理论力学总复习

1、12一一. . 基本概念及概念的区分基本概念及概念的区分 合力合力r r 和主矢和主矢 rr 的区别的区别 合力合力r r : : 是主矢的移动效果和主矩转动效果之是主矢的移动效果和主矩转动效果之和和 ( (主矢主矢, ,主矩可简化为合力主矩可简化为合力) )。 ( (与作用点有关与作用点有关) ) 主矢主矢rr: : 只代表移动效果，且有主矩存在时只代表移动效果，且有主矩存在时( (与作用点无关与作用点无关) ) 力矩和力偶矩的区别：力矩和力偶矩的区别： 力矩力矩: : 是力对那一点的转矩是力对那一点的转矩, , 与取矩点有关与取矩点有关, , 且不能在平面内任意移动。且不能在平面内任意移动

2、。 力偶矩力偶矩: : 它是在平面内和平行它自身平面内它是在平面内和平行它自身平面内可任意移动可任意移动, ,与取矩点无关。与取矩点无关。静力学复习静力学复习3平面任意力系向某点简化的不变量平面任意力系向某点简化的不变量, , 空间任意力系向某点简化的不变量。空间任意力系向某点简化的不变量。 平面中：平面中： 空间中：空间中： r/ ; mrrrm ,摩擦力的方向判定摩擦力的方向判定 摩擦力是一种约束反力摩擦力是一种约束反力, ,方向总是与物体相方向总是与物体相对运动方向对运动方向( (趋势方向趋势方向) )相反。相反。 4 例例 后轮有主动力矩，后轮有主动力矩，后轮后轮 后轮无主动力，后轮后

3、轮无主动力，后轮 离地离地运动方向是向后的运动方向是向后的 离地离地运动方向是向前的运动方向是向前的5 摩擦问题中对不等号的处理摩擦问题中对不等号的处理 f nf nf f，但一般的情况下是选临界状态代入，但一般的情况下是选临界状态代入( ( 即即f f n=fn=f ) ) 计算，得出结果后再加上不等号，或判断出平衡区间，计算，得出结果后再加上不等号，或判断出平衡区间，以减少不等式运算所带来的麻烦和由此出现的误算。以减少不等式运算所带来的麻烦和由此出现的误算。 ( (一一). ). 基本定理基本定理( (常用的常用的) ) 三力平衡必汇交，必共面三力平衡必汇交，必共面( (用于确定未知力的方

4、向用于确定未知力的方向) )合力投影定理：合力投影定理：rx= =x合力矩定理：合力矩定理： 投影式：投影式：)()(ioofmrm)()(izzfmrm二、基本方程和基本定理二、基本方程和基本定理6 ( (二二) ) 基本方程基本方程 平面平面 空间空间 0x 0y 0z 0x 0y 0am三三. . 解题步骤，解题技巧，解题注意问题解题步骤，解题技巧，解题注意问题 ( (一一) )解题步骤：解题步骤： 选研究对象选研究对象 作受力图（有用，没有用的力均画上作受力图（有用，没有用的力均画上 ） 选坐标列方程选坐标列方程 解方程，求出未知数解方程，求出未知数000xyzmmm7( (三三).

5、). 注意问题：注意问题： 力偶在坐标轴投影不出现力偶在坐标轴投影不出现 摩擦力的方向一般不能假设摩擦力的方向一般不能假设 附加方程中的附加方程中的或或号别最后忘记号别最后忘记 受力图中力要画全受力图中力要画全( (二二). ). 解题技巧：解题技巧： 先找二力杆先找二力杆 选坐标轴选坐标轴 未知力未知力 选取矩点（轴）与未知力相交或平行选取矩点（轴）与未知力相交或平行 从已知力下手，物系问题由整体从已知力下手，物系问题由整体-局部局部80, 0axx由022; 0)(apmaaqarfmba0y0pqaryba)kn(122028 .01628 .02022pamqarb)kn(24128

6、.02020barqapy例例3-3 已知：已知：p=20kn, m=16knm, q=20kn/m, a=0.8m 求：求：a、b的支反力。的支反力。解：研究解：研究ab梁梁解得：解得：9四、例题：四、例题： 例例11 画受力图画受力图10解解：研究整体，受力如图研究整体，受力如图 (n)14140 02145sin , 0fgfgcsqsm由(n)10000 045cos0(n)50000110cfgcccg xs xxy q ym由 例例2 2 已知已知: : q=5000n=5000n，杆重不计。求，杆重不计。求sde，sfg和和c点的反力。点的反力。(n)14140 02145sin

