第07章5节三重积分的应用

1、1第七章 重积分7.3 重积分的计算重积分的计算 7.3.4 球面坐标系下的三重积分的计算法球面坐标系下的三重积分的计算法一、球面坐标一、球面坐标 ( , , ), ,m x y zmr 设设为为空空间间内内一一点点 则则点点也也可可用用这这样样三三个个有有次次序序的的数数来来确确定定。m(x,y,z)p(x,y,0)xyzr m(r, , )xyzo2m(x,y,z)p(x,y,0)xyzr m(r, , )xyzorm为为原原点点到到间间的的距距离离。omz 为为有有向向线线段段与与 轴轴正正向向所所夹夹的的角角。, ,rm 这这样样三三个个数数叫叫做做点点的的球球面面坐坐标标。,zxop

2、pmxoy 为为从从正正 轴轴来来看看自自 正正轴轴按按逆逆时时针针方方向向转转到到有有向向线线段段这这里里 是是点点在在平平面面上上的的投投影影点点。3球球面面坐坐标标的的变变化化范范围围 20,0,0rr =常数，即以原点为心的球面。常数，即以原点为心的球面。 =常数，即以原点为顶点、常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。轴为轴的圆锥面。 =常数，即以常数，即以z轴为边的半平面。轴为边的半平面。 zm(x,y,z)p(x,y,0)xyzr m(r, , )xyo三三组组坐坐标标面面4m点点的的直直角角坐坐标标与与球球面面坐坐标标的的关关系系为为 cossinsincossinrzryrx

3、zm(x,y,z)p(x,y,0)xyzr m(r, , )xyo球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素 ddrdrdvsin2 5 为了把三重积分为了把三重积分中的变量从直角坐中的变量从直角坐标变换为球面坐标，标变换为球面坐标，用三组坐标平面用三组坐标平面r = 常数，常数， =常数，常数， =常数把积分区域常数把积分区域 分成许多小闭区域。分成许多小闭区域。 考虑由考虑由r, , 各取得微小增量各取得微小增量dr,d ,d 所成的所成的六面体的体积六面体的体积(如图如图)。不计高阶无穷小，可把。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方形。这个六面体看作长方形。xyzo d drd dr s

4、inr r drsind 6xyzo d drd sinr r drsind 经线方向的长为经线方向的长为 rd , ddrdrdvsin2 这就是球面坐标系中的体积元素这就是球面坐标系中的体积元素。 纬线方向的宽为纬线方向的宽为 rsin d ,于是，小六面体的体积为于是，小六面体的体积为dr向径方向的高为向径方向的高为 dr。7二、二、 三重积分的球面坐标形式三重积分的球面坐标形式 ddrdrrfdxdydzzyxfsin),(),(2( , , )( sincos , sinsin , cos )f rf rrr 其其中中。 计算三重积分，一般是化为先计算三重积分，一般是化为先r，再，再

5、 ，最后，最后 的的三次积分三次积分。82222)(:)1(rrzyx 22222:)2(yxzyxrz 1)0(:)3(22zkyxkz ( , , ),4:f x y z dv 将将化化为为球球面面坐坐标标系系下下的的三三次次积积分分形形式式 其其中中为为例例9 20,20cos20:rrxyz2ror dvzyxf),( cos2022020sin),(rdrrrfdd2222)(:)1(rrzyx 1022222(2):zrxyzxy 解解xyzo 20400:rr dvzyxf),( rdrrrfdd024020sin),( 11 1)0(:)3(22zkyxkz 20 ,1arct

6、an0,cos10: kr dvzyxf),(。 cos1021arctan020sin),(drrrfddk zxyo1 12,5 先先将将积积分分化化为为球球面面坐坐标标的的累累次次积积分分再再求求例例其其积积分分值值。xyzo 2222222022)()1(yxrxrxrrrdzyxdydxi(1),rxoy 是是以以原原点点为为球球心心 以以为为半半径径的的上上半半球球面面与与面面所所围围解解成成的的空空间间区区域域。 20 ,20 ,0: rr rdrrd04203sin2 rdrrrddi02222020sinsin 。4154r 13dvzyx 222cos222000sindd

