第九章多元函数的积分学及其应用95

1、第五节第五节 曲线积分曲线积分一、对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分二、对坐标的曲线积分二、对坐标的曲线积分三、小结三、小结 思考题思考题一、对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分 问题的提出问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l. sm 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insmmm ,),(iiis 取取.),(iiiism 求和求和.),(1 niiiism 取极限取极限.),(lim10 niiiism 近似值近似值精确值精确值,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisi

2、nlmmmllyxfxoyl并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设1. 定义定义oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l010,( , ),( , )d ,( , )dlim(,).lniiilif x ylf x ysf x ysfs 如如果果当当各各小小弧弧段段的的长长度度的的最最大大值值时时这这和和的的极极限限存存在在 则则称称此此极极限限为为函函数数在在曲曲线线弧弧 上上对对弧弧长长的的曲曲

3、线线积积分分或或 第第一一类类曲曲线线积积分分 记记作作即即被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量( , )d .lmx ys 存在条件：存在条件：( ,),( , )d.lf x ylf x ys 当当在在光光滑滑曲曲线线弧弧 上上连连续续时时对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分存存在在 *推广推广( , , )f x y z 函函数数在在空空间间曲曲线线弧弧上上对对弧弧长长的的曲曲线线积积分分为为01( , , )dlim(,).niiiiif x y zsfs 性质性质 1 ( )( , )( , )d( , )d( , )d .lllf x yg

4、x ysf x ysg x ys 12(2)( , )d( , )d( , )d .lllf x ysf x ysf x ys).(21lll （ 为常数）为常数）, 2. 对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxllyxfl且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设注意注意: :; 一定要小于上限定积分的下限特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyl 2( , )d ,( ) 1( )d .bla

5、f x ysf xxxx )(ba *推广推广:( ),( ),( ).()xtytztt222( , , )d ( ),( ),( )( )( )( )d()f x y zsfttttttt .)(:)2(dycyxl 2( , )d ( ), 1( )d .dlcf x ysfyyyy )(dc 例例1cos ,d ,:().sin ,lxatixy s lybt 求求椭椭圆圆第第 象象限限解解2220cossin(sin )( cos ) diat btatbtt 222220sin cossincosdabtt atbt t 222dababuuab )cossin(2222tbtau

6、 令令.)(3)(22bababaab 例例22d ,:4 ,(1,2)(1, 2).liy sl yx 求求其其中中从从到到一一段段解解2221() d2yiyy . 0 *例例3d ,:cos ,sin ,.(02)ixyz sxayazk 求求其其中中的的一一段段解解2221.2kaak 222cos sindakak20i xy42 *例例422222d ,0.ixsxyzaxyz 求求其其中中为为圆圆周周解解 由对称性由对称性, 知知222ddd .xsyszs2221()d3ixyzs 故故2d3as 32.3a (2d ,)as 球球面面大大圆圆周周长长,),()1(的线密度时的

7、线密度时表示表示当当lyx ( , )d ;lmx ys (2)( , )1,d ;lf x yls 弧弧长长当当时时,),(),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的上的表示立于表示立于当当yxlyxf( , )d .lsf x ys 柱柱面面面面积积sl),(yxfz 3.几何与几何与物理意义物理意义,)4(轴的转动惯量轴的转动惯量轴及轴及曲线弧对曲线弧对yx22d ,d .xyllixsiys曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(dd,.ddllllxsysxyssoxyabl1 nmim1 im2m1mix iy 问题的提出问题的提出实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所

8、作的功,:baljyxqiyxpyxf),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110bmyxmyxmmannnn .)()(1jyixmmiiii .abfw 二、对坐标的曲线积分二、对坐标的曲线积分求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyqxp 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyqxpw 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jqipfiiiiii 取取,),(1iiiiimmfw .),(),(iiiiiiiyqxpw 即即 niiww1oxyabl1 nmim1 im2m1m),(iif ix iy ,0.),(,

9、).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段如果当各小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnmmyyyxxxbmamnimmnlyxmyxmyxmllyxqyxpbaxoyl 1.定义定义101(,),( , )(,( , )dlim(,).niiiiniiilipxp x ylxp x yxpx 的的极极限限存存在在则则称

10、称此此极极限限为为函函数数在在有有向向曲曲线线弧弧 上上对对坐坐标标 的的曲曲线线积积分分 或或称称第第二二类类曲曲线线积积分分）记记作作类似地定义类似地定义01( , )dlim(,).niiiliq x yyqy ,),(),(叫做被积函数叫做被积函数其中其中yxqyxp.叫积分弧段叫积分弧段l 存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当lyxqyxp 组合形式组合形式( , )d( , )d( , )d( , )dlllp x yxq x yyp x yxq x yy ,ddd.fpiqjsxiyj 其其中中d .

