第十二章第二节1

1、1正项级数正项级数交错级数交错级数绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛constant term infinite series第二节第二节 常数项级数常数项级数的审敛法的审敛法 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数21. 定义定义 1nnu nsss21收敛的充要条件收敛的充要条件部分和数列单调增加部分和数列单调增加.nsssnn lim,)1(时时当当 n.1发散发散级数级数 nnu有上界有上界若若)2(nspositive term series0 nu常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一、一、正项级数正项级数审敛法审敛法定理定理1 1正项级数正项级数收敛收敛部分和数列部分和数列有界有界

2、ns3 例例1 判定判定 的敛散性的敛散性. 1121nn解解121 nn211 与与一个一个已知已知敛散性的敛散性的正项正项级数级数来来比较比较可以判定可以判定正项级数正项级数的的敛散性敛散性.,21n . 1 正项正项级数收级数收敛敛.正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列ns有界有界.常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 nkkns1121 nkk12142. 比较审敛法比较审敛法证证定理定理2 2nnuuus 21 1nnv 设设nnvu 部分和数列有界部分和数列有界. 1nnunvvv 21,nnvu 若若收敛收敛 1nnv 1nnu收敛收敛发散发散 1nnu 1n

3、nv发散发散收敛收敛 0常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法5nns )( nsn设设nnuv 无界数列，无界数列， 1nnv比较审敛法的不便比较审敛法的不便: 须有参考级数须有参考级数. 1nnu发散发散 1nnv发散发散发散。发散。推论推论,1收敛收敛 nnu)(nnukvnn 1nnv收敛收敛证证,0nnvu 若若常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法6解解, 1 p设设, 1 p设设 pn1pppnns131211 nnppxxxx121dd1(1)(2)nnp11 nnpxx1d比较审敛法比较审敛法发散发散. . 11npnppxnnx11, 时时当当 nnpnx1d常数项级数的审敛法

4、常数项级数的审敛法例例2 2级级数数 p pppn131211)0( p npxdx11)11(1111 pnp111 p有界有界ns收敛收敛. . 11npn 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppp7(1) 几何级数几何级数正项正项级数的比较判定法级数的比较判定法, 常用的比较级数常用的比较级数(2) p-级数级数(3) 调和级数调和级数 0nnq 时，发散时，发散当当时，收敛时，收敛当当11pp 11npn nnn13121111发散发散常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 时，发散时，发散当当时，收敛时，收敛当当11qq8;1收敛收敛 nnunun1 推论推论1,1 pn

5、upn.1发散发散 nnu定理定理2 2 比较审敛法比较审敛法,0nnvu 若若收敛收敛 1nnv收敛收敛 1nnu发散发散 1nnu发散发散 1nnv常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法9例例3 讨论讨论正项级数正项级数的敛散性的敛散性.nnn3sin2)1(1 解解 (1) nnnu3sin2 等比级数等比级数 收敛收敛. 1)32(nn 原级数收敛原级数收敛.n)32( nn32 比较审敛法，比较审敛法，常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法10解解3)1(1 nnun32)1(1 n 132)1(1nnp-级数发散级数发散. 原级数原级数 nn321 13)1(1)2(nnn 发散发散时

6、时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppp,11 npn发散发散.2比较审敛法，比较审敛法，常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法11解解xxnd10 1231nn, 123 p原级数原级数xxxunnd1102 23132n xxxnnd1)3(1102 0收敛收敛.p-级数级数, 收敛收敛.比较审敛法，比较审敛法，常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法12,11都都是是正正项项级级数数与与设设 nnnnvu如果如果,limlvunnn ,0)1(时时当当 l,0)2(时时当当 l,)3(时时当当 l3.3.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式定理定理3 3,1收敛收敛若若 nnv;1收敛

7、收敛则则 nnu,1发散发散若若 nnv.1发散发散则则 nnu两级数有相同的敛散性两级数有相同的敛散性;常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法!的的阶阶数数实实质质是是比比较较通通项项无无穷穷小小13证证,lim)1(lvunnn 02 l 取取,n ,时时当当nn 22llvullnn )(232nnvluvlnnn 即即比较审敛法，敛散性相同。比较审敛法，敛散性相同。,0)1(时时当当 l敛敛散散性性相相同同。,limlvunnn 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法14注注快速的审敛法快速的审敛法: (1)与与p-级数比较级数比较. 127223132nnnnn例如例如收敛收敛.123

8、p常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 12tan3nnn 例如例如发散发散., n,232tan3nnn 123nn发散发散.(2)与幂级数比较。与幂级数比较。,1231322/3272nnnnn 15解解)1(nnn 31limnn1sinlim 1 )2(nnn311lim 1 .311收敛收敛 nn原级数原级数收敛收敛。原级数发散。原级数发散。n31例例4 判定下列判定下列级数级数的敛散性的敛散性 11sin)1(nn 131)2(nnn比较审敛法的极限形式，比较审敛法的极限形式，n1常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法16.)cos1(1的敛散性的敛散性判定级数判定级数 nn 解解n

