空间向量(全方位无死角复习资料,可用到高三)

1、 公式的来源与推导、概念总结例1正四棱柱中，底面边长为6，侧棱长为4，、分别为棱、的中点（1）求证：平面平面（2）求点到平面的距离1 概念：什么是点到平面的距离？过该点做已知平面的垂线段，所作垂线段的长度就叫做点到平面的距离（如下图所示）2怎样用向量表示点到平面的距离？如图，PO于O，A是平面内任意一点，点P到平面的距离设为d，为平面的一个法向量，则有：3怎样用坐标法求点到平面的距离？解答例1第2问如图建立空间坐标系，分析：要求点到平面的距离，由公式：，只要求出的坐标和平面的一个法向量坐标，坐标很好求，因为坐标为：（0，0，4），坐标为（6，6，4），所以坐标为：（6，6，0）；下面求平面的一

2、个法向量坐标分析：如何求平面的一个法向量坐标？基本思想：初中的数学思想：“设、列、求”。即设平面的一个法向量坐标为：(，y，z)，然后列出它们的方程，最后解方程求出x、y、z根据法向量的含义，法向量和平面垂直，故法向量和平面内任何一条直线都垂直，根据直线和平面垂直的判定定理，知道只要和两个不共线的向量垂直即可，在本题中可推出法向量，所以，由于坐标为（6，6，4），E坐标为（3，6，0），F坐标为（6，3，0），所以的坐标为：（，0，），的坐标为：（0，），利用坐标法，得到：，由于法向量有长有短，方向可以朝上，还可以朝下，所以法向量有无数多个，但法向量不可以是零向量，故不能取0，为简单起见，取，

3、得：，所以法向量=，3）代入公式，得点到平面的距离为：例2直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于（ ）A.30° B. 45° C. 60° D. 90°1 概念：什么是两条异面直线所成的角？如图：、是两条异面直线，O是空间任意一点，过点O作，作，、是两条相交直线，它们构成四个角，我们把那个不大于90°的角称为两条异面直线所成的角。2 怎样用向量表示两条异面直线所成的角？任何直线都有方向向量，设直线的方向向量为，直线的方向向量为，、两条异面直线所成的角为，向量、的夹角，有可能是锐角，有可能是直角，也有可能是钝角，当，为锐角或直角时， ，当，为

4、钝角时， 所以， 3怎样用坐标法求两条异面直线所成的角？解答例2：如图建立空间坐标系，设异面直线与所成的角为，则，设AB=，易求点B坐标：（，点坐标：，），点A坐标：（0，0，0），点坐标：，），所以，），） 故选C例3如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，.（1）求直线与平面所成的角的大小；（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.概念讲解1什么是直线和平面所成的角？如图：直线PA是平面的一条斜线，PO，O为垂足，A为斜足，OA为PA在平面内的射影，我们把斜线与其射影所成的锐角叫做斜线和平面所成的角。2 怎样用向量表示直线和平面所成的角？见右下图，设直线PA和平面所成的角为，则，而可

5、看成向量和向量的夹角，为平面的一个法向量，显然与向量共线，故法向量和向量的夹角与向量和向量的夹角相等或互补，即，或，所以 ， 3怎样用坐标法求直线和平面所成的角？讲解例3的第（1）问如图建立空间坐标系，设直线与平面所成的角的大小为，平面是平面BCD的一个法向量故点A坐标：（0，0，）点B坐标：（0，0，0）点M坐标：（，）（注明：先作MOCD于O，过点C作CEBD于E，CGy轴于G，过点O作OFBD于F，OHy轴于H，再利用坐标定义求出点M坐标）于是，（0，0，） 1. 什么是二面角？（理科必考）两个平面相交，构成四个“角”，我们把其中一个移出（见右图），得到的空间图形叫做二面角。2什么是二面

6、角的平面角？在二面角棱上任取一点O，过O在平面内作OA在平面内作OB，则AOB就是二面角的平面角3什么是二面角的大小？就是二面角平面角的大小。4怎样用向量表示二面角平面角？如图：PA平面，PB平面，则PA，PB，所以平面PAB，设平面PAB向四周延展后交于点C，并连CA、CB，则有：CA，CB，故ACB是二面角平面角；另一方面，四边形PBCA内角和等于360°，而CBPCAP=90°，所以二面角平面角ACB与APB互补作向量PB，向量PA，则APB等于向量PB、向量PA的夹角 设、分别是平面、的法向量，它们的夹角，与，相等或互补设二面角平面角的大小为，则，或，5怎样用坐标法

7、求二面角的大小？解答例3的第（2）问求平面与平面所成的二面角的正弦值.分析：容易知道平面BCD的一个法向量为=（0，0，1）所以只要求平面ACM的法向量坐标即可。设平面ACM的法向量，），由，可得·=0，·=0，而A（0，0，），M（，），C，）， ，所以消，得取，得，），平面与平面所成的二面角的正弦值为。例4如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点是棱的中点.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的平面角的余弦值. 本例试用坐标法和向量工具证明直线和平面垂直（1）证明：如图建立空间坐标系，设ADA（0，0，0），E（0，），P（0，0，）B（0，0），C（，0）（0，），（0，（，0，0）AEPB，AEBC而 PBBCB平面（2）平面，（0，）平面BEC的一个法向量，1，1）设平面DEC的一个法向量，）E（0，），C（1，0），D（1，0，0），），0）0，1，0）由， ，得：取，得，0，），二面角的平面角为钝角二面角的平面角的余弦值为。例5如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，为上的点，平面。（1） 求平面与平面夹角的正弦值；（2） 求点到平面的距离。解：平面平面，作POAB，则PO平面，以O为坐标原点建立空间坐标系，见右下图设PO，则P（0，0，），A（0，0），B（0，1，0）， C