复变函数与积分变换试题

1、复变函数与积分变换试题本试题分两部分，第一部分为选择题，1页至3页，第二部分为非选择题，4页至8页，共8页；选择题40分，非选择题60分，满分100分，考试时间150分钟。第一部分选择题一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个选项中只有 一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。1.复数z二巴一邑的辐角为（25 25B. -arcta n 丄22.方程A.arcta n 122Rez =1所表示的平面曲线为（ 圆B .直线C. n - arctan 丄2D. n +arcta n 丄23.4.z=-3(cos，-isin，)的三角表示式为

2、554 4-3(cos , + isin )5 54 43(cos , + isin )5 5设 z=cosi，则()A . Imz=0B . Rez= n复数C.5.复数e3 '对应的点在（6.A .第一象限B.第二象限设 w=Ln（1-l）,则 Imw 等于（）C .椭圆D 双曲线43(cos , isin )554孑)C.4''54-3(cos , isin5|z|=0第三象限B . 2k一一D. argz= nD.第四象限4，"，C.jiD . 2k ,k =0,_1,47.函数w =z2把Z平面上的扇形区域：OV argz,0”：|z|：2映射成 W

3、平面上的区域（）3C.2兀0V argz：,0：|w|：432兀0V argz,0：|w|：23TB .0V argz ： § ,0 ：| w| ： 4&若函数f（z）在正向简单闭曲线 C所包围的区域D .0V argz ： § ,0 ：| w I ： 2D内解析，在C上连续，且z=a为D内任一点，n为正整数，则积分.2-iA.(n 1)!(n1)(a)B . 21 f(a)n!C . r：if (n) (a)D .n!(n)(a)9.设C为正向圆周|z+1|=2,n为正整数，则积分B. 2 n i10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.-

4、J 设C为正向圆周|z|=1,则积分 等于（)A . 0B . 2n iC . 2 nz.设函数f（z）=広巳匚，则f （z）等于（)A . zez ez 1B . zez ez -1C . - zez ez -1z + 1设积分路线 C是帖为z=-1到z=1的上半单位圆周，贝y2 dz等于（c zD . zez - ez 1B . 2 -二 i-2-二 ion n-1工z 幕级数、n =4m的收敛区域为（0 ：| z | ：|z|z=-1JI3是函数f(z)=士的（）3z -二一阶极点cot 二 zB.可去奇点一阶零点D.本性奇点是函数（z 1）4的（）3阶极点B . 4阶极点C . 5阶极

5、点D . 6阶极点幕极数'旦卫zn的收敛半径为（心（2n）!+ :Q（ z）在点z=0处解析，则 Resf（z）,0等于（A .下列积分中，积分值不为零的是（；（z3 2z 3）dz,其中C为正向圆周I z-12Q (0)B. Q (0)Q'( 0)Q'( 0):ezdz,其中C为正向圆周I z|=5cz nsidjc其中c为正向圆周丨ZF1D. dz,其中C为正向圆周I z|=2cz -12 映射w = z ' 2z下列区域中每一点的伸缩率都大于1的是（）A. |z 1| 1B |z 1|： 1C. |z| 1D |z|： 12 2 2 2下列映射中，把角形域

6、0 ： argz保角映射成单位圆内部|w|<1的为（）4z4 1z4 -1z4-1Z4 + 14z iC . W 二 4丄.z十Iz4I21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.三、31.32.第二部分非选择题(共60分)填空题(本大题共10空，每空2分，共30分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。复数 Z = 4 + 的模 |z|=。设 Z=(1+i)10°，则 Imz =。设 z=e ，贝y argz=。f (z)的可导处为。方程 Inz= i的解为。31 -设 C为正向圆周|z|=1，贝U 4(+z)dz=c z1设C为正向

7、圆周忆一il= 一，则积分叮dz =2lcz(z -i)231sin设 C 为正向圆周 |Z |=2, f(z),其中 |z|<2,则 f' (1)=_ n! n 幕极数-z 的收敛半径为 。n仝n1 1 1函数f(z)=15在点z=0处的留数为 zZ +1(z+1)计算题(本大题共 4小题，每小题5分，共20分)2 2求u =x - 2xy- y的共轭调和函数 v(x,y)，并使v(0,0) = 1。计算积分I "Z zdz的值，其中C为正向圆周|z|=2。'c|z|z233. 试求函数f(z)= o e- d 在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。34.

