套筒天线的电磁特性分析

1、在现代化通信和遥感系统中，套筒天线因其频带宽、髙增益、结构简单、 馈电容易、方位面全向、纵向尺寸小等优点，得到了较为广泛的应用。套筒天 线的理论研究日益受到人们的重视，本文对安装在有限圆盘的套筒天线进行了 分析。本文首先介绍了电磁辐射理论，接着详细介绍了计算电磁辐射的一种重要 方法一矩量法，然后对套筒天线原型一单极子天线进行研究，着重介绍了将基 于频域的矩量法应用于套筒天线，计算出电流数据。并在基于有限元法的商业 软件HFSS建立套筒模型，设计了一款驻波比小于2、频率围在100MHz到250MHz 的天线。对比两种方法计算结果，其结果大致吻合，由此得到套筒天线的增益 方向图，通过此方向图可以计

2、算天线的各项指标。关键词：矩量法套筒天线HFSS页脚AbstractIn modern communication and remote sensing system, the sleeve antenna has been widely used because of its advantages such as frequency bandwidth, high gain, simple structure, easy feeding, omni azimuth and small longitudinal size The theoretical research of the slee

3、ve antenna has been paid more and more attention, and the analysis of the sleeve an ten na installed on the finite disk is madeThis paper first introduces the theory of electromagnetic radiation, and then introduces in detail an important method of calculating electromagnetic radiation-moment method

4、, and then the sleeve antenna prototype-monopole an ten na research, focusing on the application of the f requency-doma i n method based on the rectangular antenna, the calculation of current data In this paper, a sleeve model is built in the commercial software HFSS based on the finite element meth

5、od, and a antennas with a standing wave ratio of less than 2 and a frequency range of 100MHz to 250MHz are designed. By comparing the results of the two methods, the gain directi on of the sleeve ante nna is obtained, and the parameters of the antenna can be calculated by this direction mapkey words

6、: the Method of Moments Sleeve anterma HFSS目录第一章绪论1第二章电磁辐射理论基础32. 1电磁场的基本方程一一麦克斯韦方程组32. 2位函数42.3格林函数42.4电磁辐射理论52.5唯一性定理和镜像原理62. 5. 1唯一性定理62.5.2镜像定理62.6天线的基本概念6第三章矩量法103. 1概述103.2矩量法的步骤103. 3矩量法的数学基础一加权余量法103.4基函数人的选取113. 5权函数”的选取123.5矩量法的误差分析和发展13第四章对单极子天线的研究154.1单极子天线的数学模型和波克林顿积分方程154. 1. 1矢势方程154.

7、1.2任意形状截面柱形天线的波克林顿积分方程164.1.3单极子天线波克林顿积分方程及其近似解174.2计算仿真及结果194. 3结论20第五章套筒天线的研究215.1套筒天线的理论分析215. 2通过MATLAB计算电流参数235.3使用HFSS进行验证25结束语28词29参考文献30附件31第一章绪论随着现代通信技术的迅猛发展，无线通讯越来越广泛，越来越多地应用于 国防建设、经济建设以及人民生活等领域。在无线通信系统中，需要将来自发 射机的导波能量转变为无线电波，或者将无线电波转变为导波能量。用来辐射 或接收无线电波的裝置称为天线。天线在无线通讯中有着极其重要的作用，它 的性能的好坏直接影

8、响到通讯质量的优劣。因此，对天线辐射特性的研究有着 极其重要的作用。天线的求解问题经常使用几种技术，通常来说这些技术可以分为实验、解 析和数值三大类。实验类方法通常是昂贵、费事、甚至是危险的。对于大多数 可以解析地求解的问题已经被求解了，直到20世纪40年代，才使用变量分离 法和积分方程求解了大多数电磁问题。应用解析技术，需要高度的创新、经验 和努力，又由于几何结构的复杂性，这些问题的特点是要么解析解十分棘手， 要么是其解析解根本不存在，因此只能尽可能寻找其近似解。随着高速计算机的出现，数值解得到极大的发展，数值解就是用过数值的 方法来逼近解析解。一种解决各种电磁场问题，包括天线的有效、恰当的

9、计算 机仿真，由现代快速计算机技术和先进的数值分析技术组成。这种仿真技术能 使天线设计师在桌面上是目标天线更形象化；在许多情况下，可提供比实验室 更多的信息，且成本低，效率高。对于各种数值计算方法。它们是将原连续数学模型转换成等价的离散数学 模型。取决于不同的数学涵，目前在电磁场数值分析中常用的数值计算方法由： 应用于微分方程型数学模型的有限差分法、有限元法和蒙特卡洛法。应用于积 分方程型数学模型的模拟电荷法、矩量法和边界元法，以及基于直接积分运算 关系式的数值积分等。此外，还有另类数值计算方法的互相组合，如微分和积 分组合型数学模型的单标量磁位法、双标量磁位法等，进一步拓展了数值计算 方法在

