高中数学导数典型例题精讲(详细版)

1、厚德启智心怀天下厚德启智心怀天下 导数经典例题精讲高中数学导数第4页共14页导数知识点导数是一种特殊的极限几个常用极限:（1）nmn0, lim ann110 (|a| 1); lim x Xolim - -.x、x x0两个重要的极限：（1） limx 0limxe(e=2.718281845).函数极限的四则运算法则：若lim f (x) a , lim g(x) b ,则 x x0x /(1) lim f xx x0a b ； (2) lim f x g xx xa b；(3)叫数列极限的四则运算法则：若lim an na,lim bnb ,则(1) lim annnbnlim c li

2、m an c a( c是常数) n n liman bna b(3) liman-b 0 (4) limc annnbnbnf(x)在x°处的导数(或变化率或微商)，,、y y .f (x0x) f(x0)f(x0)yxlxm0 lim。x.瞬时速度：s(t) lim- lim s(tUt).t 0 t t 0t瞬时力口速度：a v(t) lim v lim v(tt)-v() .t 0 t t 0tf(x)在(a,b)的导数：f(x) y 电竺 limlim f(x x) f (x).dx dx x 0 x x 0x函数y f(x)在点x0处的导数的几何意义函数y f(x)在点x0

3、处的导数是曲线y f(x)在P(x0,f(x0)处的切线的斜率f(x°),相 应的切线方程是y y f (&)(x刈).几种常见函数的导数(1) C 0 (C为常数).(2)(xn)nxn 1(n Q) .(3) (sin x) cosx . (cosx) sin x1 x x 1 exx x / xxx (4) (ln x) ； (log a ) Toga.(5) (e ) e ； (a ) a lna.xx导数的运算法则''''''u'uvuv(1) (u v) u v. (2) (uv) uv uv . (3) (

4、-) 2(v 0).v v复合函数的求导法则设函数u (x)在点x处有导数ux' '(x),函数y f(u)在点x处的对应点U处有导数 yu' f'(u),则复合函数y f( (x)在点x处有导数，且yx yu ux ,或写作fx( (x) f (u) (x).【例题解析】考点1导数的概念对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念1 3例1.£仁）是£J）x 2x 1的导函数，则f （ 1）的值是.3考查目的本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力2 2解答过程Q f (x) x2 2,

5、 f ( 1)12 3.故填3.例2.设函数f 一,集合M=x| f(x) 0,P=x| f'(x) 0,若MRP,则实数a的取值范围是()x 1A.(-8,1)b.(0,1)C.(1,+ oo)d. 1,+ oo)解答过程由口x 1考查目的本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力0,当a>1 时,1 x a;当a<1 时,a x 1./ / 一0.x a x 1 x a21x 1 x 1a 1.综上可得M至P时，a 1.考点2 曲线的切线(1)关于曲线在某一点的切线求曲线y=f(x)在某一点P (x,y)的切线，即求出函数y=f(x)在P点的导数就是曲线在该点的切

6、线的斜率(2)关于两曲线的公切线若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线典型例题1 21例3.已知函数f(x) -x3 -ax2 bx在区间1,1), (1,3内各有一个极值点. 322(I)求a 4b的最大值;(II)当a2 4b 8时，设函数yf (x)在点A(1, f(1)处的切线为l,若l在点A处穿过函数yf (x)的图象(即动点在点A附近沿曲线yf(x)运动，经过点 A时，从l的一侧进入另一侧)，求函数f(x)的表达式.(1,3内分别有一个极值点，所以思路启迪：用求导来求得切线斜率.解答过程：(I )因为函数f (x)1312 一 、-x3 -ax2 bx 在区间1,1)

7、,32_2f (x) x ax b 0在1,1), (1,3内分别有一个实根,设两实根为x1, x2 ( x1x2),则 x2 x14a4b，且 0 x2 x1 < 4于是2a 4b w 16 ,且当 Xi1, X2 3 ,即 a22, b 3时等号成立.故 a 4b的最大值是16.(II)解法一：由 f (1) 1a b知f(x)在点(1, f(1)处的切线l的方程是2 1y f (1) f (1)(x 1),即 y (1 a b)x 一 一a,3 2因为切线l在点A(1, f(x)处空过y f (x)的图象,所以g (x)f (x) (1 a b)x1a在 x 21两边附近的函数值异

