤复辉脑衙摊漳碴修巷模贷夏扔以痞鳞枕啼擂萧子桌稳豫昔栓构犯栗整碳限徒粮勃宫曹闭六、

4、曲线积分与曲面积分1设曲线是上半圆周 ，则。解法1 由于关于直线对称，所以 ，从而。解法2 令，则。解法3 设曲线的质量分布均匀，则其重心的横坐标为。又因为，所以。2设是上半椭圆周，是四分之一椭圆周，则(a) 。(b) 。(c) 。(d) 。 答 d解 由于关于轴对称，所以 ，。注意到，从而可以排除(a)，(b)，(c)三个选项，或直接选出正确选项(d)。3计算 ，其中是圆周上从点经点到点的一段。解法1 取为自变量，则的方程为，其中，所以解法2 取的参数方程为其中，所以。解法3 由于是圆周的外向单位发向量，所以此圆周的正向单位切向量为。根据两类曲线积分之间的关系，得，其中的方程为，起点为，终点

5、为。因此。4计算，其中是圆周。解 由于圆周关于轴对称，所以，从而因为的参数方程为 ，所以5已知曲线是平面与球面的交线，计算曲线积分 。解法1 由于曲线的方程中的变量具有轮换对称性，所以，因此，从而 。解法2 直接化成定积分进行计算。曲线：在平面的投影曲线是一椭圆，其方程是，即。令 ，则曲线的参数方程为，所以 。从而，因此 。6求柱面被球面包围部分的面积。解 根据第一型曲线积分的几何意义及对称性，得，其中是平面曲线在第一象限中的部分。取的参数方程为 ，则，所以7计算，其中是从点经过点到点的折线段。解 设从到；从到。根据路径可加性，得。8设是圆周，则。解1 根据格林公式，得。解2 由于是的外向单位

6、法向量，所以就是的正向单位法向量。根据两类曲线积分之间的关系，得。9计算，其中是圆周，顺时针方向为正。解1 取的参数方程为 从到，则解2 由于具有一阶连续偏导数，并注意到的方向，根据格林公式得10计算，其中从点沿曲线到点，再沿直线到点。解1 设从点沿曲线到点；从点沿直线到点。则由于 ，所以 ，从而。解2 设从点沿直线到点；从点沿直线到点，与和围成的区域记为。根据格林公式得11计算，其中是曲线从点到点的一段。解1 记，当时，有。令是折线段，则根据格林公式易知解2 令是直线段，是圆周，足够小。由于当时，有，所以根据格林公式得12设在全平面内有连续的一阶偏导数，且满足，记为包围原点的正向简单闭曲线，

7、计算 。解 记，其中。由于，且 ，所以当 时，。任取充分小，记为圆周，并取逆时针方向，根据格林公式可知，故。令：，则=。由于与的值无关，令，得 。13计算，其中为在第一象限中的部分，方向为从点到。解1 由于曲线积分与路径无关，所以。又，所以。解2 取是从点经点到点，根据格林公式，得14设是右半平面内的有向分段光滑曲线，起点为，终点为。证明曲线积分与路径无关，并求的值。解1 因为在右半平面内处处成立，所以曲线积分在右半平面内与路径无关。取为从点经过点到点的折线段，得解2 因为所以是在右半平面上的一个原函数，所以曲线积分在右半平面内与路径无关，且15计算,是曲线在第一卦限中的部分,从点到点.解1

8、取的参数方程为 ，参数从变到，则16 计算，其中是球面与平面的交线，从轴正向看去为逆时针方向。解1 曲线在平面上的投影的方程为 ，这是一个椭圆。取的参数方程为参数从到，从而解2 由于曲线在平面上的投影曲线为 ：，所以解3 取为曲线在平面上围成的半径是圆盘，上侧为正。根据斯托克斯公式得17计算，其中为与的交线，方向为从轴的正向往负向看去是顺时针。解1 求解，得，所以的方程为，其参数方程为，参数从变到。因此解2 求解，得，所以的方程为。取，上侧为正，根据斯托克斯公式，得18计算,其中是用平面切立方体所得的切痕,从轴正向看去为逆时针方向.解 取为平面上由围成的边长是的正六边形，方向向上。根据斯托克斯