10、工程实践中的应用。其中，矩量法是分析各种电磁散射与辐射问题的一个重要方法o Harrington 分别在1968年发表论文）之后，在电磁中应用矩量法变得普通起来。它的基本 思想是将一个积分或微分方程化为矩阵方程，即将积分或微分方程中待求函数 化为有限求和，从而建立代数方程，然后通过求解该矩阵方程，从而得的一个 误差最小的解。矩量法成功地应用于各种实际中人们感兴趣的电磁问题，例如 细导线元和阵列的辐射、散射问题、微带线和有耗结构的分析、非均匀土壤上 波的传播问题以及天线波束方向图等。在现代化通信和测向系统中，需要宽频带的天线作为阵列单元，人们发现 仅仅通过在普通单极子天线的外面罩上一个接地的金属

11、圆筒，就能极改善单极 子的工作特性，拓宽工作频带。因此套简天线因其频带宽、高增益、结构简单、 馈电容易、方位面全向、纵向尺寸小等优点，具有广泛的应用前景。许多学者 对这种特殊的单极子天线作了大量的研究，Kingl2i首先对其进行理论分析，之后 Taylor使用一种复杂的变量技术对King的模型进行验证，并取得一致的效果。 由于他们对于套筒和单极子上的电流分布应用了镜像以及叠加理论，并没有考 虑振子和套筒半径的不连续性，因此，有一定的误差。本文首先回顾了电磁辐射理论，介绍了基础电磁场知识、天线的基本参数。 再引入矩量法、对单极子天线的辐射特性进行研究，最后用首先采用基于频域 的矩量法，使用MAT

12、LAB计算得到电流分布，从而计算天线的驻波比（VSWR）, 辐射方向图。再借助商业软件建立同样的模型，得到结果基本一致，从而验证 了矩量法作为研究电磁问题的数值方法之一，在分析天线的散射与辐射中能得 到较好的结果。第二章电磁辐射理论基础2. 1电磁场的基本方程一一麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是宏观电磁场满足的总方程，真空或介质中的宏观电磁场 的麦克斯韦方程组为：anVxE-(2. 1. 1)dtdDdt(2. 1.2)V-£) = yO(2. 1.3)VB=0(2. 1.4)式中，E为电场强度；H为磁场强度；Q为电位移矢量；丿为体电流密度；p为 体电荷密度。对于线性媒质D = eEJ

13、 =aE(2. 1. 5)B=pH式中，£、。、"分别表示媒质的介电常数、电导率和磁导率。只有在线性 且各向同性媒质的情况才是简单的常数。麦克斯韦方程组描述了场源激发的场 的一般规律，为了全面分析电磁场，还需要电荷守恒定律V-J=-(2.1.6)dt上式体现了时变电荷p和全电流丿之间的电流连续性关系，上式可由式2.1 中第二个和第三个推导得到。图2. 1两种媒质交界面在电磁问题中要涉及不同参数媒质所构成的临边区域，把电磁场矢量E、 D. B、H在不同媒质分界面上各自满足的关系称为电磁场的边界条件。为了 使得到的边界条件不受到坐标系的限制，可将场矢量在分界面上分解为与分界 面

14、垂直的法向分量和平行于分界面的切向分量：nxEj -nxE2 =0nxHj -nxH2 =Js(2. 1.7)式中，表示为分界面的单位法线矢量，方向从媒质2指向媒质1；人为面传导 电流密度。若媒质2为一个理想导体，理想导体的电导率为无穷大，则边界条件为nxEj =0(2. 1.8)nxHj = Js tl Dl =p n B =0在分析电磁问题时，给予一定的激励，应用正确的边界条件，求解麦克斯 韦方程组。但通过直接求解微分方程或者积分方程不易求解。2. 2位函数在时变电磁场的情况下，通过引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂 问题的分析在求解过程中得到简化。由于磁场B的散度恒等于零，即V B=

15、O,因此可以把磁场看成为一个矢 量函数A的旋度：(2. 2. 1)B = VxA式中的矢量函数A称为电磁场的矢量位。 将式（2.2. 1）带入（2. 1. 1）可得：(2. 2.2)上式表明E + 是无旋的，故可以用一个标量卩的梯度来表示，即(2. 2.3)式中的标量函数卩称为电磁场的标量位。所以得到电场强度根据矢量分析的亥姆霍兹定理，仅当其旋度和散度给定时，一个矢量才能 唯一地被定义，若设定(2. 2.4)上式为洛伦兹条件。对（224）取梯度后带入式（2. 2. 3）可得:(2. 2. 5)电磁场的矢量位A只和电流密度有关，如此便建立电场和电流的关系。2. 3格林函数格林函数，又称源函数或影

16、响函数，是由线性边值问题中得到的核函数,它构成了微分算子和积分方程之间的本质关系。格林公式又提供了处理偏微分 方程中的激励项（即算子方程Uf）= g，激励项g）的一种方法。换而言之， 它通过将非其次问题转换为齐次问题，对求解非齐次边值问题。（2. 3. 1）为了通过格林公式得到由源的分布所产生的场，需要寻找源的每一部分对场所 产生的影响，然后对它们求和。如果G（r,/）为由位于广'位置的单元源，在观察 点厂所产生的场，则由分布为g（"'）的源，在r处所产生的场为乘积函数在源所占据的区域上的积分，这里，G代表格林公式。这是一个最常用的格林函数，利用它可以很方便的将无界空