11、lfs * *推广推广 空空间间有有向向曲曲线线弧弧01( , , )dlim(,).niiiiip x y zxpx ddd .p xq yr z 01( , , )dlim(,).niiiiiq x y zyqy 01( , , )dlim(,).niiiiir x y zzrz 性质性质1212(1),dddddd .llllllp xq yp xq yp xq y如如果果把把 分分成成和和则则则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)2(lll 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.( , )d( , )d( ,

12、 )d( , )dllp x yxq x yyp x yxq x yy 线形性质还是成立的。线形性质还是成立的。 ,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 ldyyxqdxyxpttttblalyxmttytxllyxqyxp 定理定理2.对坐标的曲线积分的计算对坐标的曲线积分的计算( , )d

13、( , )d ( ),( ) ( ) ( ),( )( )dlp x yxq x yyptttqtttt 且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyl，终点为，终点为起点为起点为 dd , ( ) , ( ) ( )d .blap xq yp x y xq x y xy xx 则则.)(:)2(dcyyxxl，终点为，终点为起点为起点为 dd ( ), ( ) ( ), d .dlcp xq yp x yy x yq x yyy 则则( )(3):( ),.( )xtyttzt 推推广广起起点点终终点点ddd ( ),( ),( )( ) ( ),( ),( )( ) ( ),( ),(

14、)( )dp xq yr zpttttqttttrttttt *(4) 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()( tytxl ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为( ,),lx y 上上点点处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角为为dd(coscos)dllp xq ypqs则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ） ( , ), ,x y z 上上点点处处的的切切线线向向量量的的方方向向角角为为ddd(coscoscos )dp xq yr zpqrs则则da t s dar d ,ta

15、s 可用向量表示可用向量表示，其中其中,rqpa cos ,cos,cos ,t ddd ,d ,d rt sxyz 有向曲线元；有向曲线元；.上的投影上的投影在向量在向量为向量为向量taat( , , )x y z 上上点点处处的的单单位位切切向向量量例例52d ,(1, 1)(1,1).lxy xlyxab 计计算算其其中中 为为抛抛物物线线上上从从到到的的一一段段弧弧解解的定积分，的定积分，化为对化为对x)1(.xy dddlaoobxy xxy xxy x0110()ddxxxxx x31202dxx .54 xy 2)1, 1( a)1 , 1(b的定积分，的定积分，化为对化为对y)

16、2(,2yx ddlabxy xxy x 1221() dy y yy . 11到到从从 y1412dyy .54 xy 2)1, 1( a)1 , 1(b例例6解解,sincos:)1( ayaxl0 从从变变到到 ，计算计算dd ,lx yy x 其中其中l分别为分别为 （1 1） 圆心为原点、半径为圆心为原点、半径为a、按逆时针方向绕、按逆时针方向绕行的上半圆；行的上半圆； （2 2） 从点从点 0,a a沿沿x轴到点轴到点 0- ,ba的直线段。的直线段。 0cossinsincosdaaaa 原式)0 ,(aa)0 ,( ab )0 ,(aa)0 ,( ab , 0:)2( yl，变

17、到变到从从aax 0daax 原原式式. 0 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.30a 220daa 例例72222dd ,(1)(0,0)(1,1);(2)(0,0)(1,1);(3),(0,0)(1,0),(1,1).lxy xxylyxobxyoboabo a b 计计算算其其中中 为为抛抛物物线线上上从从到到的的一一段段弧弧抛抛物物线线上上从从到到的的一一段段弧弧有有向向折折线线，这这里里依依次次是是点点解解.)1(的积分的积分化为对化为对 x, 10,:2变到变到从从xxyl 1220(22 )d

