高中数学第三章导数及其应用阶段复习课学案新人教A版选修1109122123

1、高中数学选修精品教学资料第三课导数及其应用核心速填1在xx0处的导数(1)定义：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 ,称为函数yf(x)在xx0处的导数(2)几何意义：函数yf(x)在xx0处的导数是函数图象在点(x0,f(x0)处的切线斜率2导函数当x变化时,f(x)便是x的一个函数,称为导函数f(x)y .3基本初等函数的导数公式(1)c0.(2)(x)x1.(3)(ax)axln_a(a>0)(4)(ex)ex.(5)(logax)(a>0,且a1)(6)(ln x).(7)(sin x)cos_x.(8)(cos x)sin_x.4导数的运算法则(1)f(x)±

2、g(x)f(x)±g(x)(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)(g(x)0)5函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a,b)内,如果f(x)>0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)<0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递减(2)函数的极值与导数极大值：在点xa附近,满足f(a)>f(x),当x<a时,f(x)>0,当x>a时,f(x)<0,则点a叫做函数的极大值点,f(a)叫做函数的极大值；极小值：在点xa附近,满足f(a)<f(x),当x<a时,f(x

3、)<0,当x>a时,f(x)>0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值6求函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a,b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个为最小值体系构建题型探究导数的几何意义已知函数f(x)ax33x26ax11,g(x)3x26x12,直线m：ykx9,且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k,使直线m既是曲线yf(x)的切线,又是yg(x)的切线？如果存在,求出k的值；如果不存在,说明理由思路探究(1)(2)解(1)因为

4、f(x)3ax26x6a,且f(1)0,所以3a66a0,得a2.(2)因为直线m过定点(0,9),先求过点(0,9),且与曲线yg(x)相切的直线方程设切点为(x0,3x6x012),又因为g(x0)6x06.所以切线方程为y(3x6x012)(6x06)(xx0)将点(0,9)代入,得93x6x0126x6x0,所以3x30,得x0±1.当x01时,g(1)12,切点坐标为(1,21),所以切线方程为y12x9；当x01时,g(1)0,切点坐标为(1,9),所以切线方程为y9.下面求曲线yf(x)的斜率为12和0的切线方程：因为f(x)2x33x212x11,所以f(x)6x26

5、x12.由f(x)12,得6x26x1212,解得x0或x1.当x0时,f(0)11,此时切线方程为y12x11；当x1时,f(1)2,此时切线方程为y12x10.所以y12x9不是公切线由f(x)0,得6x26x120,解得x1或x2.当x1时,f(1)18,此时切线方程为y18；当x2时,f(2)9,此时切线方程为y9,所以y9是公切线综上所述,当k0时,y9是两曲线的公切线规律方法此题直线m恒过点(0,9)是解题的突破口,即若m是f(x),g(x)的公切线,则切线必过点(0,9).一般说来,求过定点的两曲线公切线的一般思路是：先求出过定点的一曲线的切线方程,再令斜率值与另一曲线的导数相等

6、,求出可能的切点,得出对应切线方程.若两条直线方程相同,则为公切线；若不同,则不存在公切线.当然,也可能会存在切线斜率不存在的情况.跟踪训练1已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2,6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线yf(x)的某一切线与直线yx3垂直,求切点坐标与切线的方程. 【导学号：97792173】解(1)可判定点(2,6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21,f(x)在点(2,6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y(6)13(x2),即y13x32.(2)设切点为(x

7、0,y0),则直线l的斜率为f(x0)3x1,直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过点(0,0),0(3x1)(x0)xx016,整理得,x8,x02,y0(2)3(2)1626.k3×(2)2113,直线l的方程为y13x,切点坐标为(2,26)(3)切线与直线y3垂直,切线的斜率k4.设切点的坐标为(x0,y0),则f(x0)3x14,x0±1,或即切点坐标为(1,14)或(1,18)切线方程为y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.利用导数研究函数的单调性已知函数f(x)ax3x2(ar)在x处取得极值(1)确定a的值；(2)

8、若g(x)f(x)ex,讨论g(x)的单调性思路探究(1)利用f0求解(2)先求g(x),再求g(x)0的根,最后确定g(x)的单调性解(1)对f(x)求导得f(x)3ax22x.因为f(x)在x处取得极值,所以f3a·2·0,解得a.经检验满足题意(2)由(1)知g(x)ex,所以g(x)exexexx(x1)(x4)ex.令g(x)0,解得x0,x1或x4.当x<4时,g(x)<0,故g(x)为减函数；当4<x<1时,g(x)>0,故g(x)为增函数；当1<x<0时,g(x)<0,故g(x)为减函数；当x>0时,g(

9、x)>0,故g(x)为增函数综上知,g(x)在(,4)和(1,0)内为减函数,在(4,1)和(0,)内为增函数规律方法函数的单调性与导数的关注点(1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集(4)求参数的范围时常用到分离参数法跟踪训练2已知ar,函数f(x)(x2ax)ex(xr)(1)当a2时,求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增,求a的取值范围解(1)当a2时,f(x)(x22x)ex,f(x)(x22)ex.当f(x)0时,(x22)ex0,注意到e