17、间中区域分布 源的势表示成积分的形式。2.4电磁辐射理论在分析电磁场时使用辅助函数会带来方便，引入电磁矢量位A和标量位0,在洛伦兹条件下，二者满足下列方程：(2. 3. 1)(2. 3.2)先求标量位0的解，该式是线性方程组，其解满足叠加原理。设标量位0是 由体积元的电荷元Aq = pAV1所产生，外不存在电荷，由式（2. 3. l）AVf 外的标量位0满足下式：(2. 3. 3)把Aq视为点电荷，他产生的场具有球对称性，在球坐标下，上式可化简为dr2 v2 at2 "°(2. 3.4)(2. 3.5)(2. 3.9)其中，v =二。对于时变电磁场，则该方程的通解为(2.

18、3.8)利用格林公式可以将上式化为：(p (r) = Jg(r-r*)p(r-r'yiV'(2. 3. 10)£ vA (r) = /zjg(r-/)Xr-rW，(2.3.11)v由上式可以看出，我们只要得到天线上的电流分布，并由此计算电磁辐射, 具体计算步骤为：通过已知的求丿出A,再根据B = VxA,从而求得B,最后 根据VxH = jcocE ,从而求出电场分布。时变的电荷和电流是激发电磁场的源，为了让电磁场能量按照人为的要求 方向辐射出去，时变的电荷和电流必须按照特定的方式排列，天线就是设计成 按规定方向能够有效辐射电磁波的装置。2.5唯一性定理和镜像原理2.

19、5. 1唯一性定理在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界 条件下，求解麦克斯韦方程组。那么，在什么定解条件下，在有界区域的麦克 斯韦方程的解才是唯一的？这就是麦克斯韦方程的解的唯一性问题。唯一性定 理指出：在一闭合曲面S为边界的有界区域V,如果给定t=O时刻的电场强度E 和磁场强度H的初始值，并且在tnO时，给定边界面S上的电场强度E和磁场 强度H的切向分量，那么，在/>0时，区域V的电磁场由麦克斯韦方程组唯一 的确定。2.5.2镜像定理根据电磁场的唯一性定理，为确定一个空间的电磁场，只需要给这个区域 边界面上的切向分量电场或磁场，而不必顾及场由怎样的源产生的。

20、这就为建 立场等效原理提供了必要的基础。场等效原理是这样的一个物理原理，在一个 给定空间区域由确定的源产生的电磁场可以看作是由另外的等效源产生的。不 论等效源是否实际存在，只要它们在给定的同一空间区域产生的场相同即可。 通常等效源问题较原问题更容易求解，这就有助于解决某些困难的电磁场边值 问题。举一个熟知的例子来说明：点电荷q在以它为中心的半径彳)球面以外的空 间区域中建立的静电场也可以认为是由在半径球面上均匀分布的面电荷建立 的，对于球外区域的场这两种源是互为等效的，尽管它们在球区域建立的场不 同。镜像原理的基本思想是，在所研究的场域以外的某些适当的位置上，用一 些虚设的源等效代替导体表面的

21、感应电荷或介质分界面的极化电荷。这样就把 原来的边值问题的求解转换为均匀无界空间中的问题来求解。2. 6天线的基本概念时变的电荷和电流是激发电磁场的源，为了让电磁场能量按照人为的要求方向辐射出去，时变的电荷和电流必须按照特定的方式排列，天线就是设计成 按规定方向能够有效辐射电磁波的装置。天线能够发射或者定向接受电磁辐射, 为了表征天线的的特性，从而定义了一些参数：1）方向性函数和方向性图天线辐射特性与空间坐标之间的函数关系式称为天线的方向性函数。根据 方向性函数绘制的图形称为天线的方向性图。因为人们最关心的辐射特性是在半径一定的球面上，根据观察者方位的变 化，辐射能量呈三维空间分布。故可以以此

22、定义天线的方向性函数：在离开天 线一定距离处，描述天线辐射场的相对值与空间方向的函数关系，称为方向性 函数,用/（&,卩）表示。max为了比较不同天线的方向特性，通常采用归一化方向性函数。定义为 F（%） =竽芈化） （2.6. 1） 除/（%）|其中肖咧为一定距离某方向（0,切的电场强度，肖”址|为同样距离上的电场 强度最大值，为方向性函数的最大值。根据归一化方向性函数可以绘制归一化方向图，这是一个三维空间图形， 一般为了绘制的方便，通常只做出两个特定的正交平面的分布，如下图表示的电偶极子的E面方向图和II面方向图。图2. 2电偶极子的E面方向和H面方向辐射图为了研究天线的辐射功率的