18、x xxxx 原原式式1304dxx . 1 2xy )0 , 1(a)1 , 1(b) 0 , 1 (a)1 ,1(b2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxl 1240(22)dyyyyy 原原式式1405dyx . 1 )0 , 1(a)1 , 1(b)3(222dd2ddoaabxy xxyxy xxy 原原式式,上上在在 oa,10, 0变到变到从从xy 12202dd(200)doaxy xxyxxx. 0 ,上上在在 ab,10, 1变到变到从从yx 1202dd(201)dabxy xxyyy. 1 10 原原式式. 1 ) 0 , 1 (a)

19、1 ,1(b问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.三、三、小结小结 思考题思考题1.1.对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念2.2.对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算3.3.对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用4.对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念5.对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算*6.两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系思考题思考题1对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？is 思考题思考题1解答解答is 的符号永远为正，

20、它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度.思考题思考题2 当曲线当曲线l的参数方程与参数的变化范围给定的参数方程与参数的变化范围给定之后（例如之后（例如l：taxcos ，taysin ，0,2t ，a是正常数），试问如何表示是正常数），试问如何表示 l的的方向（如方向（如l表示为顺时针方向、逆时针方向）？表示为顺时针方向、逆时针方向）？ 思考题思考题2解答解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例例如如l：taxcos ，taysin ，0,2t 中中 当当t从从 0 变到变到2时，时，l取逆时针方向取逆时针方向; 反反之之当当t从从2变变到到 0 时时，l取取

21、顺顺时时针针方方向向. 一、一、 填空题填空题: : 1.1.已知曲线形构件已知曲线形构件l的线密度为的线密度为),(yx , ,则则l的质量的质量m= =_； 2.2.dls = =_； 3.3.对对_的曲线积分与曲线的方向无关；的曲线积分与曲线的方向无关； 4.4.( , )dlf x ys = =22 ( ), ( )( )( )dfttttt 中要中要求求 _ . . 练习题练习题 5 5. .对对_的曲线积分与曲线的方向有关；的曲线积分与曲线的方向有关； 6 6. .设设( , )d( , )d0lp x yxq x yy , ,则则 ( , )d( , )d( , )d( , )d

22、llp x yxq x yyp x yxq x yy _； 7 7. .在公式在公式( , )d( , )dlp x yxq x yy ( ), ( )( ) ( ), ( ) ( )dptttqtttt 中中, ,下下 限限对应于对应于l的的_点点, ,上限上限 对应于对应于l的的_点；点； * *8 8、两类曲线积分的联系是、两类曲线积分的联系是_ _. . 二、二、 计算下列对弧长的曲线积分计算下列对弧长的曲线积分: : 1.1.22edxyls , ,其中其中l为圆周为圆周222ayx , ,直线直线xy 及及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界

23、； *2.*2.2dx yz s , ,其中其中l为折线为折线abcd, ,这里这里dcba, 依次为点依次为点(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3.3.22()dlxys , ,其中其中l为曲线为曲线 )cos(sin)sin(costttaytttax 02t ； 4.4.计算计算dlys , ,其中其中l为双纽线为双纽线 )0()()(222222 ayxayx . . 三、计算下列对坐标的曲线积分三、计算下列对坐标的曲线积分: : 1.1.dlxy x , ,l其中其中为圆周为圆周)0()(

24、222 aayax及及x轴轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界所围成的在第一象限内的区域的整个边界 ( (按逆时针方向按逆时针方向绕行绕行) )； 2.2.22()d()dlxyxxyyxy , ,l其中其中为圆周为圆周 222ayx ( (按逆时针方向饶行按逆时针方向饶行) )； *3*3. .dddxyy z , ,其中为有向闭折线其中为有向闭折线abcd, ,这里这里 的的cba,依次为点依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4 4. .ddabcdaxyxy , ,其中其中abcda是以是以)0 , 1(a，)1 , 0(b, , )0 , 1( c, ,)1, 0( d为顶点的正方形正向边界线为顶点的正方形正向边界线 . . * *四、设螺旋形弹簧一圈的方程为四、设螺旋形弹簧一圈的方程为taxcos , ,taysin , , ktz , ,其中其中02t , ,它的线密度它的线密度 222),(zyxzyx , ,求求: : 1. 1.它关于它关于z轴的转动轴的转动zi惯量惯量； 2. 2.它的重心它的重心 . . * *五、设五、设z轴与重力的方向一致轴与重力的方向一致, ,求质量求质量为为m的质点从位置的质点从位置),(111zyx沿直线移到沿直线移到),(222zyx时重力所作的功