9、n cos1lim 12)(nn 1221nn 收敛收敛,级数级数 1)cos1 (nn 1 2cos12xx 0 x收敛收敛.2, pp级数级数常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法2)(21n 17.ln12的敛散性的敛散性判定级数判定级数 nnn解解2lnlimnnn 231nnnnlnlim 0 收敛收敛 1231nn.ln12收敛收敛 nnn常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法18证证 nnuu1定理定理4 4达朗贝尔达朗贝尔,17171783, 法国数学家、力学家、哲学家法国数学家、力学家、哲学家,1 nnu设正项级数设正项级数 nnnuu1lim nnuu14.4.比值审敛法比值审

10、敛法( (达朗贝尔达朗贝尔 判定法判定法) ) alembertd,收敛收敛发散发散 方法失效方法失效 1nnu 1nnu1 1 1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法, 0 ,n ,时时当当nn 19,1时时当当 , 取取, 1 r使使,时时当当nn ,1nnnuuru nnu lim发散发散发散发散级数级数 11nn收敛收敛级数级数 121nn例如例如,1时时当当 比值审敛法失效比值审敛法失效. nnuu10 nnnuu1lim1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法,n , 0 取取,n ,时时当当nn ,1时时当当 , 1 r 使使,1nnuru ,nkknuru 等比级数收敛等比级

11、数收敛202. 比值判别法判定级数发散，比值判别法判定级数发散，注注 方法失效方法失效.级数的通项级数的通项un不趋于零不趋于零.3. 当当=1nnnuu1lim 或或 不存在时不存在时,4. 条件是充分的条件是充分的,含有连乘积。含有连乘积。一般项一般项nu. 1不是必要的不是必要的.收敛收敛正项级数正项级数 1nnu1lim1 nnnuu,1时时 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法21nn2)1(2 nnuu1.a,a,nn2361122 nnnuu1lim 12)1(2nnn级数级数例如例如n23 级数级数收敛收敛 )1(22)1(21nnna不存在不存在 1nnu)0( nu收敛收敛

12、1lim1 nnnuu常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法22解解)( n)1( nnuu1101 n.10!1发散发散级数级数 nnn比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数. . 例例5 判定下列判定下列级数级数的敛散性的敛散性 110!)1(nnn 12)12(1)2(nnn!1010)!1(1nnnn 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法23nnnuu1lim 1 比值审敛法失效比值审敛法失效, )12(21lim nnn.)12(211收敛收敛级数级数 nnn解解)22()12(2)12(lim nnnnn21n41 改用比较审敛法改用比较审敛法的极限形式的极限

13、形式。 12)12(1)2(nnn常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法24例例6 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性.)0(1 xnxnn解解nnnuu1lim 当当0 x1时时,当当 x=1时时, xnnn1lim nxnxnnn1lim1 发散发散;发散发散.x 调和级数调和级数,收敛收敛;常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法25例例7 判定级数判定级数 的敛散性的敛散性.3cos221 nnnn 解解3cos202 nnn nnnnn221lim1 收敛，收敛， 12nnn比较判别法，比较判别法，原级数收敛原级数收敛.2121lim nnn1 nn2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法

14、26例例8 利用级数收敛性，证明利用级数收敛性，证明. 0) !(lim2 nnnn证证 考虑级数考虑级数,) !(12 nnnnnnnuu1lim nnnnnnn221) !()!1()1(lim nnnn1111lim0 级数级数 收敛收敛. 12) !(nnnn必要条件，必要条件，. 0) !(lim2 nnnn1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法27例例9 证明证明:级数级数 发散发散. 1!nnnnne证证 nnuu1nnne)1( nne)11( , e . 11 nnuu.1nnuu . 0lim nnu级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件, 原级数原级数发散发散.!)1()

15、!1(11nennnennnn nn)11( 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法28, 0 a设设 112102)1()1()1)(1)(1(nnnnaaaaa解解 nnnuu1lim 10 a01 a211 aa,10时时当当 a发散发散.收敛收敛;,1时时当当 a nnnaa1lim1常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法讨论级数的敛散性讨论级数的敛散性。29.11 nnn级数级数定理定理5 5柯西柯西(cauchy) (法法)17891857适用于适用于:以以n为指数幂的因子为指数幂的因子5. 根值审敛法根值审敛法 (柯西判别法柯西判别法),1 nnu设正项级数设正项级数 方法失效方法失

16、效收敛收敛 1nnu发散发散 1nnu1 1 1 nnnulim常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法30例例10 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性. 1)12(nnann解解annn)12(lim a)21( 当当a0时时,a)21(级数级数收敛收敛;当当a0时时,a)21(级数级数发散发散;当当a=0时时,根值法根值法失效失效, 11 n发散发散.nnnu limnnannn)12(lim , 1 , 1 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法31判定判定 的敛散性的敛散性. 1ln72nnn解解根值审敛法根值审敛法)(12 n. 0lnlim nnn级数发散级数发散.nnln72 nnnnnuln72常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法32注注 1. 根值法条件是充分的根值法条件是充分的,不是必要的不是必要的. 1