23、空间分布状况，引入功率方向性函数Fp（6,卩）, 功率方向性函数和场强方向性函数F（e,卩）的关系为：£,（&, 0）=尸（0, 0）（2. 6. 2）此外，为了对天线的方向图进行定量分析，通常要考虑以下几个工作参数: 主瓣宽度、副瓣电平、前后比。2）方向性系数在相等的辐射功率下，受试天线在其最大点辐射方向的点产生的功率密度和一理想的无方向性天线在同一点产生的功率密度的比值，定义为受试天线 的方向性系数。表示为(2. 6. 3)式中的4和几分别为受试天线和无方向的辐射功率。3）效率 天线的效率定义为天线的辐射功率几和输入功率凡的比值:(2. 6. 4)E _ prA 4pin

24、 m式中巴为天线的总损耗功率，是指包括天线导体中的损耗与介质材料中的 损耗。4）增益系数在相同输入功率下，受试天线在最大辐射方向上某点产生的功率密度与一理想 的无方向性天线在同一点产生的功率密度的比值，定义为该受试天线的增益系 数。用G表示：(2. 6. 5)5）输入阻抗天线的输入阻抗定义为天线输入端的电压和电流的比值，即(2. 6. 6)天线的输入端是指天线通过馈线和发射机相连时，天线和馈线的连接处。 天线作为馈线的负载，一般需要达到阻抗匹配。天线的输入阻抗是天线的重要 参数，与天线的几何参数、激励方式和周围物体的距离等因素有关。只有少数 简单的天线才能准确计算输入阻抗，多数天线的输入阻抗则

25、需要实验测定，或 者进行近似计算。6）有效长度天线的有效长度是指：在保持实际天线最大辐射方向上的场强不变，假设 天线上的电流是均匀分布，电流的大小等于输入端的电流，此假想天线的长度/ 即实际天线的有效长度7）极化天线的极化是指天线在最大辐射方向上电场矢量的取向随时间变化的规 律。极化就是在空间上电场矢量的端点随时间变化的轨迹。可以分成：线极化、 圆极化和椭圆极化。线极化天线可以分成水平极化天线和垂直极化天线；圆极 化天线可以分成右旋圆极化天线和左旋圆极化天线。一般，偏离最大辐射方向 是，天线的极化方向也会改变。8）频带宽度天线的频带宽度是指：当频率改变时，天线的电参数能保持在规定的技术 要求围

26、，将对应的频率变化围称为天线的频带宽度即带宽。第三章矩量法3. 1概述矩量法是近年来在传输线、天线和电磁散射等广泛应用的一种方法。 在实际工程中，有些问题涉及开域、激励场源分布形态比较复杂，而矩量法是 将待求的积分或微分问题转化为一个矩阵方程问题，髙维数的线性联立方程组 数值解的主要困难在于求解逆矩阵，但借助于计算机可以容易求得其数值解， 继而在所得激励源分布的数值解基础上，便可以算岀辐射场的分布及其特性参 数。因此矩量法成为求解电磁场问题的一种非常有效的方法。3.2矩量法的步骤应用矩量法解方程步骤包括以下四步：(1) 导出适当的积分方程。(2) 使用基函数和加权函数将积分方程转换成矩阵方程。

27、(3) 计算矩阵的元素。(4) 解矩阵方程得到我们所需要的系数。3. 3矩量法的数学基础一加权余量法对于一般形式积分方程令算子方程为：L(f) = g(3.3.1)厶为算子，g为已知激励函数，f为未知响应函数。算子厶的定义域为算子作用 于其上的函数f的集合，算子厶的值域为算子在其定义域上运算而得到的函数 g。厶取不同形式，便可描绘不同的电磁工程场问题。将未知函数f(z')展开为级数即：f(z) =工aJO(3.3.2)其中为展开函数或/基函数，a“为待定系数，因此为了精确逼近未 知函数f(z'),所取项数越多越好，但要是使矩阵方程的维数有限，所以展开式 的级数实际上只能取有限项

28、，故只能在近似意义上逼近未知函数f() o则近似 解近似满足场方程，但必有误差存在，称为有余量，记作斤(z),即斤=g(3. 3.3)如果选用不同的构造函数，使余量斤(z)在某种意义上为零，便可以相应的 求解方法。因为算子厶的线性，故g(3.3.4)n如果选择一个正交函数族 ,并且以适当的方式定义两个函数f和g之间的积（用几g）表示），然后做岀吗与方程（3.3.4）之间的积，便得到一组线 性方程组：工a”他，厶（£） =,g,（? = l,2,.）（3. 3. 5）n函数称为权函数，或者称为试探函数。令J%/（”）-g = 0,他等价于人为地强制近似于近似解，让其因不能精确V的满足场