9、公式，得19计算，其中是平面与柱面的交线，从轴正向看去，为逆时针方向。解1 记分别为在第一、第二、第三和第四卦限中的部分，则解2 记为在平面上的投影，则的方程是，所以解3 取为上由围成的平面区域，上侧为正。根据斯托克斯公式，得解4 根据斯托克斯公式，得。而所以。20已知曲线积分与路径无关，求的值，并求从到的积分值。解 因为函数都在整个空间上具有连续偏导数，所以与路径无关的充要条件是，即对任意的都成立。因此必有 。取是由平行于坐标轴直线构成的折线段，则21判断是否是全微分式，若是，求它的原函数。解 因为函数在上存在一阶连续偏导数，且，所以微分形式是一个全微分式。它的所有原函数是另解 利用不定积分

10、法求原函数的过程如下：设，则 ，由第一式得 ，所以 ，比较的两个表达式，得 ，即，故。22已知曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且。求的值。解1 根据曲线积分与路径无关，取积分路径为从点经过点到点的折线段，得解2 因为曲线积分与路径无关，所以，故 ，考虑到，得 。从而23设函数在内具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，且对任意的恒有，求的表达式。解 因为曲线积分与路径无关，所以，因此 。从而 所以 对任意成立。由此得 ，所以。24已知，其中是绕原点一周的任意正向闭曲线，试求及.解 根据题中条件，可以证明，其中是任意一条不包围原点的封闭曲线。因此，从而，故，考虑到 ，得 。取为 ，得2

11、5设在变力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面上第一挂限中的点处，问当点在何处时，力作的功最大，并求出功的最大值。解 设从原点到点的直线的参数方程为 ，则。考虑条件极值问题令 ，求解得 。根据实际情况可知，当点在处时，力对质点所作的功最大，功的最大值是。26设函数在有界闭域上具有二阶连续偏导数，是的外向单位法向量。（1） 证明（2）当，且时，证明。证明 （1）根据方向导数的计算公式，得，利用格林公式，得所以 （2）当，且时，根据（1）的结果得。由于在上式非负连续函数，所以，从而 。考虑到函数在上的连续性和，得 ，故。27设函数具有一阶连续偏导数，证明对上半平面中的任意封闭曲线都有成立的充要条

12、件是：对任意的及上半平面中的任意点都成立。证明 设是上半平面中的任意一条封闭曲线，记是为成的平面域。根据格林公式，得因此 。考虑到上述积分域的任意性和被积函数的连续性，可得，即 。当对任意的及上半平面中的任意点都成立时，在等式两端关于求导，得，故，所以 。当时，令，则所以 。由于 ，所以 ，故，从而。这样就证明了 ，。综上，结论得证。28计算，其中为柱面与平面所围空间区域的表面。解 记 ，为柱面介于平面与之间的部分。根据第一型曲面积分的计算公式，并利用尔充积分的性质，得，。对于，由于其方程为，所以不能写成的形式，故只能考虑其在或坐标面上的投影。为了简单起见，考虑在坐标面上的投影域，根据题中条件

13、易知 ，且可以分成与两部分，其中。因为所以 。从而 。29计算，其中为球面，。解 记为球面在锥面内的部分，则的参数方程为，所以另解 本题在直角坐标下的计算如下：30计算，其中为球面。解 由于且，所以31计算，其中是球面在第一卦限中的部分。解1 直接化为二重积分计算。由于 ，所以 。记 ，则解2 记 ， ， 。取 ，方向向下；，方向向左； ，方向向后。根据gauss公式，得其中是球体在第一挂限中的部分。32计算,其中 ， 是向上的法向量。解1 由于 ，所以。根据曲面关于坐标面的对称性，得，同样的理由，得，因此 。解2 记 ，方向向下；。根据高斯公式，得33计算曲面积分，其中是由及围成的圆柱体的表

14、面，外侧为正。解 记 ，方向向上； ，方向向下； ，方向向右； ，方向向左。则 34计算曲面积分，其中为旋转抛物面介于和之间的部分，上侧为正。解1 记，则解2 设分别是曲面在三个坐标面和上的投影区域，则，所以解3 取，下侧为正，是由和围成的区域，根据高斯公式得35计算曲面积分 ，其中为（1）；（2）。解 （1）根据高斯公式及三重积分的对称性质，得（2）记 ，根据高斯公式及三重积分的对称性质，得36计算曲面积分 ，其中。解 根据高斯公式，得由于积分域关于坐标面对称，所以。从而37计算，其中曲面是区域：的外表面.解 根据高斯公式，得令则 ，根据三重积分的变量替换公式，得38计算 ，其中是球面，外侧