7、 0dedeasqsm由11 由零杆判断方法：由零杆判断方法： s s1 1= =p p1 1 s s2 2=0=0 s s3 3= =p p2 2 例例33 已知桁架，不计各杆自重，求下列指定杆的内力。已知桁架，不计各杆自重，求下列指定杆的内力。静不定静不定 静定静定 静不定静不定 例例44 判断下列静定与静不定问题。判断下列静定与静不定问题。12解：解：zozyoyzyxfmfmfmfmaffmcffmfm)()( )()( m)(n20)( )mn( 5 .12)( 0)( :又由 例例5 5 直角曲杆直角曲杆oabcoabc的的o o端为固定端端为固定端, , c c端受到力端受到力f

8、 f的作用的作用, , 如如图。已知：图。已知：f f=100n=100n，a a=200mm, =200mm, b b=150mm, =150mm, c c=125mm =125mm 求：力求：力f f对固定端对固定端o o点的矩？（力点的矩？（力f f平行于平行于x x轴）轴） 58 6 . 1)()( tg )mn(6 .23)()()(22fmfmfmfmfmyzzyo13 例例6 6 匀质杆匀质杆abab和和bcbc在在b b端铰接，端铰接，a a端铰接在墙上，端铰接在墙上，c c端则由墙阻挡，墙与端则由墙阻挡，墙与c c端接触处的摩擦系数端接触处的摩擦系数f f=0.5=0.5，试

9、，试求平衡时最大角度求平衡时最大角度 ，已知两杆长相等、重量相同。，已知两杆长相等、重量相同。14)3( cnff1 .28 42ctg )3( ,(2) , 2ctg2 :) 1 (得代入得由得由p fpnc(2)- - - 02cos22cos2sinlplflnc解：由整体解：由整体(1)- - - - - - - 02cos222sin2lplnc0am0 ,bmbc 由再分析15 例例66已知：已知：abab=2=2a a , , 重为重为p p，bcbc重为重为q q，abcabc= = , , 求：求：a a、c c两点的反力。两点的反力。16再研究整体：由再研究整体：由ctg2

10、tg2 0tg2- , 0qqnaqanmccb由0x0canx0y0)(pqya0am0)(tg2aqpanmcactg2qnxcaapqma)2()(pqya解：先研究解：先研究bcbc，受力如图，受力如图1718一基本内容一基本内容1.1.点的运动学点的运动学直线运动直线运动曲线运动曲线运动合成运动：绝对运动合成运动：绝对运动, ,相对运动相对运动, ,牵连运动牵连运动匀速匀速, ,匀变速匀变速, ,变速变速2.2.刚体运动学刚体运动学基本运动基本运动平面运动平面运动合成运动：绕平行轴转动的合成合成运动：绕平行轴转动的合成平动平动定轴转动定轴转动二基本公式基本公式1 1点的运动点的运动矢

11、量法矢量法22 , , )(dtrddtvdadtrdvtrr直角坐标法直角坐标法)()()(321tfztfytfxzvyvxvzyxzayaxazyx 19222zyxvvvv222zyxaaaa方向均由相应的方向余弦确定。方向均由相应的方向余弦确定。自然法（轨迹已知时）自然法（轨迹已知时）dtdsvtfs , )(方向沿切线方向，方向沿切线方向，22dtsddtdva方向沿切线方向，方向沿切线方向，2van方向指向曲率中心方向指向曲率中心全加速度：全加速度：nnaanaaaa),( tg, 22a常数（匀变速运动）：常数（匀变速运动）：tavv020021tatvss)(20202ssa

12、vv), 0(00ssvvt 时20点的合成运动点的合成运动reavvvreaaaa（牵连运动为平动时）（牵连运动为平动时）kreaaaaa（牵连运动为转动时）（牵连运动为转动时）其中，其中，),sin(2 , 2rerekrekvvava平动（可简化为一点的运动）平动（可简化为一点的运动）任一瞬时任一瞬时, , 各点的轨迹形状相同各点的轨迹形状相同, , 各点的速度和加速度均相等各点的速度和加速度均相等定轴转动定轴转动22 , , )(dtddtddtdtf 常量：常量：（匀变速转动）（匀变速转动）t020021tt)(20202), 0(00 时t2 2刚体的运动刚体的运动21 = =常量