29、方程而导致的误差在平均的含义上等于零，所构成的求解房产的求解 方法被统称为加权余量法，也称为矩量法。定义矩阵g,厶（/j，厶（人）.U= 2，心» 他丄（厶）（3.3.6）(3. 3. 7)则线性方程组（3.1.5）可以写成矩阵形式：L.kl=gJ<3.3.8）若矩阵/是非奇异的，逆矩阵存在，那么解a就可以在形式上写为：仏“爲瓦<3. 3.9）上式代入展开式（2）就得到用矩阵形式表示的积分方程的解/=lZk=lZfck<3.3.10）这里底是展开函数列矩阵的转置矩阵，为一行矩阵/=£彳2'仁，（3.3.11）此解是精确的还是近似的，要取决于人和的选

30、择，因此对于/”匕）的 选择至关重要，原则上，只要增加所构成的基函数的个数，便保证待求的未知 函数收敛于精确解。当选择Om=£（Z'）在特殊情况下，这种通常称为伽略金法。3. 4基函数九的选取待求函数的近似解可以通过构造的彼此线性无关的基函数，由展开的级数 来近似逼近。那么，近似解的收敛性、稳定性和所需要的计算量都和基函数的 选取有关。基函数的选取取决于具体问题的特征，总的来说，基函数可以分成 整域基函数和分域基函数。（1）整域基函数整域基函数是指在线性算子厶的定义域，即在待求函数/的定义域都有基 函数，通常有下面几类：1）傅里叶级数（x） = sinkx,则待求函数/可表示

31、为(3. 4. 1)2)马克劳林级数相应的待求函数/可表示为R.n/=ZX*M*1(3. 4.2)3)勒比特多项式PkM.相应的待求函数/可表示为(3.4.3)/2式中，勒比特多项式£(%)=(-1)* 一2£)!2"!(/ £)!(/一2«)!人(2)分域基函数1)分段常数函数叫£召 1/2 VZ V “+“2其他(3. 4.4)&】(3.4.5)0-1 V 乙 V 乙+i(3.4.6)2)分段线性(或三角)函数 叫= A0,其他3)分段正弦函数sin£(z_|z_o|) 叫=' sin也0,其他式中： =

32、 /"<>3. 5权函数轴的选取不同类型的权函数的选择，会决定算子方程的余量在不同意义取零，从而 得到不同模式的矩量法，主要有：点匹配法、伽略金法和最小二乘法。(1)点匹配法如果选取狄拉克/函数狄拉克5函数作为权函数，即coj = J(r-片)(j = 1,2,., n)(3. 5. 1)式中，狄拉克5函数定义为5(T)= 0(w；)(3. 5.2)(3. 5.3)(3. 5.4)(3. 5.5)< J(r_rJ) = oo (r =广；)(r；eV)狄拉克d函数的重要特点是：对于任意r = r；处连续的函数f(r),有V由此可知矩量法方程相对应的矩阵元素的计算结果

33、为L =他，厶(£) = J 5 0- GWjdV = L(r；)V和gj =他'g=J 3i <r -= g(Q上述方法称为点匹配法。(2) 伽略金法若权函数选为基函数，即当选择©,=£在特殊情况下，这种通常称为伽略 金法。(3) 最小二乘法若权函数选为余量本身，即令co = 2-(3. 5. 6)7 du则就构成最小二乘法的计算模式。最小二乘法是通过定义目标函数F为余量平 方和，求取极小值的方法，即F = jR2dV = min(3. 5.7)V现在将余量R=1/-g带入上式，这样就把目标函数F的极值问题转换成 一个多元函数的极值问题，即最小二乘

34、法的离散化计算模式可化为：e12RdV = 0 (J = 1,2.«)(3. 5.8)v duj综上所述，在矩量法的求解过程中，不仅要待求函数用不同的基函数展开, 相应的权函数也有不同的选择。基函数和权函数的不同结合，对待求物理场问 题所需要的计算工作量和所得解答是否符合工程要求等放面都有不同的影响。 矩量法是一种功能强大的数值方法3.5矩量法的误差分析和发展应用矩量法时所产生的误差有以下几种。1建模误差。这是指建模时，采用的理论近似所产生的误差。例如用无线 长理想导体代替实际集合形状或结构，用点(x,y)表示小单元中心的位置，平滑 圆柱体的积分和直线积分路径等都会引入这种误差。2数

35、字化误差。这里进行数字化是产生的误差。例如当把几用脉冲函数展 开，把积分限变成小单元上积分等数值处理时所引入的误差。3.近似误差。这是由于数学近似所产生的误差。例如，积分近似处理等造 成的误差。4数值计算误差。是指计算机进行运算时，数值计算所产生的误差。例如, 汉克尔函数的积分只能达到一定的精度，而计算阻抗矩阵时，需要用到它。矩量法的应用主要受到以下几个方面的限制：首先，必须针对所要求解的 问题导出相应的积分方程；其次，在此基础上还要选择、构造全域或分域上满 足边界条件的基函数。另外，由于需要求解满阵的线性代数方程组，当未知量 的个数为'时，矩量法所需的计算量为NS当用直接分解法和迭代