8、号，则x 1不是g(x)的极值点., 、1 3而 g(x) x 312,”，、2 1 厂 axbx (1 a b)x 一a ,且23 2,、2，/),、2/g (x) x ax b (1 a b) x ax a 1(x 1)(x 1 a).1 a都是g(x)的极值点.1 a,即 a 2,又由 a2 4b 8,得 b 1,故 f(x)解法二：同解法一得 g(x)f(x) (1 a2 1b)x 二二a3 212-(x 1)x 3(13a3(2 -a)因为切线l在点A(1, f(1)处穿过yf(x)的图象，所以 g(x)在x1两边附近的函数值异号，于是存在m1, m2(m11m2).当m1x1 时，

9、g(x) 0 ,当 1 xm2时，g(x)0;或当m1x 1 时，g(x) 0 ,当 1x m2 时，g(x) 0.设 h(x) x213ax 2 3a ,则22当 m1 x 1 时，h(x)0 ,当 1 x m2 时，h(x) 0 ；或当 m1 x 1 时，h(x) 0,当 1 x m2时，h(x) 0 .由h(1) 0知x 1是h(x)的一个极值点，则h(1) 2 1 13a20,-1321 ,故 f (x) - x x x . 34y 8 0垂直，则l的方程为(x 4y 5 0x 4y 3 04,而 y 4x3,所以 y x4在(1 ,所以a 2,又由a2 4b 8 ,得b例4.若曲线y

10、 x4的一条切线l与直线xA. 4x y 3 0B.C. 4x y 3 0D.考查目的本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力解答过程与直线x 4y 8 0垂直的直线l为4x y m 0,即y x4在某一点的导数为 1)处导数为4,此点的切线为4x y 3 0.故选A.例5 .过坐标原点且与 x2+y2 -4x+2y+5=0相切的直线的方程为 ()2A.y=-3x 或 y=1x B. y=-3x 或 y=-lx C.y=-3x 或 y=-1 x D. y=3x 或 y=1x 3333考查目的本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力解答过程解法1 :设切线的方程

11、为y kx, kx y 0.p225一、，乂 x 2 y 1-,圆心为 2, 1 .22k 1521.,3k 8k 3 0. k -,k 3.k2 1-2'311 y 一 x,或 y3x.3故选A.厚德启智心怀天下解法2:由解法1知切点坐标为(2，2)，3 12,22(x/Vxki故选(x 2)22) 2x 2/Vx0,/Vx1(2,3x, y32)1一x.33,k2/Vx3 1(2,2)A.例6.已知两抛物线C1x22xQ : yx2a, a取何值时C1, C2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程思路启迪：先对C1 : y x2X,C2a求导数.解答过程：函数yx2 2x曲线C1

12、在点P( x1,x12 2x1 )处的切线方程为，2y (X2x1 ) 2(x1 2)(xx1),即2(xi1)x2x1(n )若对于任意的 x 0,3,都有f (x)2c成立，求c的取值范围.2x2(x x2)即曲线C1在点Q(x2, x22 a)的切线方程是y ( x2 a)y2x2x x22 a若直线l是过点P点和Q点的公切线，则式和式都是l的方程，故得x1 1 x2, x12 x22 1,消去 x2 得方程，2x12 2x1 1 a 0若匕=4 4 2(1 a) 0,即a 1时，解得x 此时点P、Q重合. 22，当时a 1，C1和C2有且只有一条公切线，由式得公切线方程为y x 124

13、考点3导数的应用中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于 函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题Z合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题：1.1. 函数的解析式；2.求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值(最值)；5.构造函数证明不等式.典型例题例7.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小 值点()A

