空间直角坐标系2上课用

1、空间直角坐标系空间直角坐标系xo数轴上的点可以用数轴上的点可以用唯一的唯一的一个实数一个实数表示表示- -1- -2123ab一、数轴上的点一、数轴上的点2oai 1obi a a点的坐标点的坐标是是2 2b b点的坐标点的坐标是是-1-1i二、平面直角坐标系及其坐标二、平面直角坐标系及其坐标0xypxy(x,y)平面中的点可以用平面中的点可以用有序有序实数对实数对(x，y)来表示点来表示点xiy j,xyi j 分别是与 轴 轴的正方向同向的单位向量yox在教室里同学们的位置坐标在教室里同学们的位置坐标讲台yox教室里某位同学的头所在的位置教室里某位同学的头所在的位置zxo右手直角坐标系右手

2、直角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系yzoxyz横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴111o z y x 类似于平面直角坐标系中点的坐标，在空间坐标系中，我们可以用一个三元有序数组来刻画空间点的位置。空间任意一空间任意一点点p的坐标记为的坐标记为p(x,y,z)，第一个是x轴坐标，第二个是y轴坐标，第三个是z轴坐标。三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面x轴及y轴所确定的坐标面叫做 xoy面，另两个坐标面是 yoz 面和zox面.坐标面：xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有三个坐标面、八个卦限三个坐标面、八个卦限点的坐标： 设 m 为

3、空间一已知点过点 m 作三个平面分别垂直于 x轴、y 轴和 z 轴，三个平面在 x 轴、y 轴和 z 轴的交点依次为p、q、r，在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标依次为x、y、z，我们称这组数为点点m的坐标的坐标，并把 x、y、z分别称为点m的横坐标、纵坐标、竖坐标坐标为x、y、 z 的点m 记为m(x，y，z)o x y z prx z ymqpoy xzcd如图，在如图，在xoyxoy平面内平面内pdpd垂直垂直y y轴轴pd=2pd=2pcpc垂直垂直x x轴轴pcpc =4=4，则，则 p p点坐标是多少点坐标是多少? ?p(2p(2，4 4，0)0)(2，4，0)(2，0，0)oy

4、 xzcd(2，4，0)pp(2，4，5)(2，0，0)p(2，4，5)如图，在如图，在xoyxoy平面内平面内pdpd垂直垂直y y轴轴pd=2,pd=2,pcpc垂直垂直x x轴轴pc=4pc=4，pppp 垂直垂直xoyxoy平面平面pp=5,pp=5,则则p p点坐标是多少点坐标是多少? ?poy xzcd(2，4，0)pp(2，4，-5)(2，0，0)p(2，4，-5)如图，在如图，在xoyxoy平面内平面内pdpd垂直垂直y y轴轴pd=2,pd=2,pcpc垂直垂直x x轴轴pc=4pc=4，pppp 垂直垂直xoyxoy平面平面pp=-5,pp=-5,则则p p点坐标是多少点坐

5、标是多少? ?p例例1poy xzp|op|=2|pp|=1pp垂直于垂直于x轴轴求求p、p点坐标点坐标?例例2 2： 在空间直角坐标系中作出在空间直角坐标系中作出p(3,-2,4)p(3,-2,4)poxza在在x x轴上取轴上取oa=3oa=3ap= - 2ap= - 2ppp=4pp=4在在xoyxoy平面内作平面内作apap垂直于垂直于x x轴轴pppp垂直于垂直于xoyxoy平面平面y则则p p（3 3，-2-2，4 4）) 1 , 2 , 3( cxyzo)0 , 0 , 3(b)0 , 2 , 0(d) 1 , 0 , 0( a)0 , 2 , 3(c) 1 , 2 , 0( d

