数字信号处理DSP第二章2z反变换

1、2021-11-14数字信号处理二、z反变换实质：求x(z)幂级数展开式z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法( )( )x nizt x zz反变换: 从x(z)中还原出原序列x(n)( ) ( )( )nnx zzt x nx n z2021-11-14数字信号处理1、围线积分法（留数法） 根据复变函数理论，若函数x(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内x(z)可展开成罗朗级数，即而 其中围线c是在x(z)的环状收敛域内环绕原点的一条反时针方向的闭合单围线。,0,xxxxrzrrr （）( )nnxxnx zc zrzr11( )2nnccx z zdzj re

2、 zim jz0 xrxrc0, 1, 2,n 2021-11-14数字信号处理 若f(z)在c外m个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：11( )( )(,)2nxxcx nx z zdzcrrj 1( )( )nf zx z z( )re ( )kz zkx ns f z( )re ( )mz zmx ns f z 利用留数定理求围线积分，令若f(z)在围线c上连续，在c内有k个极点zk，则：2021-11-14数字信号处理留数的计算公式单阶极点的留数：re ( )() ( )rrz zrz zs f zzz f z2021-11-14数字信号处理2( ) 1/

3、44(4)(1/4)zx zzzz例1：，求其z反变换re zim jz0c41/4211( )(,)2(4)(1/4)nxxczx nzdzcrrjzz 解：211( )(4)(1/4)(4)(1/4)nnzzf zzzzzz其中：11( )4nf zcz 当时在围线 内只有一阶极点14( )re ( )zx ns f z1141()4 (4)(1/4)nzzzzz415n2021-11-14数字信号处理11( )(1)04nf zcznz 当时在围线 内有一阶极点和-阶极点4( )re ( )zx ns f z 14441/4nzzzzz 2415ncz=4f(z)而围线 外只有一阶极点，

4、且的分母多项式阶次高于分子多项式阶次两次以上244( )(1)(2)1515nnx nu nun re zim jz0c41/42021-11-14数字信号处理2( ) 4(4)(1/4)zx zzzz例2：，求其z反变换re zim jz0c41/4解： 收敛域是圆的外部 lim( )1x(z)z=zx z 又，即在处收敛( )( )00 x nx nn是一个因果序列，即，( )x n是右边序列10( )c(4)(1/4)0( )0nznf zzzx n同样当时，由在 外无极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由围线外极点留数为 可得2021-11-14数字信号处理0n 当时1( )(4)(

5、1/4)nzf zzz144cz 在围线 内有一阶极点， re zim jz0c41/441/4( )re ( )re ( )zzx ns f zs f z111441(4)()114(4)()(4)()44nnzzzzzzzzzz21(44)15nn21( )(44) ( )15nnx nu n思考：n=0,1时，f(z)在围线c外也无极点，为何( )0 x n 2021-11-14数字信号处理211( ) 1(1)(1)ax zaazaz例3：，求z反变换21111( )2(1)(1)ncax nzdzjazaz 解：221111(1)( )(1)(1)()() cx(z)nnaazf z

6、zazaza zaza其中：为收敛域内闭合围线1( ),x zza a而题中未给出收敛域，根据的极点有三种可能的收敛域：111) 2) 3) zazaaza2021-11-14数字信号处理re zim jz0c1aa11) za收敛域是圆的外部 lim( )0zx z又，( )( )00 x nx nn是因果序列，即，0n 当时1( )f zczaa在围线 内有一阶极点，1( )re ( )re ( )z az ax ns f zs f z122111(1)(1)()()()()()()nnz az aazazzazaa zazaa zazannaa( )() ( )nnx naau n202

7、1-11-14数字信号处理re zim jz0c1aa2) za0n 当时( )f zc在围线 内无极点( )0 x n 故0n 当时( )0f zcnz 在 内有- 阶极点1,cza a在 外有一阶极点且分母阶次比分子高两阶以上1( )re ( )re ( )z az ax ns f zs f z ()nnnnaaaa ( )() (1)nnx naaun 2021-11-14数字信号处理re zim jz0c1aa0n 当时( )f zcza在 内有一阶极点( )re ( )nz ax ns f za0n 当时( )0f zczanz在 内有一阶极点和- 阶极点1,cza在 外有一阶极点且

8、分母阶次比分子高两阶以上1( )re ( )nz ax ns f za ( )( )(1)nnnx na u na una 13) aza2021-11-14数字信号处理2、部分分式展开法x(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：12( )( )( )( )( )( )kb zx zxzxzxza z( )( )x nizt x z12( )( )( )kizt xzizt xzizt xz对各部分分式求z反变换：2021-11-14数字信号处理01( )( )( )1miiiniiib zb zx za za z11011( )11mnmrrnkknknkkkiacx zb zz zz z(

9、 )re1,2,kkz zx zaskmrz用留数定理求系数：2021-11-14数字信号处理1125( ) 2316zx zzzz例：，求z反变换re zim jz032 23353123zzx zareszzzz 112255516623zzzx zzzzzzz解： 1252323x zaazzzzz 12252123zzx zareszzzz2021-11-14数字信号处理 1123x zzzz 111123121 3zzx zzzzz23z11( )1nzt a u nzaaz11(1)1nzt a unzaaz 1112z2( )nu n2z 111 3z3(1)nun 3z 231

10、nnx nu nun 2021-11-14数字信号处理3、幂级数展开法（长除法）把x(z)展开成幂级数( )( )nnx zx n z1012( 1)(0)(1)(2)xzxzxzxz级数的系数就是序列x(n)2021-11-14数字信号处理根据收敛域判断x(n)的性质，在展开成相应的z的幂级数 将x(z) x(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列xzrxzr2021-11-14数字信号处理解：由roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数11( ) (1)x zzaaz例：，求z反变换122330( )1nnnx

11、zaza za za z ( )( )nx na u n11112222223333111 azazazaza za za za za z122331aza za z2021-11-14数字信号处理11( ) (1)x zzaaz例：，求z反变换122331( )nnnx za za za za z -( )(1)nx na un 解：由roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数111122221 11 aza za za za za z12233a za za z2021-11-14数字信号处理2( ) 1/44(4)(1/4)zx zzzz例：，求z反变换解：x(z)的roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把x(z)展成部分分式161( )1515(4)()41/41/4x zzzzzzz2021-11-14数字信