第七章多元函数微积分

1、 的图形，该函数8 (0,0)( , 0 (0,0)( 2222x,yx,y,yx)yx(xy)y,x(f1(0,0) xyf1(0,0) yxf 二元函数而1 二重极限存在的例子2 二重极限不存在的例子 3 偏导数的几何意义 含复习一元函数导数4 全微分的几何意义 含复习一元函数微分5 方向导数 6 七框图 7 多元函数的极值 oxy1z = x2 + y2 + 1y=kx在平面上的在平面上的(0,0)点处点处1)1(lim2200 yxyx.)00()(,x,y以以任任何何方方式式例如：例如：)00()( ,x,ykxy 沿沿z(和的极限等于极限的和和的极限等于极限的和)1. 1. 二重极

2、限存在的例子二重极限存在的例子都有都有 z 1有有 z 1有有故：在故：在xoy平面上平面上点点.oxy 22yxxyz kxyy,xp 沿沿直直线线点点 )() )不不存存在在故故y,xfyx(lim 2200limyxxykxyxzay= x21kk ) )时时，有有 ,(.那么，那么，曲面曲面在点在点(0,0)附近附近的形状是怎样的呢的形状是怎样的呢?曲面与曲面与z轴无交点轴无交点;曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；曲面关于平面曲面关于平面 y= x对称；对称；y= x)0 ,0(),( yx2. 2. 二重极限不存在的例子二重极限不存在的例子oxy)0 ,0(),( , 22

3、 yxyxxyzy=xza.d.那么，曲面在点那么，曲面在点(0,0)附近附近的形状是怎样的呢的形状是怎样的呢?曲面与曲面与z轴无交点轴无交点;曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；曲面关于平面曲面关于平面 y= x对称；对称；y = 0kxyy,xp 沿沿直直线线点点 )() )不不存存在在故故y,xfyx(lim 2200limyxxykxyx21kk ) )时时，有有 ,(2. 2. 二重极限不存在的例子二重极限不存在的例子.oxy)0 ,0(),( , 22 yxyxxyzy=kxy=x21za.d.那么，曲面在点那么，曲面在点(0,0)附近附近的形状是怎样的呢的形状是怎样的呢?

4、曲面与曲面与z轴无交点轴无交点;曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；曲面关于平面曲面关于平面 y= x对称；对称；y = 0.kxyy,xp 沿沿直直线线点点 )() )不不存存在在故故y,xfyx(lim 2200limyxxykxyx21kk ) )时时，有有 ,(2. 2. 二重极限不存在的例子二重极限不存在的例子.oxy)0 ,0(),( , 22 yxyxxyzy=kxy=x21kk 21zay= x21 .d.那么，曲面在点那么，曲面在点(0,0)附近附近的形状是怎样的呢的形状是怎样的呢?曲面与曲面与z轴无交点轴无交点;曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；曲面关于平

5、面曲面关于平面 y= x对称；对称；.y = 0.kxyy,xp 沿沿直直线线点点 )() )不不存存在在故故y,xfyx(lim 2200limyxxykxyx21kk ) )时时，有有 ,(2. 2. 二重极限不存在的例子二重极限不存在的例子.oxy)0 ,0(),( , 22 yxyxxyzy=kxy=x21kk 21zay= x21 .d.那么，曲面在点那么，曲面在点(0,0)附近附近的形状是怎样的呢的形状是怎样的呢?曲面与曲面与z轴无交点轴无交点;y = 0曲面关于平面曲面关于平面 y=x对称；对称；曲面关于平面曲面关于平面 y= x对称；对称；.但曲面无限逼近但曲面无限逼近z轴轴k

6、xyy,xp 沿沿直直线线点点 )() )不不存存在在故故y,xfyx(lim 2200limyxxykxyx21kk ) )时时，有有 ,(2. 2. 二重极限不存在的例子二重极限不存在的例子.xz y0 ),( yxfz mxz xyxfyxxfx ),(),(lim00000 mxz 由一元函数导数的几何意义：由一元函数导数的几何意义：z= f (x,y) 0),(yyyxfzl：l得得曲曲线线= tan 3. 3. 偏导数的几何意义偏导数的几何意义.y =y0)( y,x? myz同理，同理，.mtx固定固定 y =y0复习一元函数导数m ),( yxfz myz yy,xfyy,xf