14、. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个考查目的本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力 解答过程由图象可见，在区间(a,0)内的图象上有一个极小值点.故选A.1及x 2时取得极值.例 8 .设函数 f (x) 2x3 3ax2 3bx 8c 在 x(I)求a、b的值;思路启迪：利用函数f (x)2x33ax23bx8c在x 1及x2时取得极值构造方程组求a、b的值.高中数学导数第4页共14页厚德启智心怀天下2斛答过程：(I) f (x) 6x 6ax 3b ,因为函数f (x)在x 1及x 2取得极值，则有 f(1) 0, f(2) 0 .H 6 6a 3b 0,即24

15、12a 3b 0.解得a 3, b 4 .(n)由(i)可知， f(x) 2x3 9x1y' 2x 4 2x3 12x 8c,f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2).当 x (01)时，f (x) 0;当 x (1,2)时，f (x) 0；当 x (2,3)时，f (x) 0 .所以，当 x 1 时，f(x)取得极大值 f(1) 5 8c,又 f(0) 8c, f (3) 9 8c.则当x 0,3时，f(x)的最大值为f(3) 9 8c.因为对于任意的x 0,3 ,有f(x) c2恒成立,所以 9 8c c2,解得 c 1或c 9 ,因此c的取值范围为(，1)U(9,

16、).例9.函数y V24飞的值域是 .思路启迪：求函数的值域，是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解，也可以利用函数的 单调性求出最大、最小值。此例的形式结构较为复杂，采用导数法求解较为容易。解答过程：由2x 4 0得，x 2,即函数的定义域为2,).x 3 0高中数学导数第18页共14页2.x 3.2x 4 ,2.2x 4 x 3又2x 3 2x 42x 81 -)2.x 3 2x 4当 x 2时，y' 0,y v2x 4 Vx3 的值域是1,).函数y <2x 4 Jx 3在(2,)上是增函数，而f ( 2)1 ,例10.已知函数f x 4x3 3x2c

17、os旦cos，其中x R,为参数，且02 .x x ux cos cos16(1)当时cos 0,判断函数f x是否有极值；(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数的取值范围；(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数，函数f x在区间2a 1,a内都是增函数，求实数 a的取值范围.解不等式等基础知识，考查综合分析和解决考查目的本小题主要考查运用导数研究三角函数和函数的单调性及极值、 问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法 解答过程(I)当cos 0时，f(x) 4x3,则f(x)在(，)内是增函数，故无极值(n)f'(x) 12x2 6xcos ,令 f'(x) 0，得

18、为 0,x2 cos 2由(I ),只需分下面两种情况讨论.当 cos 0时，随x的变化f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:x(,0)0(0,cos-) 2cos2容，)2f'(x)+0-0+f(x)极大值极小值因此，函数f(x)在x 8s处取得极小值f(cos) ,且f(cos)1cos39222416要使f( 2 )0,必有1/2一 cos (cos 43) 0 , 可得 0 cos 42由于0 cos立，故或3-11.26226错误!未找到引用源。当时cos 0,随x的变化，f'(x)的符号及f(x)的变化情况如下表:xcos(,)cos2cos(2 )0

19、(0,)f'(x)+0-0+f(x)极大值极小值因此，函数f(x)在x 0处取得极小值f(0),且f (0) _3cos16综上，要使函数f (x)在(若f (0) 0,则cos0 .矛盾.所以当cos 0时，f (x)的极小值不会大于零.(3土).26)内的极小值大于零，参数 的取值范围为(_ _)6 , 2(错误!未找到引用源。)解：由(错误!未找到引用源。)知，函数f(x)在区间()与(竺_,)内都是增函数。由题设，函数f (x)在(2a* 2a 1 aL a 01,a)内是增函数,则2a 1或2a 1a须满足不等式组a1一 cos2由(错误!未找到引用源。)，参数时 (_ _)