36、法求解时， 所需的计算量分别为和这种计算复杂度限制了矩量法对N很大的问题 的应用，例如大目标散射问题的计算。为此，在传统矩量法的基础上采用各种技术，使得其计算复杂度低至TV?以 下，通常称为快速算法。在各种快速算法中，快速多极子方法发展得最 为成熟。在此基础上又发展了多层快速多极子算法（MLFMA）。基于矩量法的快 速算法研究的另一个途径是小波正交基的应用。用积分方程描述电磁场问题时，采用边界或表面积分方程，可将问题的求 解降低一个维度，大大减少未知量的个数。运用格林函数建立积分方程满足了 辐射条件，可使解域限定在待求量的定义域之。因此，基于积分方程的矩量法 自然具有一定的优越性，快速解法的发

37、展使其具有了新的活力。矩量法求解过程简单，求解步骤统一，应用起来比较方便。然而需要一定 的数学技巧，如离散化的程度、基函数与权函数的选取，矩阵的求解过程等。第四章对单极子天线的研究4. 1单极子天线的数学模型和波克林顿积分方程单极子天线是由一根半径为a ,高度为/的圆柱导体组成，其馈电处的高度 为zS对于单极子天线辐射特性的分析采用镜像法较为简便，其分析模型如图 4. 1图4.1单极子天线分析模型我们在假定天线上的电流为沿天线轴线的线电流而且电流为正弦分布的情 况下，可以计算天线的辐射特性。截面有限的柱形导体天线上的电流分布的严 格确定实际上是个边值问题，即使天线是孤立的，周围没有其他的天线和

38、物体, 天线上的电流分布也会受到馈电结构的场以及天线上电流所产生的近场的影响，这就自然地导致用积分方程给出天线上的电流分布。由于电流分布于柱形 导体表面，柱形导体的截面积及截面形状对于天线的特性，特别是天线的输入 阻抗，有着明显的影响。线天线的积分方程理论可以将这些影响因素考虑进去, 但在建立天线上电流分布的积分方程的过程仍需要对天线的几何结构，特别是 馈电结构做出简化的处理。在建立了柱形天线的适当的几何模型之后，就可导 出相应的积分方程。4. 1. 1矢势方程关于柱形天线上电流分布的积分方程式可有麦克斯韦方程式中的磁场旋度 方程 X B =如 + jcoiE 和矢势的非齐次波动方程（v2+V

39、）a=-zv导出。将B = ><A带入上式得V2A-V（VA） = J _ 闷届迟然后把（412）带入（413）消去丿得出： A）+VA = 隔 E 以及无界自由空间中推迟矢势式4沁 |r-r |带入（4. 1.4）消去A后得（"+席）粘;；t/w = j（）E（r）(4. 1. 1)(4. 1.2)(4. 1.3)(4. 1.4)(4. 1.5)(4. 1.6)式（4. 1.6）是关于电流分布丿（门的微分积分方程，由于是利用矢势导出的, 成为矢势方程，它是关于柱形天线上电流分布的其他形式积分方程的基础。4. 1.2任意形状截面柱形天线的波克林顿积分方程在矢势方程（4.1

40、.6）中积分区域V应包括所有有电流的区域，即应包括天 线上的电流分布区域及馈电系统的电流分布区域代另一个方面，为导出天线上 电流分布的积分方程，V应当包括天线的电流，这就需要对于馈电系统电流分布 作一定的简化处理，通常是忽略馈电系统的电流分布，为简化天线电流分布的 积分方程还需要对天线的几何结构作简化假定。设天线为一截面形状任意的细 直柱导体，满足条件k.u « 1及"<</,这里"为横截面积周线总长，/为天线长, $为横截周线的弧长变量，如图所示。若天线用理想导体管制作，除端部外在管 的壁上没有电流，在管壁厚度很小的情况下端部的壁电流也可以忽略，这样

41、可 以认为仅在管的外表面上有电流，而且在细柱体的假定下管外表面的电流仅有 轴向分量。若天线由实心导体制作，在两个端面上会出现径向电流，在略去这 部分端面径向电流的近似条件下，天线的电流分布仍可看作是仅含有z分量的面电流。在上述近似下矢势方程(4.1.6)便化成下面的标量方程q1严 “LI(b + k)J 人(s：zjdz' =丿少匂瓦“(4. 1. 7)cv j 4|r-r |这里积分方程S为天线导体柱的外表面，人Z为Z方向的面电流密度，将面积分 离为沿截面周线C的积分和轴线才的积分，有sz (s', z)dsdz = jco£QE.( 5, z.)(4. 1.8)由

42、于z不是积分分量，对Z求微商可移动积分号，如果令32,G(s,zszf) = (r + oh(4 1.9)dzr 4|r-r |式(4. 1.8)就可化简为J：jG(s,z；s',z'”sz(s',z')d£'z' = ja)£()E：(sy z)(4. 1. 10)一 c方程(4. 1. 10)右边的E.(s,z)是天线表面的电流分布在天线表面(s,z)点产 生的轴向电场分量，除此之外在天线表面还存在着其他源产生的外场，其轴向 分量用Ei(S,z)表示。当天线工作在发射状态时外场是由馈源产生的，当天线工 作于接收状态时外场则