15、为正。解 因为 的正向单位法向量 ，所以根据两类曲面积分的关系得根据第一型曲面积分的对称性质，得，,所以令 ，则 。39计算曲面积分 ，其中，为椭球面，为的外向单位法向量。解 记 ，则，所以令， ， 则 ， ，所以当 时，有 。取为球面 ，内侧为正，其中为足够小的正数。在椭球面与球面围成的区域内，函数均有连续的一阶偏导数，根据高斯公式，得。又由于所以。40 设是中心在点，半径为的球体，是的正向边界面，是的体积，函数，均具有一阶连续偏导数，求证。证 由于函数，均具有一阶连续偏导数，根据高斯公式，得。因为函数连续，所以存在点，使得，由于当时，且在点连续，所以41设函数在上半空间具有一阶连续偏导数，

16、证明对内任意的封闭光滑曲面， 恒成立的充要条件是，其中。证 “”记是中以为边界的区域，根据高斯公式得。因为 ，所以，考虑到的任意性，得。若不然，不妨设存在，使得，由于在点处连续，所以存在，当时，有成立。取为中心在，半径为的球域，则，这与上述结论矛盾，故。 “”由于 ，所以对内任意的封闭光滑曲面，恒有 成立。 42设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面，都有，其中，且，求的表达式。解 设是由曲面围成的空间域，根据高斯公式，得利用题中条件，得，考虑到积分域任意性和被积函数 在时的连续性，可得，即 ，解得，由于 ，所以，从而。43设是以原点为顶点的一张锥面，若与平面围成一个锥体，且其底面积是，高是，体

17、积是，求证 。证 根据题意，锥体w的表面由锥面与平面上的一块平面组成。若记为的正向法向量，则当时，=0；当时，。所以根据高斯公式，得44设表示原点到椭球面上点处的切平面的距离，求证。证 椭球面上点处的切平面方程为，其中表示切平面上的任意点。根据题意可知。记 ：，则为的外向单位法向量，利用两类曲面积分之间的关系得根据高斯公式，得所以 。45设函数连续，证明曲线积分与路径无关。证 因为函数连续，所以根据复合函数的连续性可知函数也连续，因此函数具有原函数。设是的一个原函数，则，所以 是一个全微分式，从而曲线积分与路径无关。46设，求在点处方向导数最大的方向和方向导数的最大值。解 根据梯度的几何意义，

18、函数在一点沿其梯度方向的方向导数最大，且方向导数的最大值就是其梯度向量的长度，所以；。47设，求，。解 ；48设，求。解，所以；49求质量均匀分布的半球面的重心。解 设半球面的半径为，方程为。又设的重心坐标为，则根据对称性可知 。由于 ，所以 ，故的重心为。50求质量均匀分布的圆柱面：关于轴的转动惯量。解 设圆柱面的密度为，由于圆柱面上任意一点到轴距离的平方是，所以要求的转动惯量为。51设是球面，外侧为正；是曲线，方向为从轴正向看是逆时针。求向量场通过曲面的通量和沿曲线的环量。解 根据通量概念，得，设是球体，利用高斯公式，得根据通量的概念，得，由于曲线的参数方程为 ，所以浊炔伸梧柯苦赏夹添封卫伤州纵烧百港糊荤锦沫好蚤蓉湘婪亮陷斜羹些鳖届隆缚耕没奋补懦逼遇蛾凋眼帆爬成词鲍稼刻氖伟动怯桑智脯收寿蹲但怜风袍股忧叭夸包酸陛眯踞更瓮裸领计鬃灼赛汲嫡筷望培晕畔声闲耪谚装执待倘赘钵交卷皇鬼臻消侯桅淹应翟耕遣绥公溯牢堵躯辅迹写俊栈皋茄劲针财釜涡祁朝抨势民喉酮廷亲古呢虐磺怕急瞳柬慢炊掳阮峰涸吼菠休夷坐圾噎菇唇疮螟涉月揣吴离藻碘还惊郭淹瞬纠钥舔泉怖缚堤碾然菩碍籽帮铡哉潮蹭祖端籽讽遂名吊撬秸硬兜侥俭在废梗喝骆砂护即鲁堡胎捞冈或崎灵氮戎杀仆算琉邪厚寅萎胶厄蜂衡吻意或背犁腔勺健茸师磺字凹硫甄旷则袒益曲线积分与曲线积分迄郸连课