20、(3_L)时，0 cos6 , 22,6史.要使不等式2a 1 2Icos关于参数恒成立,2必有 2al -1,即 4一3 a. 48综上，解得a 0或4也a 1. 8所以a的取值范围是(,0) 4用1).例11.设函数f(x)=ax (a+1)ln( x+1),其中a -1 ,求f(x)的单调区间.考查目的本题考查了函数的导数求法，函数的极值的判定，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力解答过程由已知得函数f(x)的定义域为(1,)，且f'(x)变(ax 1(1)当1 a 0时，f'(x) 0,函数f(x)在(1,)上单调递减，1),(2)当 a 0时，由 f&#

21、39;(x) 0,解得 x 1. af'(x)、f(x)随x的变化情况如下表x(1,-) a1a1J,) a1f (x)一0+f(x)极小值从上表可知f(x) 0,函数f(x)在(1,1)上单调递减.1 时(-,严，a综上所述：当1f'(x) 0,函数 f (x)在(1, a 'a 0时，函数f(x)在(1,)上单调递增.)上单调递减.a 0时，函数f (x)在(1,1)上单调递减，函数f(x)在(1,)上单调递增. aa'例12.已知函数f(x)ax3 bx2 cx在点茂处取得极大值5,其导函数y f'(x)的图(1,0)(2,0),如图所示.求:(I

22、)x0的值;象经过点(n)a,b,c的值.解答过程解法一：(I)由图像可知，在考查目的本小题考查了函数的导数，函数的极值的判定，闭区间上二次函数的最值，函数与方程的转化等基础知识的综 合应用，考查了应用数形结合的数学思想分析问题解决问题的能力,1 上 f, x 0，在 1,2 上 f' x 0，在 2, 上 f x 0,(1,2)上递减,故f (x)在(-,1) , ( 2, + )上递增，在因此f x在x 1处取得极大值，所以x0(D) f (x) 3ax2 2bx c,由 f(1) =0, f(2) =0, f( 1) =5,3a 2b c 0,12a 4ba b cc 0,5,解

23、得a 2,b9,c 12.解法二：(I)同解法(口)设 f'(x) 又 f (x) 3ax2 所以a m,b3m(x 1)(x2bx c,3-m,c 2m222) mx3mx2m,m 3 f (x) x 33 :一 mx22|:2mx,由 f(1)3-m m 2m25,得m6,所以a 例13.2,b9,c 12设x 3是函数f(I )求a与b的关系式x(用ax b e3表示b)，x x R的一个极值点.并求f x的单调区间；a2 25ex.若存在41, 20,4 使得 f 1 g 21成立，求a的取值范围.考查目的本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问

24、题的能力解答过程(I) f '(x) =- x2+ (a-2)x+b-a e3 x,由 f'(3)=0,得 一32+(a 2)3 + b a e3 3= 0,即得 b = -3-2a,则 f'(x) =x2+(a 2)x3 2a a e3 x=-x2+(a-2)x-3-3a e3 x= (x3)(x+a+1)e3 x.令f'(x) = 0,得xi=3或x2=a1,由于x= 3是极值点，所以 x+a+ 1 w 0 ,那么 a w 4.当 a< 4 时，x2>3 = xi,则在区间(一00,3)上，f '(x) <0 , f (x)为减函数

25、；在区间(3, -a-1)上，f'(x)>0 , f (x)为增函数；在区间(一a 1 , +°°)上，f '(x) <0 , f(x)为减函数.当 a> 4 时，x2<3 = x1，则在区间(8, a1)上，f '(x) <0 , f (x)为减函数；在区间(a-1 , 3)上，f'(x)>0 , f (x)为增函数；在区间(3 , +°°)上，f '(x) <0 , f (x)为减函数.(n)由(I)知，当 a>0时，f (x)在区间(0, 3)上的单调递增，在区

26、间(3, 4)上单调递减，那么f (x)在区间0,4上的值域是min(f (0) , f (4) ), f (3),而 f(0)= (2a + 3) e3<0, f (4) = (2a+13) e>0, f(3)=a+6,那么f (x)在区间0, 4上的值域是(2a+3) e3, a+6.又g(x) (a2 25)ex在区间0, 4上是增函数，且它在区间0, 4上的值域是a2+学，(a2+25) e4,由于(a2+ 25) ( a + 6)44= a2-a+ 1 = ( a 1)2>0,所以只须仅须 一 、a ,42(a2+ 25 ) -(a + 6)4<1 且 a&g