13、常量（匀速转动）：（匀速转动）：30 , nt的单位：的单位：rpmrpm42 ra定轴转动刚体上一点的速度和加速度：（角量与线量的关系）定轴转动刚体上一点的速度和加速度：（角量与线量的关系）rv ra 2ran全加速度全加速度：2),(natg用矢量表示为用矢量表示为rvravannaaavr轮系的传动比轮系的传动比：nnnnizzrrnni13221111221212112 , 平面运动（平动和转动的合成）平面运动（平动和转动的合成）基点法基点法：（：（a a为基点）为基点） , abvvvvbabaab为图形角速度为图形角速度22 ababa2 abanba 分别为图形的角速度，角加速度

14、分别为图形的角速度，角加速度投影法投影法： abaabbvv瞬心法瞬心法： , pbvbp p点为图形的速度瞬心，点为图形的速度瞬心， , pbvb与与 一致一致nbabaabaaaa23三解题步骤技巧及注意的问题三解题步骤技巧及注意的问题1.1.分析题中运动系统的特点及系统中点或刚体的运动形式。分析题中运动系统的特点及系统中点或刚体的运动形式。2.2.弄清已知量和待求量。弄清已知量和待求量。3.3.选择合适的方法建立运动学关系求解。选择合适的方法建立运动学关系求解。 各种方法的步骤各种方法的步骤, ,技巧和使用中注意的问题详见每次习技巧和使用中注意的问题详见每次习题课中的总结。题课中的总结。

15、24已知已知: oal , = 45o 时， ; 求求：小车的速度与加速度解解： 动点：动点：oa杆上杆上 a点点; 动系：固结在滑杆上动系：固结在滑杆上; 静系：固结在机架上。静系：固结在机架上。)( oalva方向)( ),( 2oaolaoalanaa指向沿方向铅直方向 ? ?rrav., ? ?待求量水平方向eeav例例8-13 曲柄滑杆机构曲柄滑杆机构绝对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动， 相对运动：直线运动，相对运动：直线运动，牵连运动：平动；牵连运动：平动；25小车的速度小车的速度：evv 根据速度合成定理根据速度合成定理 做出速度平行四边形做出速度平行四边形, 如图示如图示r

16、eavvv)(coscos llvvae2245投至x轴：enaaaaasincos45452sincosllae ，方向如图示l )(222小车的加速度小车的加速度：eaa 根据牵连平动的加速度合成定理根据牵连平动的加速度合成定理renaaaaaa做出速度矢量图如图示做出速度矢量图如图示。26解：轴解：轴o, 杆杆oc, 楔块楔块m均作平动均作平动, 圆盘作平面运动，圆盘作平面运动，p为速度瞬心为速度瞬心, cm/s 12vvarad/s 3230cos4/12cos/12/rpava)(m/s 343230sin4sinrpovom722142242120cos22222obpoobpop

17、b) ( m/s 3 .182143272pbpbvb）(例例9-9 平面机构中平面机构中, 楔块楔块m: =30, v=12cm/s ; 盘盘: r = 4cm , 与与 楔块间无滑动求圆盘的楔块间无滑动求圆盘的 及轴及轴o的速度的速度和和b点速度点速度27四例题四例题 例例1 1 自行车在水平直自行车在水平直线道路上按规律线道路上按规律 x x=0.1=0.1 t t行驶行驶, , 式中式中 t t 以秒计以秒计, , x x 以米计以米计. . 已知已知r r=35cm,=35cm, l l=18cm, =18cm, 链轮齿数链轮齿数 。t t=10=10秒时秒时, , mn mn连线铅

18、垂。连线铅垂。 求此时自行车踏板求此时自行车踏板m m 和和n n 的绝对加速度。的绝对加速度。（设车轮只滚不滑）。（设车轮只滚不滑）。48 ,1821zz28解：选取动点解：选取动点 1 : 1 : m m动点动点 2 : 2 : n n动系：自行车身动系：自行车身静系：地面静系：地面tdtdxvttxxe20v )cm(10)m(1 .02220dtdvaaxxe2cm/s 20 ,cm/s 200 ,) s (10exexaavvt时)s / 1 (743520 ),s / 1 (74035200211rarvxx)s / 1 (1434818 ),s / 1 (715481821212