43、是由远处的源产生的入射场，或者两种外源同时存在。 天线电流及外源产生的场Ei(s.)这两者的轴向分量之和在天线表面应满足理想 导体的边界条件E.(s,z,) + Ei.(s>z) = O(4. 1.11)将(4.1.11)带入(4.1.10),我们得到G(5, z; 5； zz)Jsz (s 7!ds'dz! = -jcos.Es, z)(4. 1. 12)c式(4.1.12)称为广义波克林顿方程。如能正确地给出外场Q(s,z几 求解这个 方程便可得到天线表面的电流分布。4.1. 3单极子天线波克林顿积分方程及其近似解对于圆形截面的细柱形天线3,广义波克林顿积分方程(4.1.12

44、)可以化 简，并且容易求出它的近似解。设天线处于发射状态，为了能求出方程的解需 对馈源做出进一步的假定，使得可确切的给出方程式右边的非齐次项。假设馈 源是一种理想的馈源，它所产生的场局限于髙为d的柱形区域中，因此可以假 定在天线的外表面处处有E'z(s, z) = O(4. 1. 13)对于圆形截面的细柱形天线，如果进行进一步假定馈源的场分布具有轴对 称性就可以认为天线在天线截面的圆周上是均匀分布的，这样(4.1.8)式中的 面积分可化简为严论=：广£人（畑必'（4. 1. 14）这里 D = (z-z')2+(2asin矿) 2于是广义Pocklington

45、积分方程便化简成(二+k)f2?/(z/)Jz/ = 0 dz2 Jo 2” 尸 J-" 4力其中/匕）=2加人0）(4. 1. 15)(4. 1. 16)(4. 1. 17)为天线表面上的电流。/严2n Ji Jo(4. 1. 18)4/r （z-z）2 +（2i/sin*）22这里b为常数且b»a.积出上面的积分得到沪 J" h(4. 1. 19)寸万于是积分方程（4.1.16）便化成微分方程 y 2b d1、八-hi（ + k ）/（z） = 0 2/r a dzr求解（4.1.20）便得到天线上的电流分布/（込）=C cos+c2 cos&z式中，

46、q和c?为积分常数 这样由方程（4.1.14）和（4.1.12）可得到,/（z"）G（z,= C cos kz.+c2 coskz, E： （z'） sin kz-（4. 1. 22）式中，为周围媒质的本征阻抗。方程（4.1.22）被认为是与完善导体柱天线相关的海伦积分方程海伦+4/ sin(4. 1.20)(4. 1.21)下面来求出积分方程（4.1.14）的近似解。由于d为小量，不难看出对于 （4. 1. 14）式中的积分的主要贡献是来自艺=z的邻近线端的积分，因此这个积 分可近似写作积分方程的计算是方便的，因为其核仅含/项。其主要优点是使用此种方法易 于得到一个收敛的解

47、，而主要缺点是为了确定积分常数q和c?需要额外的计算。N将食的近似表达式即/=加”（艺）带入（4.1.22）得到n-1也（z'）K（S, z）dz = Eg（4.1.23） n-1其中«（5，£）=丄 二+ 疋 G（j,z）（4. 1.24）3汽迂丿为积分核，z = z,n在小段上ni是线上的点，在此点上应用积分方程。方程（4. 1.23）可以写为(4. 1.26)或者写成N工人g加=乓匕）(4. 1. 27)其中n-1N心乂(4. 1.28)为了求解未知电流幅值/,（« = 1,2,3，,N）,需要从方程（4.1.26）推导出N 个方程。因此对（4.1.

48、26）两边乘以权函数®（“ = 1,2,3,., N）,并在整个线长度 上积分。或者说，在平均意义上（4.1.26）在整条线被满足，这导出了每一个 加权函数和g,”之间的积的构成，所以（4.1.26）化为：Z 人他，g,”=他，E加=12., N（4.1.29）n-1这样有N个联立方程，它们可以写成矩阵形式：2，®)，加今，灯人2，码2(4. 1.30)0V9gjv).Vi _即Zj/ = V,则电流解可由解联立方程组（4.1.29）或由矩阵求逆得到/ = zV（4.1.31）矩阵忆，"，/被分别称为广义阻抗，电压和电流矩阵。一旦分布电流 由（4.1.28）或（4

49、.1.29）计算出来，则实际感兴趣的其他参数，如输入阻抗, 辐射方向图等。4.2计算仿真及结果设天线的总长度为半个波长，半径为a = 7.02xl0-32, V；, = IV ,波长2 = 1, /= 0.25/7/0根据公式可求得电流分布图（图4. 2）和辐射方向图（图4.3）,根 据电流分布图可以看出电流在馈电处电流最大，高度最高点幅值最小。由于该 天线是中间馈电的，所以它的功率大小是关于90度对称的，当且它的入射角为 90度是，功率辐射大小为零。由于2/ = 0.5 = %,此时电流分布对馈电位置的反应不太明显o图4.2电流分布图图4. 3单极子天线辐射方向图4. 3结论矩量法是研究电磁