7、r rdr 2044cossin2 dzzyxdvzyx 222222:,)2( :0cos ,0,022r 解解。16 xyz1o 14课课内内练练习习一一22()xy dv 计计算算三三重重积积分分。0,:22222 zbzyxa xyzo dvyx )(22 badrrrdd sinsin2222020 badrrd4203sin2 。)(15455ab 解解 20 ,20 ,: bra 152 2ryxzo3 1 r先先求求两两曲曲面面解解的的交交线线方方程程 243222rzryx2222222:2xyzrxyzrz 与与所所围围的的公公共共部部分分。26z dv 例例求求三三重重积

8、积分分 20 ,30 ,0:1 rr 20 ,23,cos20:2 rr16 rdrrrdd02223020sincos 。548059r dvz 2 cos202222320sincosrdrrrdddvzdvz 2122 2 2ryxzo3 1 r17 abcxyzo利利用用广广义义球球解解面面坐坐标标系系cossinsinsincosxarybrzcr 2sindvabcrd d dr 体体积积元元素素2222222222221(),:17yzxdvabcyzxabc 计计算算积积分分中中例例其其。18cossinsinsincosxarybrzcr 2sindvabcrd d dr a

9、bcxyzodvczbyax )(1222222 102201sin2drrrdabc 21220001sinddrabcrdr)(442iiabc 221414 abc。42 abc 19小结三重积分的计算方法：小结三重积分的计算方法：基本方法基本方法：化三重积分为三次积分计算。化三重积分为三次积分计算。关键步骤：关键步骤：(1)坐标系的选取坐标系的选取(2)积分顺序的选定（直角）积分顺序的选定（直角）(3)定出积分限定出积分限 20柱形体域柱形体域锥形体域锥形体域抛物体域抛物体域柱面坐标柱面坐标长方体长方体四面体四面体任意形体任意形体球面坐标球面坐标球形体域球形体域或其中一或其中一部分部分

10、直角坐标直角坐标dxdydzdrdzrd drddr sin2zzyyxx zzryrx sincos cossinsinsincosrzryrx 坐标系坐标系适用范围适用范围体积元素体积元素变量代换变量代换217.4 重积分的应用重积分的应用 在前面几节中我们已经介绍了利用重积在前面几节中我们已经介绍了利用重积分可以求空间立体体积以及空间物体的质量，分可以求空间立体体积以及空间物体的质量，本节再介绍重积分在几何和物理方面的几个本节再介绍重积分在几何和物理方面的几个应用。应用。227.4.1 微元法（元素法）微元法（元素法） 如果要求的量如果要求的量u(2) 在在d内任取一直径很小的闭区域内任

11、取一直径很小的闭区域d ，相应的，相应的部分量可近似地表示为部分量可近似地表示为( , )uf x y ddu(1) u 对于有界闭区域对于有界闭区域d具有可加性；具有可加性；量量u的元素（微元）的元素（微元） ddyxfu ),(是较是较d 高阶的无穷小高阶的无穷小,(f (x,y)连续时成立连续时成立)则则( , )( , )uf x y dx yd 23例例如如 曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积平平面面薄薄片片的的质质量量d平平面面区区域域 的的面面积积( , )dvf x y d ( , )dmx y d dad 空空间间物物体体的的质质量量( , , )mx y z dv 空空间间区区域

12、域 的的体体积积vdv 24例例1 求半径为求半径为a的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的内接锥的内接锥面所围成的立体（如图）的体积。面所围成的立体（如图）的体积。 解解 设球面通过原点设球面通过原点o，球心在球心在 z 轴上，又内接锥轴上，又内接锥面的顶点在原点面的顶点在原点o，其轴，其轴与与 z 轴重合，轴重合，,20 ,0 ,cos20 ar立体所占有的空间闭区域立体所占有的空间闭区域 可用不等式表示可用不等式表示: oxyz球面方程为球面方程为 r = 2acos ，锥面方程为锥面方程为 = 。25所以所以 dvv ddrdr sin2 cos2020sin2adrr 033sinco

13、s316da。)cos1(3443 a 20cos2020sinadrrddoxyz 26解解 立立体体的的图图形形为为1,设设为为在在第第一一卦卦限限内内的的部部分分 利利用用对对称称性性得得14mm 110202)sin(cos4rdzrrdrd 102220)1()sin(cos4drrrd 1),(4 dvzyx 1)(4 dvyx。1516 221,2,zxyzxy 一一立立体体由由抛抛物物面面及及平平面面所所围围成成 密密度度例例求求其其质质量量。yzxo1277.4.2 曲面的面积曲面的面积 设曲面设曲面s：z =f(x,y),(x,y)d,f 在在d上一阶偏导连续。上一阶偏导连