19、29由于牵连运动为平动由于牵连运动为平动reaaaa9 .73tg)s /cm(2 .84 )494050()72720( )()()(72714318)(494050)715(18)(201222222222rmemnrmmnrmrmemmrmnrmemaaaaaaalalaa9 .78tg)s /cm(86 )494050()72720( )()()(727)(494050)(20122222rnennrnnnrnrnennrmrnnrmnrnenaaaaaaaaaaaa（n）（）动点动点m m：动点动点n n：30解解: : oaoa作定轴转动作定轴转动; ; abab, ,轮轮o o1

20、 1, ,轮轮o o2 2均作平面运动均作平面运动; ;杆杆o o1 1 o o2 2 , , 平台平台mnmn均作平动。均作平动。 研究研究abab：图示时作瞬时平动：图示时作瞬时平动, , 因此因此 abab=0 ,=0 ,bavv 2222m/s 4 . 0)3060(1 . 0)30( , m/s 2 . 030601 . 030noaanoavaa)(m/s 2 . 0abvv322cos ,31sin ,sincos , ababaabbaaaa)(m/s40.14.0221tg22abaa 例例2 2 曲柄机构带动平台曲柄机构带动平台mnmn作作往复运动往复运动, , 曲柄曲柄o

21、aoa= = l l = 100mm, = 100mm, 转速转速 n n=60 rpm, =60 rpm, abab=300mm, =300mm, 轮轮o o1 1, ,o o2 2与平台和地面均无相对滑动与平台和地面均无相对滑动, , 图示时图示时oa oa o o1 1o o2 2 。 求此时平台的速度与加速度。求此时平台的速度与加速度。3132研究杆研究杆o o1 1o o2 2，)(m/s 2 . 0 )(m/s40. 121212booboovvvaaa以以o o1 1为基点，为基点，ndodoodaaaa1112m/s 80. 2211111ooodoodxararaaaa研究平

22、台，由于平台与轮研究平台，由于平台与轮o o1 1， o o2 2接触处无相对滑动，所以接触处无相对滑动，所以)(m/s26. 1dvv平)(m/s80. 22dxaa平研究轮研究轮o o1 1，p p1 1为其速度瞬心为其速度瞬心)(m/s26. 14 . 021odvvrvraoo1111 , 33 例例3 3 画出图示作平面运动构件的速度瞬心的位置以及角速画出图示作平面运动构件的速度瞬心的位置以及角速度转向（各轮子均为纯滚动）度转向（各轮子均为纯滚动） 轮轮o o作平面运动，作平面运动，p p为其速度瞬心，为其速度瞬心， o o 杆杆abab作平面运动作平面运动p p2 2为速度瞬心，为

23、速度瞬心， abab 轮轮c c作平面运动，作平面运动，p p1 1为速度瞬心，为速度瞬心， c c bdbd作平面运动，作平面运动，p p2 2为速度瞬心，为速度瞬心， bdbd abab作平面运动，作平面运动，p p3 3为速度瞬心，为速度瞬心， abab3435一、动力学普遍定理：一、动力学普遍定理：36名名称称形形式式微分式微分式积分式积分式守恒式守恒式动动量量定定理理质质心心运运动动定定理理)(edtdfp)( ecmmfaa)(12eipp0)(efp p = = 常矢常矢且,f0)(e0cov( (冲量定理冲量定理) )r rc c = = 常矢常矢p p2 2 = =p p1

24、1)(12eccmmivv. 0 0cxxf37名名称称形形式式微分式微分式积分式积分式守恒式守恒式动量动量矩定矩定理理( (o o为固为固定点定点或质或质心心) )动能动能定理定理dtdclpdtdt )( )(12eoooimll( (冲量矩定理冲量矩定理) )0,)()(efmo0,)()(eoiml lo o= =常矢量常矢量; ;12oollfwtt12势力场中势力场中t tv v 常量常量dtdol )()(eofm内力内力外力外力)()(ecfm381 1、普遍定理是质点系运动微分方程组的一次、普遍定理是质点系运动微分方程组的一次积分形式积分形式, , 数学上是等价的。数学上是等