27、t;0,解得 0<a<_3.2故a的取值范围是(0,0).213例14已知函数f (x) ax32_bx (2 b)x 1在x x1处取得极大值，在xx2处取得极小值，且0 X 1 x22.(1)证明a 0；(2)若z=a+2b,求z的取值范围。解答过程求函数f (x)的导数f (x) ax2 2bx 2 b .(I)由函数f (x)在x x处取得极大值，在 xx2处取得极小值，知X, x2是f (x) 0的两个根.所以 f (x) a(x x1)(x x2)当x x1时，f(x)为增函数,(n)在题设下,0 X 1 x2 2等价于f (0) 02 b 0f (1) 0即 a 2b

28、 2 b 0f (2) 0 4a 4b 2 b 02 b 0化简得a 3b 2 0 .4a 5b 2 0此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线:2 b 0, a 3b 2 0,4a 5b 2 0.所围成的 ABC的内部，其三个顶点分别为:,、一一、一 16z在这三点的值依次为 一 ,6,8 .7所以z的取值范围为,8 .7小结：本题的新颖之处在把函数的导数与线性规划有机结合.考点4导数的实际应用建立函数模型，利用典型例题例15.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？2：1,问该长方体的长、宽、高考查目的本小题主要考

29、查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力解答过程设长方体的宽为18 12xh 4.5 3x(m)4故长方体的体积为x (m),则长为2x(m),高为 0< xv 3 .222V(x) 2x (4.5 3x) 9x6x3(m3)3 (0< xv 2).从而 V(x) 18x 18x2(4.53x) 18x(1x).令 V' (x) =0,解得 x=0(舍去)或x=1,因止匕x=1.当 0vxv1 时，V' (x) >0;当 1vx<2 时，V' (x) < 0,3故在x=1处V (x)取得极大值，并且这个极大值

30、就是V (x)的最大值。从而最大体积 V=V' ( x) =9X12-6X13 (m3),此时长方体的长为 2 m ,高为1.5 m.答：当长方体的长为 2 m时，宽为1 m ,高为1.5 m时，体积最大，最大体积为 3 m3。例16.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度 x (千米/小时)的函数解析式可以表示为：y 1 x3 _3_ x 8(0 x 120)已知甲、乙两地相距 100千米.12800080(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

31、考查目的解答过程本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力(I)当x 40时，汽车从甲地到乙地行驶了100 25小时，40要耗没(128000403 40 8) 2.5 17.5 (升) 80答：当7车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 升。(II)当速度为x千米/小时时汽车从甲地到乙地行驶了 100小时，设耗油量为h(x)升，依题意得 xh(x) (1x31280003、x 8).80100x12x 1280800 15,、(0 x 120), x 4x h'(x) 640令 h'(x) 0,得 x 当 x (

32、0,80)时，800 x3 803 ,、-(0 x 120).x2640x280.h'(x) 0,h(x)是减函数；当 x (80,120)时，h'(x) 0,h(x)是增函数.当x 80时，h(x)取到极小值h(80) 11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值 .答：当7车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25升.【专题训练】一、选择题1 . y=esinxcos(sin x),贝U y' (0)等于()A.0B.1C.-1D.22 .经过原点且与曲线y=x 9相切的方程是()x 5A.x+y=0 或 _

33、x_+y=025C.x+y=0 或 _x_ y=025B. x y=0 或 _x_ +y=025D. x y=0 或 _x_ y=0253 .设 f(x)可导，且 f' (0)=0，又 limflxl = 1，则 f(0)()x 0 xC. 一定是4.设函数A.可能不是f(x)的极值 f(x)的极小值fn(x)=n2x2(1 x)n(n 为正整数),B.一定是f(x)的极值D.等于0则fn(x)在0,1 上的最大值为()A.0B.1 C.(12 )n D. 4( n )n 12 nn 25、函数 y=(x2-1)3+1 在 x=-1 处()A、有极大值 B、无极值 C、有极小值D、无法