14、续。(1) s的面积的面积a对于对于d具具有有可加性可加性(2)在在d内任取一直径很内任取一直径很小的区域小的区域d ，在，在d 上任上任取一点取一点p(x,y,0)对应于对应于s上一点上一点m(x,y,f(x,y) 。 d( , ,0)p x y( , , ( , )m x y f x ys xyzo显然显然(3) 过点过点m(x,y,f(x,y)，作，作s的的切平面切平面 。28 d( , ,0)p x y( , , ( , )m x y f x ys xyzo(4)以以d 的边界为准线作母的边界为准线作母线平行于线平行于z轴的柱面，该轴的柱面，该柱面在曲面柱面在曲面s上截下一小上截下一小

15、片曲面片曲面a，在切平面，在切平面 上上截下来一小片平面截下来一小片平面da。daa 再看再看da与与d 之间的关系之间的关系 由于由于d 直径很小直径很小,fx,fy连续，有连续，有 ada。,1 ,yxffn 1 ,1122yxyxffffn 曲面曲面s：z =f(x,y),(x,y)d29,11cos22yxff ,cos dad cos,cos,cos n 曲面曲面s：z =f(x,y),(x,y)d cosdda dffyx221 1 ,1122yxyxffffn 曲面曲面s的面积元素的面积元素 d( , ,0)p x y( , , ( , )m x y f x ys xyzodaa

16、 30 dffdayx221 曲面面积计算公式曲面面积计算公式曲面方程曲面方程: z =f(x ,y) (x,y) dxy dxdyyzxzaxyd 22)()(1曲面方程曲面方程: x=g(y,z) (y,z) dyzdydzzxyxayzd 22)()(1221yzdagg d 31dzdxxyzyazxd 22)()(1曲面方程曲面方程: y=h(z,x) (z,x) dzx221zxdahh d 32例例3 求半径为求半径为a的球的表面积。的球的表面积。 222,0zaxyz解解 取取222zxxaxy 222221()()zzaxyaxy222zyyaxy xyzoa222:ayxd

17、xy ayxo 因为这函数在闭区域因为这函数在闭区域d上无界，上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。我们不能直接应用曲面面积公式。222adadxdyaxy33dxdyyxaaad 12221 rdrdraad 122 brardrda02220 取区域取区域d1：x2+y2 b2(0b0)处的单位质量的质处的单位质量的质点的引力。点的引力。 ,zyxfff f fp(x,y,0)xyozxyf f (0,0,a)54,1),(2rdyxgd f f 0, ,frm px ya 的的方方向向与与一一致致。 raryrxf,0 ,cos,cos,cos )(222ayxr xyozxyf f (

18、0,0,a)p(x,y,0),xyzdfdf df df 333( , )( , )( , ),x ydx ydx y dgggrrxyar |cos,|cos,|cos ,dfdfdf 55,xyzffff 333( , )( , )( , ),dddx y xx y yax ygdgdgdrrr 0000,( , , )( , , ),(,)x y zx y zp xyz 类类似似地地 设设有有物物体体占占有有空空间间有有界界闭闭区区域域在在点点处处的的体体密密度度为为是是上上的的连连续续连连续续函函数数 则则该该物物体体对对物物体体外外一一点点处处的的单单位位质质量量的的质质点点的的引引力力是是,xyzffff 000333( , , )()( , , )()( , , )(),x y z xxx y z yyx y z z zgdvgdvgdvrrr 56例例10 求半径为求半径为r的匀质球：的匀质球：x2+y2+z2 r2对于位对于位于点于点m0(0,0,a)(a r)处的单位质量的质点的引力。处的单位质量的质点的引力。 ,xyzff f f 我我们们应应用用元元素素法法来来求求解解引引力力(,dvdv在在球球内内任任取取一一直直径径很很小小的的闭闭区区域域这这闭闭区区域域的的体体积积也也记记为为( , , )x y zdv是是上上的的一一个个点点。zxyoa( ,