25、价的。2 2、动量与动量矩定理是矢量方程，且相互独、动量与动量矩定理是矢量方程，且相互独立，完整描述了质点系的外力效应。在空立，完整描述了质点系的外力效应。在空间可列间可列6 6个投影方程。个投影方程。3 3、动能定理是标量方程，数学上与上述某投、动能定理是标量方程，数学上与上述某投影方程等价。能描述内力效应，内力不改影方程等价。能描述内力效应，内力不改变动量，动量矩却改变系统动能。变动量，动量矩却改变系统动能。注：注：39ggm (1) (1) 惯性的度量惯性的度量220mrmjii20mocjjc40(2) (2) 力效应的度量力效应的度量dtfit0 dtfrim210dtwbaffvd

26、rbaf作用点作用点不变不变dtwbamm41(3) (3) 运动的度量运动的度量ciimmvvpirciiricivmmvvmtivvv .212121222iciiiiimmvrvrl c0l ,icciiiiiciimvvvrrrvr 42图示绕线轮在斜面上下滑图示绕线轮在斜面上下滑s s距离，距离，试求各力的功试求各力的功 f ft tf fg gf fn nc ca as sgwgssinnfw0tfw0v0stvdtffwfsdtfvsa2a a0av43vccpcmvp jocmvlcco2222)2(1212121lmmljtp(c)o442 2、求图示系统的动量与动能、求图示

27、系统的动量与动能v vm mm mm mm m1 1 2v221212212121)2(21)2(43221lmlvmvmmvt板板轮轮杆杆)2(221lvmmvvmpx两轮两轮 板板杆杆 l l2lvc c45 分析力学基本原理之一。分析力学基本原理之一。 提供研究约束动力系统的普遍方法提供研究约束动力系统的普遍方法 动静法。动静法。二、达朗伯原理：二、达朗伯原理：46对质点对质点m mi i：iiiiiinim affff 0(1) (1) 一般形式一般形式47对质点系：对质点系：01iiffffni*r0)()()(0000niniifmfmfmm48ciii iimmaaff)(0ii

28、iofmm 主矢与简化中心位置无关。主矢与简化中心位置无关。 主矩与简化中心有关，只能视具主矩与简化中心有关，只能视具体情况进行简化。体情况进行简化。(2) (2) 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化49a ab ba aa ac c j jc c mamaa a2lm绳断时绳断时caaa aa a50r r o o c cmlml mlml 2 2j j0 0 2lm22lm由由 =0=0开始运动开始运动2l22l512 2b b 2 2b b 22bmc cc c22bm52三、虚位移原理：三、虚位移原理：53 双面，理想约束下，原静止的质点系保双面，理想约束下，原静止的质点系保持平衡的

29、充要条件是作用在质点系上的主动力满持平衡的充要条件是作用在质点系上的主动力满足足 w wf f=0=0注：注： 主动力包含内力，计入内力虚功，该主动力包含内力，计入内力虚功，该原理可描述一切变形体的平衡。原理可描述一切变形体的平衡。 两种应用功能：两种应用功能： 已知虚位移，求主动力平衡关系已知虚位移，求主动力平衡关系 已知力系，求平衡位置。已知力系，求平衡位置。 可推广于非理想约束系统：视非理想可推广于非理想约束系统：视非理想约束反力为主动力。约束反力为主动力。1 1 虚位移原理虚位移原理 在势力场中为在势力场中为 v=0v=054 给定虚位移给定虚位移 （可变系）（可变系） 求各力点虚位移

30、关系求各力点虚位移关系 列虚功方程求解列虚功方程求解不可动时，须解除约束，代以反力。视反不可动时，须解除约束，代以反力。视反力为主动力。力为主动力。2 2 虚功方法要点虚功方法要点55 例例15-9 质量为质量为m1和和m2的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又的两重物，分别挂在两条绳子上，绳又分别绕在半径为分别绕在半径为r1和和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转轴于转轴o的转动惯量为的转动惯量为i，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度。的角加速度。 取系统为研究对象取系统为研究对象解：解：方法方法1 用达朗伯原

31、理求解用达朗伯原理求解56虚加惯性力和惯性力偶：虚加惯性力和惯性力偶：iimamramroqoqq , , 222111由动静法：由动静法：00 , 0)(222111221122112211iramramgrmgrmmrrrrgrmgrmfmqoqqo列补充方程：列补充方程： 代入代入上式上式得：得：2211 , raragirmrmrmrm222211221157方法方法2 用动量矩定理求解用动量矩定理求解 2211)(222211222111)( grmgrmmirmrmirvmrvmleoogirmrmrmrm2222112211 根据动量矩定理：根据动量矩定理：2211222211)