6、) 1 , 0 , 3( b)0 , 0 , 0(a例例3：在同一坐标系中画出下列各点：在同一坐标系中画出下列各点：a(0,0,0),b(3,0,0),c(3,2,0),d(0,2,0)a(0,0,1),b(3,0,1),c(3,2,1),d(0,2,1) xyzo(3,4,2)例例4：如图写出相邻三边长分别为：如图写出相邻三边长分别为2，3，4的长方体的各顶点的坐标的长方体的各顶点的坐标（oa=3,oc=4,od=2)(3,0,0)(0,4,0)(0,0,2)(3,4,0)3abadbc2c4(3,0,2)(0,4,2)(0,0,0)结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食结晶体的基本单位称为晶胞

7、，如图是食盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为1/2的小正方体堆积成的正方体），其中红的小正方体堆积成的正方体），其中红色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图：建立空间直角图：建立空间直角坐标系坐标系 后，后，试写出全部钠原子试写出全部钠原子所在位置的坐标。所在位置的坐标。xyzo 例例5：yzxxoyzcdbacoabyzxxoyxoy平面上的点竖坐标为平面上的点竖坐标为0 0yozyoz平面上的点横坐标为平面上的点横坐标为0 0 xozxoz平面上的点纵坐标为平面上的点纵坐标为0 0 x x轴上的点纵坐标竖坐标为轴上的点纵坐标竖坐

8、标为0 0z z轴上的点横坐标纵坐标为轴上的点横坐标纵坐标为0 0y y轴上的点横坐标竖坐标为轴上的点横坐标竖坐标为0 0一、坐标平面内的点一、坐标平面内的点二、坐标轴上的点二、坐标轴上的点对称点对称点xyox0y0(x0,y0)p(x0 , -y0)p1横坐标不变，横坐标不变，纵坐标相反。纵坐标相反。(-x0 ,y0)p2横坐标相反，横坐标相反，纵坐标不变。纵坐标不变。p3横坐标相反，横坐标相反，纵坐标相反。纵坐标相反。-y0-x0(-x0 , -y0)空间对称点空间对称点xoyz1(1 ,1 )1 ,p (1,1,1)p2( , 111 , )p 31 ,(,1 )1p 4(1 ,1 1,

9、 )p5(1 ,1 )1 ,p 6( , )11 ,1p 对称点对称点 一般的一般的p(x , y , z) 关于：关于： （1）x轴对称的点轴对称的点p1为为 _; （2）y轴对称的点轴对称的点p2为为 _; （3）z轴对称的点轴对称的点p3为为 _;( ,)xyz ( , ,)x y z( , )x yz 关于谁对称谁不关于谁对称谁不变变练习练习1：点点m(x,y,z)是空间直角坐标系是空间直角坐标系oxyz中的一点，写出满足中的一点，写出满足下列条件的点的坐标下列条件的点的坐标(1)与点与点m关于关于x轴对称的点轴对称的点(2)与点与点m关于关于y轴对称的点轴对称的点(3)与点与点m关于

10、关于z轴对称的点轴对称的点(4)与点与点m关于原点对称的点关于原点对称的点(5)与点与点m关于关于xoy平面对称的点平面对称的点(6)与点与点m关于关于xoz平面对称的点平面对称的点(7)与点与点m关于关于yoz平面对称的点平面对称的点(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(-x,-y,-z)(x,y,-z)(x,-y,z)(-x,y,z) xyzo空间点到原点的距离空间点到原点的距离abc( , , )p x y z| |bpz22|o bxy222|o pxyz 两点间距离公式两点间距离公式221 21212|()()ppx xy y平 面 ：类比类比猜想猜想2221 21

11、21212| () () ()ppx xy yz z 空 间 ：二、空间两点的距离设设m m1 1（x x1 1,y,y1 1,z,z1 1),m),m2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )是空间两点，如图，是空间两点，如图，如何求如何求|m|m1 1m m2 2| |？xoyzm1m2x1x2y1y2z1z2np121|m pxx21|pnyy221|m nzz22212212121|()()()mmxxyyzz例例1 1 求求证证以以) 1 , 3 , 4 (1m、) 2 , 1 , 7 (2m、) 3 , 2 , 5 (3m 三三点点为为顶顶点点的的三三角角形形是是一一个

