第一章3导数的几何意义

1、复习 1.平均变化率的定义: 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.1212)()(xxxfxf令x = x2 x1 , f = f (x2) f (x1) ,则2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率xfxxxfxf 1212)()(复习:导数的概念 定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变量y=f(x0+ x)- f(x0).如果当x0 时,y/x的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:,|)(00 xxyxf 或或000

2、00()()()limlim.xxf xxf xyfxxx 由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:1. 求函数的改变量2. 求平均变化率3. 求值);()(00 xfxxff.lim)(00 xfxfx;)()(00 xxfxxfxf一差、二化、三极限1.1.3导数的几何意义2. 如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是（ ）a.圆 b.抛物线 c.椭圆 d.直线)2( ),1( ),( ,)(12ffxfxxf求：设例的值代入求得导数值。再将自变量义求思路：先根据导数的定),( xfxxxxxxxxxxxfxxfxfxxx2)2(lim)(lim)()(

3、lim)( 02200解：由导数的定义有422)( )2( 2) 1(2)( ) 1( 21xxxffxff处的导数。在：求函数例12xxy21111lim0 xx211xyxxxyxy1111解法一：111x处的导数。在：求函数例12xxyxxxxxxxxyxxxy1解法二：xxxxxyxx211limlim00211xyxy2100()( )( )limlimxxyf xxf xf xyxx 在不致发生混淆时，导函数也简称导数000( )()( )()( ).yfxxfxfxfxx 函 数在 点处 的 导 数等 于 函 数的 导 函 数在 点处 的 函 数 值 什么是导函数?由函数f(x)

4、在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即: 瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数. 是函数f(x)在以x0与x0+x 为端点的区间x0,x0+x(或x0+x,x0)上的平均变化率,而导数则是函数f(x)在点x0 处的变化率,它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度 xxfxxfxy )()(00 如果函数y=f(x)在点x=x0存在导数,就说函数y=f(x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f(x)在点x0处不可导.0000( )()()limxxf xf xfxxx思考一下，导数可以用

5、下式表示吗？下面来看导数的几何意义: y=f(x)pqmxyoxy 如图,曲线c是函数y=f(x)的图象,p(x0,y0)是曲线c上的任意一点,q(x0+x,y0+y)为p邻近一点,pq为c的割线,pm/x轴,qm/y轴,为pq的倾斜角.tan,: xyymqxmp则则yx请问：是割线pq的什么?斜率!pqoxyy=f(x)割割线线切切线线t请看当点q沿着曲线逐渐向点p接近时,割线pq绕着点p逐渐转动的情况. 我们发现,当点q沿着曲线无限接近点p即x0时,割线pq有一个极限位置pt.则我们把直线pt称为曲线在点p处的切线. 设切线的倾斜角为,那么当x0时,割线pq的斜率,称为曲线在点p处的切线

6、的斜率. 初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。割线趋近于确定的位置的直线定义为切线.曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。即:00000()( )( )limlimxxf xxf xykf xxx 切线 这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; 切线斜率的本质函数在x=x0处的导数.轴平行就是切线与不存在，）的处导数（）在点（若曲线yxfxfxpxfy)()(,)2(000., 0)(0)(, 0)(000轴平行切线与正向夹角为钝角；轴切线与轴正向夹角为锐角，切线与xxfxxfxxf例1:求曲线y=f(

7、x)=x2+1在点p(1,2)处的切线方程.qpy=x2+1xy-111ojmdydx. 2)(2lim) 11 (1)1 (lim)()(lim:2020000 xxxxxxxfxxfkxxx解解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:先利用切线斜率的定义求出切线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.例2.如图1.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t) =-4.9t2+6.5t+10 的 图象，根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0.t1.t2 附近的变化情况 例3 如图1.1-4,它表示人体血管中药物c=f(t)(单位：mgml）随

8、时间t(单位：min)变化的函数图象。根据图象，估计t=0.2. 0.4. 0.6. 0.8min时，血管中药物质浓度的瞬时变化率（精确到0.1）练习:如图已知曲线 ,求:(1)点p处的切线的斜率; (2)点p处的切线方程.)38, 2(313pxy上上一一点点 yx-2-112-2-11234op313yx. 42|22 xy即点p处的切线的斜率等于4. (2)在点p处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.31)(3133xxxxd-d+.)(33lim31)()(33lim31limlim,31)1(22203220003xxxxxxxxxxxxyyxyxxxx=d+d+=dd+d+d=dd=dddd解：解：（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy d.求切线方程的步骤：小结: 无限逼近的极限思想是建立无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导