32、( grmgrmirmrmdtd取系统为研究对象取系统为研究对象58girmrmrmrm2222112211 )(2 21212122221122222211irmrmivmvmtgdrmrmirmrmdwdtf)()(2 22112222112得由取系统为研究对象，任一瞬时系统的取系统为研究对象，任一瞬时系统的 )gdr-mr(m dgrmdgrmgdsmgdsmwf221122112211 元功两边除以两边除以dt，并求导数，得，并求导数，得方法方法3 用动能定理求解用动能定理求解59举例说明动力学普遍定理的综合应用：举例说明动力学普遍定理的综合应用： 例例14-9 两根均质杆两根均质杆a

33、c和和bc各重为各重为p，长为，长为l，在，在c处光滑铰接，处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，c点高度为点高度为h，求铰，求铰c到达地面时的速度。到达地面时的速度。60讨论讨论 1 动量守恒定理动能定理求解。动量守恒定理动能定理求解。 2 计算动能时，利用平面运动的运动学关系。计算动能时，利用平面运动的运动学关系。解解：由于不求系统的内力，可以不拆开。由于不求系统的内力，可以不拆开。研究对象：整体研究对象：整体分析受力：，分析受力：，且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。

34、 0)(exfphhpwf22)(01t222223123121lgplgpt代入动能定理代入动能定理：ghvphvgpcc3 03122231 ccvgptlv613l图图d db ba ae e(1)(1)(3) f(3) fbyby( (轮受力轮受力) )(2) (2) ad.ad.当圆轮滚至当圆轮滚至b,e,ab,e,a共线时，求共线时，求(4) (4) v vb b及及 ad.ad.ba62图（图（b b）adml221a aado od dbdmgmgb bmgmgf ff fn ndamgmgbdml2121adbdml213030ayfaxfadlm2babdacadaoa解：

35、初瞬时解：初瞬时v vb b=0=0， adad= = bdbd=0=0加速度如图加速度如图(b)(b)所示所示, ,向向dbdb方向投影，得方向投影，得. .bddbaaa63adbd a ab b=0=0， b b=0=0，且，且0bdadl64对整体，由对整体，由 m ma a=0=0，经化简得：，经化简得：图（图（b b）adml221a aado od dbdmgmgmgmgb bmgmgf ff fn ndabdml2121adbdml213030ayfaxfadlm2babdacadaoao o给系统加惯性力，给系统加惯性力，受力如图（受力如图（b b）对轮对轮b b，由，由 m

36、 mb b=0. =0. 得：得：f=0f=0mgmlfadn3265对轮与对轮与bdbd杆，由杆，由 m md d=0=0， 化简化简 得：得：mglfadn23331得得lgad43366轮轮b b受力如图受力如图(c)(c)由由 f fy y=0=0f fbyby=mg=mgb bf fbybyf fbxbxmgmgf fn n图图(c)(c)67运动至运动至aebaeb水平时，速度如图水平时，速度如图(d)(d)，易知，易知 bdbd= = adadadblv3d db b b b bdbd adadv vb bv vd d图图(d)(d)a ac c68由由tttt0 0= = w

37、w，有，有2213121432222lllmgjmlmvbdbaad222611121mlacmmljagad23 gllglvb2323369例例2 2：如图：如图(a)(a)所示，半径为所示，半径为r r的均质薄圆盘水的均质薄圆盘水平静止于光滑平面上，轮心平静止于光滑平面上，轮心o o处用铰链连接一处用铰链连接一根长为根长为2r2r的水平均质杆，它们的质量均为的水平均质杆，它们的质量均为m m，一质量为一质量为 的小球速度的小球速度v v沿水平面从垂直于沿水平面从垂直于杆的方向与杆端杆的方向与杆端a a发生完全弹性碰撞，试求碰发生完全弹性碰撞，试求碰撞后三者的运动状态及撞后三者的运动状态及o o处的约束反力。处的约束反力。oav v图(a)4m70解：设碰撞结束的瞬时，速度如图解：设碰撞结束的瞬时，速度如图(b)(b)，由，由整体动量守恒有整体动量守恒有vmrvmmvmv414100完全弹性碰撞的恢复系数为完全弹性碰撞的恢复系数为1 1，有，有vrvv480即：即：(1)(1