50、散射和辐射的主要方法之一，用矩量法研究偶极子天线 的辐射特性可以计算求得天线的电流分布，从而根据电流分布可以求得天线的 各种特性。在此基础上，如何选择矩量法电流密度的基函数，如何缩短矩量法 矩阵元素的形成时间，从而提髙矩量法的计算效率，将是我们要研究的方向。第五章套筒天线的研究5. 1套筒天线的理论分析图5.1套筒天线的数学析模型图5.1套筒天线原型根据图5.1是套筒天线也的现实模型，根据镜像法和唯一性定理，将天线 进行上下镜像对称，其结果和原模型一致。如图二所示，套筒天线垂直于地面, 套筒单极子天线的高度为套筒的高度为力，馈源的高度为人，导体的直径为 a,外套筒的直径为方（假设套筒为无厚度金

51、属）。所分析天线采用镜像法，引入5源，因为天线表面电流只有Z分量，所以 对于电磁矢量位A只有Z分量，因此在远区场的无源区域满足下式：(5. 1. 3)g 车=04 at2式中A = A7ez9采用复数形式，在圆柱坐标下化为下式:(5. 1.4)1 dAy d2Ay d2Ay 7 4 八 -+ + - + 7=0 p op cp' oz4CC对(5.1.4)式对Z进行傅里叶变换U3Az() = FAz(z)= jAz(z)e jz可得 空座2 +(5. 1. 5)P P op令y1 = (XT f.18-1可化简为：(fr + 丄二+ 於)Az(c) = O(5.1.6)op p op求

52、解(5. 1. 6),令x = yp , A.(<) = y o 则 A.(W)= z/，。方程(5. 1. 6) 变成x2>'* + A>j/ + x2y = 0(5. 1.7)上式为贝塞尔方程，求解（5.1.6）式可得： 当尸>0时匕仇加0<p<a(5. 1.8)每©= C?丿胁）+ C3H0（护）a<p<bb<p<当於<0时此时卩为复数，贝塞尔方程变成修正贝塞尔方程，令y2 =-r则 C 打（）o < p < «Az（）= CJrpy + C.Kp） a<p<b（5. 1

53、.9）GKJzp）Z?<p<+oo其中/。（“），S，K（）（卩）为0阶贝塞尔函数，C,-Cs为待求系数。D根据安培环路定律Vx- = JEZ和二VxAz，从而得到巧和A的联系等式：1 d2A-E. =（ +（w2/z£Az）（5. 1 10）jcofis dz对上式对变量Z取傅里叶变换：Exe）=-y2Az（e）（5.1.11）jCOflE 利用边界条件m求待定系数G-q&P切1= Eza_"h(5. 1. 12)弘z| _心°a dp |卅 Ina_ 弘z I = “hdprljib上式中p Cx,y) = <E二(c)| a = 一

54、 ja (C肖(d，d) + 厶忆)肖(d, b)4coeE： (d)| b = - 丄仍 ©警(d，方)+ Ib ©讥b、b)4cde y2J0(yx)Hyp) y2 >02j 2以"打忆)、人G)为打、亠“©)Ko(°) 7 <°兀(5. 1. 13)(5. 1. 14)打的频域形式。对电流进行余弦函数插值法“即:n.N设仃=工观sin，n-12H(5. 1. 15)h-A/厶=为乞n-1sillshut2h(? + /?”对上式关于Z进行傅里叶变换得： n.N仃© = 2ttA,9G，H）n-1/n-.W厶

55、忆）=2兀工盅（M）m-1(5. 1. 16)(5. 1. 17)(5. 1. 18)式中（/,A）= /X-（一严(2疋)2 _(阮)2A”、厲,为矩量法待求系数。通过（5. 1. 12）便可以求的系数G-C,把式（5. 18）和（519）带入（51. 10） 可得：因为把天线作为理想导体进行分析，根据边界条件应满足切向分量恒等于0,套简始终接地有E：h=O,设E_L是天线表面的电流分布3在天线表面处产生 的Z方向分量，除此之外在天线的表面还存在着其他源产生的电场，其Z方向分 量用目表示。当天线处于发射状态时，外场是由馈源产生的；当天线处于接受 状态时，外场是由远处的源产生的入射场。或者是这两种外源同时存在，但无 论怎样天线电流和外源产生的场E这二者的切向分量之和在天线表面也满足理 想导体的边界条件：E：L+E；=O, E：h=O（5. 1. 19）其中天线源E = 5（+心）+ d（-/7；）。把(5. 1. 13)和(5. 1. 14)进行傅里叶反变换，并带入(5. 1. 19)使用权函数和基函数相乘再进行积分(即伽略金法)得到下列方程:(5. 1.20)(5. 1.21)=工 A“Z；Z)+ ZB盘: 兀;r-lm-1/r-Afm-A/n-1/n-1Sk =一(一1.£兀kit fsin cos人o