34、确定极值情况6.f(x)=ax 3+3x2+2 , f' (-1)=4 ,贝U a=()A、10 B、13C、16D、2933337.过抛物线y=x2上的点M (1 1)的切线的倾斜角是()2 1 4A、300B、450 C、600D、9008 .函数f(x)=x 3-6bx+3b在(0,1)内有极小值，则实数 b的取值范围是()A、(0, 1) B、(-8, 1) C、(0, +oo) d、(0, 1)29 .函数y=x3-3x+3在2 5上的最小值是()2 2A、89 B、1C、33 D、58810、若 f(x)=x 3+ax2+bx+c ,且 f(0)=0 为函数的极值，贝U (

35、)A、cw0 B、当a>0时，f(0)为极大值C、b=0 D、当a<0时，f(0)为极小值11、已知函数y=2x 3+ax2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是 ()A、(2, 3) B、(3, +8)C、(2, +oo)D、(-巴 3)12、方程6x5-15x4 + 10x3 + 1=0的实数解的集合中()A、至少有2个元素B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素、填空题13 .若 f' (xo)=2, lim f(x0 k) f(x0) =. k 02k14 .设 f(x)=x(x+1)(x+2) (x+n),贝U f' (

36、0)=.15 .函数 f(x)=log a(3x，5x 2)(a >0 且 a w 1)的单调区间 .16 .在半彳至为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时它的面积最大.三、解答题17 .已知曲线C: y=x33x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y°)(x0W 0),求直线l的方程及切点坐标18 .求函数 f(x)=p 2x2(1-x) p(p C N+),在0, 1内的最大值.19 .证明双曲线xy=a 2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数20 .求函数的导数y=(x2 2x+3) e2x；(2)y=3x .1 x21 .有一个长度为

37、5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.22 .求和 Sn=1 2+22x+32x2+- - +n2xn 1,(xw0,nCN*).23 .设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定 a的取值范围，并求其单调区间.24 .设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由 .25 .已知a、b为实数，且b>a>e,其中e为自然对数的底，求证： ab>ba.26 .设关于x

38、的方程2x2 ax 2=0的两根为a、§ ( a V § )，函数f(x)= 4x a .x2 1(1)求 f(a ) f( B)的值；(2)证明f(x)是a , 3 上的增函数；(3)当a为何值时，f(x)在区间a , B 上的最大值与最小值之差最小？【参考答案】一、1.解析：v =esinx cosxcos(sin x) cosxsin(sin x) ,y ' (0)= e0(1 0)=1.答案：B2.解析：设切点为(x0,y。),则切线的斜率为k=2,另一方面，V, =(8>9)'=一2,故 xcx 5 (x 5)2y'(x0)=k,即4

39、y0x09 或x02+18x0+45=0 得x°=3,y°=15,对应有y°=3,丫。出=15 9 3,因此得两个2' 二(x0 5)x0 xg(xg 5)15 5 5切点A(3,3)或B(15, W),从而得y' (A尸 _4_ =1及y，(B尸 4 工，由于切线过原点，故得切线：lA：y二5( 3 5)3( 15 5)225一x 或 l：y= _x_25答案：A3.解析：由 lim f (。) = 1，故存在含有 0 的区间(a,b)使当 xC (a,b),xw。时 f® <0,于是当 x C (a,0)时 f' (0)

40、 > 0,当 x C (0,b)时，f' (0) <0,这样f(x)在(a,0)上单增，在(0,b)上单减.答案：B4.解析：f' n(x)=2xn2(1 x)n n3x2(1 x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令 f' n(x)=0,得 x=0, x2=1, x3= 2 ，易知 2 nfn(x)在x=_2_时取得最大值，最大值2 n答案：Dfn(_2_)=n2(_2_)2(1 2 n 2 n)n=4 .(二_)n+12 n5、B 6、A 7、B 8、9、 B 10、 C11、B 12、二、13.解析：根据导数的定义:f'(Xo)= |