7、y )()(lim z= f (x,y)l)( y,xx =x0固定固定 x =x0tx3. 3. 偏导数的几何意义偏导数的几何意义.xz y0m ),( yxfz myz yy,xfyy,xfy )()(lim myz 由一元函数导数的几何意义：由一元函数导数的几何意义：z= f (x,y) xxy,xfz)(l得得曲曲线线= tan .)( y,xx =x0固定固定 x =x0tx ty3. 3. 偏导数的几何意义偏导数的几何意义.xz y00zz xz y0 ),( yxfz pqmn x yab),(000zyxm),(000zzyyxxn dz=ab : 切面立标的增量切面立标的增量

8、z= f (x ,y)(d yxzz z =an ：曲面立标的增量曲面立标的增量过点过点m的切平面的切平面：)(,()(,(000000yyyxfxxyxfyx 即即：dz z=ab+bn0 zz 0)(0 zzyyxfxyxfyx ),(),(0000)( .dz=ab用切面立标的增量近似曲面立标的增量用切面立标的增量近似曲面立标的增量 很很小小时时当当y,x zdz4. 4. 全微分的几何意义全微分的几何意义复习一元函数微分xz y0 l y x zzlzplim0 p pz = f (x,y) x y )()(lim y,xfyy,xxfqpfpf)()(lim0 m 是曲面在是曲面在点

9、点p处沿处沿方向方向l 的变化率，的变化率，即半切线即半切线plz mn方向导数方向导数.5. 5. 方向导数方向导数的斜率的斜率n将二元函数将二元函数z = f(x , y)在点在点(x , y)的以下七个命题填入框图：的以下七个命题填入框图： （1 1）有定义）有定义 （2 2）有极限）有极限 （3 3）连续）连续 （4 4）偏导存在）偏导存在 （5 5）方向导数存在）方向导数存在 （6 6）偏导连续）偏导连续 （7 7）可微）可微（6）（7）（3）（4）（5）（1）（2）6.6. 七框图七框图问题：箭头是否可逆？问题：箭头是否可逆？ 不可逆的试举出反例。不可逆的试举出反例。 abcdz=

10、f(x,y)f 在顶点在顶点a、b、c、d处有极大值处有极大值xz 0y7.7. 多元函数的极值（广义的定义）多元函数的极值（广义的定义）abcdz=f(x,y)f 在点在点d处有极大值处有极大值d是尖点，是尖点，xz 0y7.7. 多元函数的极值（广义的定义）多元函数的极值（广义的定义）.z=f(x,y)xz 0yads：若在点：若在点(a,b)的某邻域内恒有的某邻域内恒有 f(x,y) f(a,b),称称 f(a,b)为为s是是/ xoy面的面的平面区域或平面曲线平面区域或平面曲线,cf 在在s的每一点处有极大值吗？的每一点处有极大值吗？用以下广义的定义逐点判别用以下广义的定义逐点判别7.

11、7. 多元函数的极值（广义的定义）多元函数的极值（广义的定义）.二元函数二元函数 (0,0)( , 0 (0,0)( ,)( ),(2222x,yx,yyxyxxyyxf1)0 , 0( xyfxyz1)0 , 0( yxf.该函数在该函数在原点原点处连续，但有处连续，但有o？问题：曲面在点问题：曲面在点(0,0)附近附近的形状是怎样的呢的形状是怎样的呢对对称称, ,曲曲面面关关于于直直线线 0 zxy.8.曲面关于曲面关于x轴对称，轴对称，在在dxy:122 yx上考虑上考虑曲面过曲面过x轴轴 ，过过y轴轴曲面关于曲面关于y轴对称轴对称对对称称关关于于直直线线 0 zxy.y = f (x)xy0m0 x)(0 xf8 处处切切线线的的斜斜率率 表表示示曲曲线线在在点点 xxf)(.xyx0lim )(0 xf = tan y = f (x)