8、 计算积分I負rdz的值，其中C为正向圆周|z-1|=3。c(z-i) "1)把D1映射成W2平面上的第一象限D2 ：V诃2亍 W=f3(w2)把D2映射成 W平面的上半平面：Imw>0; w=f(z)把D映射成G。(z+3i)2四、综合题(下列 3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考积分变换者做 37题，其他考生做 36题，两题都做者按 37题给分。每题10分，共20分)COSX35利用留数求积分匸42 dx的值。力 x +10x +936设Z平面上的区域为 D :|z i L 2,|z-i h 2，试求下列保角映射3(1) w f1 (z)把D映射成 W1平面

9、上的角形域 D1：v argW14437.积分变换(1) 设FC J =,a是一个实数，证明:y''-2y; y =1, y(0)=0,y'(0)=-1.利用拉氏变换解常微分方程初值问题:复变函数与积分变换试题参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）1. B2. D3. C4. A5. A6. B7.A8. D9. C10. A11. D12. C 13. B14. B15. C16. D17.B18. D19. A20. C二、填空题（本大题共 10空，每空2分，共20分）21.8 22. 023.124. z=0.i-325. z(

10、1 i、3),或 e 3226. 4n i27. 2 n (n +i)28.3i,或 2二i 7131cos29.E30. 6333三、计算题（本大题共 4小题，每小题5分，共20 分）31.解 1:U =2x 2y,二=2x-2y，exdy由C R条件，有v；x：x-y32.32.v = y dy = (2x 2y)dy =2xy y2(x)。(2 分)ex再由 兰=2y '(x) =-2x 2y =-,.:xy得'(x) =-2x，于是(x-x2 C ,(4分)v = 2xy y2 -x2 C。由 v(0,0) =1,得 C = 1。(5分)32.32.解2:v(x y)=

11、（x，y） «（0，°）:xdx：vdy C32.32.(2分)(4分)(x, y)二(0,0)(2y - 2x)dx (2x 2y)dy C二-x2 2xy y2 C以下同解1。32.32.解1:勺口c |z|1兀dz = 2 专Rezdz 二=2coM 2i(c°Lisi n 二)d(3分)=4i o (1 cos2)d)- 4 i。/ _f c -ifi小i8、z 1 z2兀2e2e+dz = J十Jz| |zJ0i 22丿2iei0d解2 : c(5分)(3分)=2i(2 二 0) =4二i。(5分)32.33.2 处(_Z 2 ) n 处(_1) 解：因

12、为 f'(z)二 e-zn, n! nn!nz2n (| z I 7；匕” ,(2 分)所以由幕级数在收敛圆内逐项求积性质，得zf (z) = 0 f '( )d 二':=(-1)n z2n 1n 卫 n! 2n 1(5分)34.解：因在c内f（z）二 e 2有二阶级点z=i，所以（z-i） （z+3i）2i c f(z)dz 二(2 分)四、35.36.2ez= 2：ilim -23z (z 3i) (z 3i)（-12 二i）。16综合题（下列 3个题中，35题必做，36、37题中只选做一题，需考积分变换者做37题，其他考生做解：在上半平面内,解：（1）(2)(3)

13、(4)(5分)36题，两题都做者按 37题给分。每题10分，共20分）izef(z) 22有一阶极点z=i和z=3i。(z2 1)(z2 9)(2 分)1 ：!：?ixe212 -：(x21)(x2 9)dx - 2 Re: (x21)(xCOSXdx9)(4分)1 ReS 二i R e S zi) , 2二 i R f S z ) 1, 3 i2 ， R efs( zi)=1Resf(z),3i I-(6分)16 e i13,48e i(9分)3(3e2 -1)。48e3(10 分)|z i| 二 2由 |Zi| 二 2 解得交点 Z1 + 1,Z2=-1。z 1设w1，则它把D映射成 W1平面上的z 12 M设w 二e 4w1，则它把D1映射成W2平面上的第一象限 D2:0 : argw2-iw = (e 4(2 分)4D1: ：:： argw 1jr3<-n4(6分)(4分)，则它把 D2映射成 W平面的上半平面 G:lmw>0。(8 分)z-1 )2=- i(z-1)2。z 1z 1(10 分)37.解：(1)歹 ” j I - a)g(t - i)d I =莎 f(t-a)*g(t)】(2 分)f(t - a