41、im f(xo ( k) k okf (xc)(这时 xk)limf(xo k)f(xo)limk 01lim2 k 02kf(xc k) f(xc)1 f(xc k) f(xc)；21-f (xc)21.答案：114 .解析：设 g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则 f(x)=xg(x)，于是 f' (x)=g(x)+xg' (x),f (0)=g(0)+0 - g' (0)=g(0)=1 - 2 - n-n=n答案：n!15 .解析：函数的定义域是 x>1 或 xv2,f' (x)=logae .(3x2+5x2)' = (6x 5)

42、logae,33x2 5x 2(3x 1)(x 2)若 a>1,则当 x> 1 时，logae>0,6x+5>0,(3x1)(x+2)>0,，f' (x)>0,.,.函数 f(x)在(1,+ 8)上是增函数，xv2 时, 33f' (x)<0.函数f(x)在(一8,2)上是减函数.若0vav1,则当x>1时，f' (x)<0,，f(x)在(1,+ 8)上是减函数，当xv 2时，33f' (x)>0,，f(x)在(一8,2)上是增函数.答案：( 8,2)416.解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为

43、h,那么h=AO+BO=R+jKV,解得x2=h(2R h),于是内接三角形的面积为/ /I'S=x - h=J(2Rh h2) h J(2Rh3 h4),1/1从而 S 1(2Rh3 h4) 2(2Rh3 h4),1, 2,、l(2Rh3 h4) 2(6Rh2 4h3) h (3R 2h)2 (2R h)h3令S' =0,解得h=_3R,由于不考虑不存在的情况，所在区间（0,2 R）上列表如下:2h(0, 3R) 23R 2d,2R) 2S'+0一S增函数取大值减函数由此表可知，当x=3R时，等腰三角形面积最大. 2答案：3R 2三、17.解：由 l 过原点，知 k=

44、 y_(x0w 0),点(x0,y0)在曲线 C 上，Yo=X03- 3xo2+2xo, Xoy_ =xo23xo+2,y ' =3x2 6x+2, k=3xo2 6xo+2Xo又 k=亚，3xo2 6xo+2= Xo2 3x0+2,2 xo2 3x0=0, xo=O 或 xo=_3 .Xo2由 xw 0,知 Xo= 3, 2yo=( 3)3 3( 3)2+2 .3 = -3.'. k=_yo=- 1.2228 Xo 4l 方程 y = - lx 切点(3, -3).42818. f'(x) p2x(1 x)p 12 (2 p)x,令 f' (x)=0 得,x=

45、0 , x=1 , x= 2,在0, 1上，f(0)=0f=02 pf( ) 4(-p-)p 2 .2 p 2 p(X)max 4(-p-)2 2 pP (xoyo)19.设双曲线上任一点2 a k y|x Xo- ,x 0切线方程y y02a /、xx0) ,x0令 y=0 ,则 x=2x2aX0c 1S 2|x|ly|2a220.解：(1)注意到y>0,两端取对数，得 lny=ln(x2 2x+3)+ln e2x=ln(x2 2x+3)+2 x,(x2 2x 3)y -x22x 3一2一、2(x x 2)2x 2 2 x2 2x 3一2一、2(x x 2) , 2-(xx2 2x 3

46、2 2(x2 x 2) x2 2x 3.2x2x 3) e .22x2(x x 2) e .(2)两端取对数，得ln|y|=1 (ln|x| ln|13x|),两边解X求导，得1(1) 3 x 1 x113 x(1 x)11,3 x(1 x)13 3x(1 x) 1 x如解：设经时间t秒梯子上端下滑s米，则s=5 v'25 9t2,当下端移开1.4 m时，t0 = ? 工 315又 s，=- 1 (25 9t2)212 - (-9 - 2t)=911L225 9t所以 s ' (t0)=9 x 715n n 11 )x nx(1 x)21=0.875(m/s).7 225 9 ()21522 .解：(1)当 x=1 时，Sn=1 2+22+32+ +n2=1n(n+