12、个等等腰腰三三角角形形. 解解 221mm,14) 12 () 31 () 47 (222 232mm, 6) 23 () 12 () 75 (222 213mm, 6) 31 () 23 () 54 (222 32mm,13mm 原结论成立原结论成立. .例例 2 2 设设p在在x轴轴上上，它它到到)3 ,2,0(1p的的距距离离为为到到点点)1, 1 ,0(2 p的的距距离离的的两两倍倍，求求点点p的的坐坐标标.解解设设p点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因为因为p在在x轴上，轴上， 1pp 22232 x,112 x 2pp 22211 x, 22 x 1pp,22pp112 x22

13、2 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 例例3 3 在在z z轴上求与两点轴上求与两点a a( ( 4, 1, 7)4, 1, 7)和和b b(3, 5, (3, 5, 2)2)等距离的点等距离的点 解：设所求的点为解：设所求的点为m m(0, 0, (0, 0, z z) )，依题意有，依题意有 |ma| 2|mb| 2，即(04) 2(01) 2(z7) 2 (30) 2(50) 2(2z) 2解之得所以，所求的点为m(0, 0, )914 z914，例例4 4 在在z z轴上求与点轴上求与点a(-4a(-4，1 1，7)7)和点和点b b（3 3

14、，5 5，-2-2）等距离的点等距离的点m m，并求，并求abab的中点坐标。的中点坐标。解：解：因为点因为点m m在在z z轴上，轴上，则设其坐标为则设其坐标为m m（0 0，0 0，z z）。）。依题意得依题意得|ma|=|mb|ma|=|mb|，故有故有222222)2() 05 () 03 () 7() 10 () 40 (zz所以所以914z，故所求的点的坐标为故所求的点的坐标为m m（0 0，0 0， ）914设设a，b中点坐标为中点坐标为），中中中zy( x故有故有25227z3251y21234中中中，x设设a，b中点坐标为中点坐标为1(25， 3 ， ）2 1 1、下列各点所

15、在卦限分别是：、下列各点所在卦限分别是： _;1,3,2d_4,3,2c_4,3,2b_3,2-,1 a在在、；在在、；在在、；在在、 ；轴轴的的对对称称点点是是，关关于于轴轴的的对对称称点点是是，关关于于的的对对称称点点是是轴轴，关关于于的的对对称称点点是是关关于于平平面面的的对对称称点点是是，关关于于平平面面的的对对称称点点是是关关于于平平面面、点点_,_) 1,2,3(2zyxzoxyozxoyp 一、填空题一、填空题练习题练习题3、点点)5,3,4( a在在xoy平平面面上上的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _, ,在在yoz面面上上的的射射影影点点为为_ _ _ _ _

16、 _ _ _ _ _ _，在在 zox轴轴上上的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _，在在轴轴上上x的的射射影影 点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ _，在在轴轴上上x的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _，在在 轴轴上上z的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ ; ;4、已已知知空空间间直直角角坐坐标标系系下下，立立方方体体的的4个个顶顶点点为为 ),(aaaa ，),(aaab ，),(aaac 和和 ),(aaad，则则其其余余顶顶点点分分别别为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ; ;5、 已已 知知 三三 角角 形形 的的 三三 个个 顶顶 点点)4 , 1,2( a，)6,2,3( b， )2,0,5( c则则 （ 1） 过过a点点 的的 中中 线线 长长 为为 _;6 6、已已知知平平行行四四边边形形abcd的的两两个个顶顶点点)5,3,2( a, , )2,3,1( b的的及及它它的的对对角角线线的的交交点点)7,1,4( e，则则 顶顶点点