10、x0,所以x220,解得x.所以,函数f(x)的单调递增区间为(,)同理可得,函数f(x)的单调递减区间为(,)和(,)(2)因为函数f(x)在(1,1)上单调递增,所以f(x)0在(1,1)上恒成立又f(x)x2(a2)xaex,即x2(a2)xaex0,注意到ex0,因此x2(a2)xa0在(1,1)上恒成立,也就是ax1在(1,1)上恒成立设yx1,则y10,即yx1在(1,1)上单调递增,则y11,故a.即a的取值范围为.导数与函数的极值(最值)及恒成立问题已知函数f(x)x33ax29a2xa3.(1)设a1,求函数f(x)的极值；(2)若a,且当x1,4a时,f(x)a312a恒成

11、立,试确定a的取值范围. 【导学号：97792174】思路探究(1)先求f(x)0的根,再判断极值点,求极值(2)先求f(x)在x1,4a时的最小值f(x)min,再解不等式f(x)mina312a求a的范围解(1)当a1时,f(x)x33x29x1且f(x)3x26x9,由f(x)0得x1或x3.当x1时,f(x)0,当1x3时,f(x)0,因此x1是函数的极大值点,极大值为f(1)6；当1x3时,f(x)0,当x3时,f(x)0,因此x3是函数的极小值点,极小值为f(3)26.(2)f(x)3x26ax9a23(xa)(x3a),a,当1x3a时,f(x)0；当3ax4a时,f(x)0.x

12、1,4a时,f(x)的最小值为f(3a)26a3.由f(x)a312a在1,4a上恒成立得26a3a312a,解得a.又a,a.即a的取值范围为.规律方法一般地,已知不等式在某区间上恒成立,求参数的取值范围问题,都可以转化为求函数的最值问题,而导数是解读函数最值问题的有力工具.跟踪训练3设函数f(x)x3x26xa.(1)对于任意实数x,f(x)m恒成立,求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且仅有一个实根,求a的取值范围解(1)f(x)3x29x63(x1)(x2),因为x(,),f(x)m,即3x29x(6m)0恒成立,所以8112(6m)0,得m,即m的最大值为.(2)因为当x<1

13、时,f(x)>0；当1<x<2时,f(x)<0；当x>2时,f(x)>0；所以当x1时,f(x)取极大值f(1)a；当x2时,f(x)取极小值f(2)2a；故当f(2)>0或f(1)<0时,方程f(x)0仅有一个实根,解得a<2或a>.导数与不等式问题已知函数f(x)(k为常数,e2.718 28是自然对数的底数),曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)设g(x)xf(x),其中f(x)为f(x)的导函数证明：对任意x0,g(x)1e2.思路探究(1)利用f(1)0求k.(

14、2)判断f(x)的正负(3)借助(2)的结论,构造函数解(1)f(x),由已知,f(1)0,k1.(2)由(1)知,f(x).设k(x)ln x1,则k(x)0,即k(x)在(0,)上是减函数,由k(1)0知,当0x1时,k(x)0,从而f(x)0,当x1时,k(x)0,从而f(x)0.综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,)(3)证明：由(2)可知,当x1时,g(x)xf(x)01e2,故只需证明g(x)1e2在0x1时成立当0x1时,ex1,且g(x)0,g(x)1xln xx.设f(x)1xln xx,x(0,1),则f(x)(ln x2),当x(0,e2)时

15、,f(x)0,当x(e2,1)时,f(x)0,所以当xe2时,f(x)取得最大值f(e2)1e2.所以g(x)f(x)1e2.综上,对任意x0,g(x)1e2.规律方法利用导数解决不等式问题(如：证明不等式,比较大小等),其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性,而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此,解决该类问题通常是构造一个函数,然后判断这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间上的最值使问题得以求解.跟踪训练4已知函数f(x)x2aln x(ar),(1)若f(x)在x2时取得极值,求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)求证：当x1时,x2ln xx3.解(1)

16、f(x)x,因为x2是一个极值点,所以20,则a4.此时f(x)x,因为f(x)的定义域是(0,),所以当x(0,2)时,f(x)0；当x(2,),f(x)0,所以当a4时,x2是一个极小值点,则a4.(2)因为f(x)x,所以当a0时,f(x)的单调递增区间为(0,)当a0时,f(x)x,所以函数f(x)的单调递增区间为(,)；递减区间为(0,)(3)证明：设g(x)x3x2ln x,则g(x)2x2x,因为当x1时,g(x)0,所以g(x)在x(1,)上为增函数,所以g(x)g(1)0,所以当x1时,x2ln xx3.导数的实际应用现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱

17、锥p­a1b1c1d1,下部的形状是正四棱柱abcd­a1b1c1d1(如图3­1所示),并要求正四棱柱的高o1o是正四棱锥的高po1的4倍图3­1(1)若ab6 m,po12 m,则仓库的容积是多少？(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当po1为多少时,仓库的容积最大？思路探究(1)利用锥体和柱体的体积公式求解；(2)利用锥体和柱体的体积公式建立目标函数,结合导数法求解解(1)由po12知o1o4po18.因为a1b1ab6,所以正四棱锥p­a1b1c1d1的体积v锥·a1b·po1×62×224(m3

18、)正四棱柱abcd­a1b1c1d1的体积v柱ab2·o1o62×8288(m3)所以仓库的容积vv锥v柱24288312(m3)(2)设a1b1a m,po1h m,则0<h<6,o1o4h.如图,连接o1b1.因为在rtpo1b1中,o1bpopb,所以h236,即a22(36h2)于是仓库的容积vv柱v锥a2·4ha2·ha2h(36hh3),0<h<6,从而v(363h2)26(12h2)令v0,得h2或h2(舍去)当0<h<2时,v>0,v是单调递增函数；当2<h<6时,v<0,v是单调递减函数故当h2时,