第一节常数项级数的概念与性质

1、无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数 幂级数幂级数第八章常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 第一节一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正依次作圆内接正),2,1,0(23 nn边形边形, , 这个和逼近于圆的面积这个和逼近于圆的面积 a .0a1a 2a na 设设 a0 表示表示

2、,时时 n即即 naaaaa210内接正三角形面积内接正三角形面积, ak 表示边数表示边数增加时增加的面积增加时增加的面积, 则圆内接正则圆内接正边形面积为边形面积为n23 定义：定义： 给定一个数列给定一个数列,321nuuuu将各项依将各项依,1 nnu即即 1nnu nuuuu321称上式为称上式为无穷级数无穷级数， 其中第其中第 n 项项nu叫做级数的叫做级数的一般项一般项,级数的前级数的前 n 项和项和 nkknus1称为级数的称为级数的部分和部分和.nuuuu 321次相加次相加, 简记为简记为,lim存在存在若若ssnn 收敛收敛 ,则称无穷级数则称无穷级数并称并称 s 为级数

3、的为级数的和和, 记作记作 1nnus当级数收敛时当级数收敛时, 称差值称差值 21nnnnuussr为级数的为级数的余项余项.,lim不存在不存在若若nns 则称无穷级数则称无穷级数发散发散 .显然显然0lim nnr. 0, 0,)(111 qaaqnn其中其中的敛散性的敛散性或等比级数或等比级数讨论几何级数讨论几何级数例例;1,111qaqaqnn 其和为其和为时收敛时收敛当当几何级数几何级数.1时时发发散散当当 q.)15)(45(111616112的的敛敛散散性性判判别别级级数数例例 nn.131发发散散证证明明调调和和级级数数例例 nn1性质性质 1111,nnnnnnnnuaau

4、uaua有有且且同同时时收收敛敛时时同同时时收收敛敛或或同同时时发发散散与与级级数数则则级级数数为为非非零零常常数数设设2性质性质 111111)(,)(,nnnnnnnnnnnnnnvuvuvuvu且且有有也也收收敛敛则则级级数数都都收收敛敛与与若若级级数数说明说明: 级数各项乘以级数各项乘以非零常数非零常数后其敛散性不变后其敛散性不变 .说明说明:(1) 性质性质2 表明收敛级数可逐项相加或减表明收敛级数可逐项相加或减 .二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质.,且且收收敛敛于于原原级级数数的的和和仍仍为为收收敛敛级级数数的的级级数数收收敛敛级级数数加加括括号号后后所所成成.,不不改

5、改变变级级数数的的敛敛散散性性级级数数去去掉掉或或增增加加有有限限项项3性质性质4性质性质(2) 若两级数中一个收敛一个发散若两级数中一个收敛一个发散 , 则则)(1nnnvu 必发散必发散 . 但若二级数都发散但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散不一定发散.(用反证法可证用反证法可证)推论推论: 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,0) 11 () 11 (但但1111发散发散.例如例如，用反证法可证用反证法可证0lim ,),(1 nnnnnuuu即即有

6、有收收敛敛于于零零则则其其一一般般项项收收敛敛如如果果级级数数级级数数收收敛敛的的必必要要条条件件5性质性质三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件注意注意:0lim nnu并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数调和级数 nnn13121111虽然虽然，01limlim nunnn但此级数发散但此级数发散 .事实上事实上 , 假设调和级数收敛于假设调和级数收敛于 s , 则则0)(lim2 nnnssnn2 nnnn21312111 但但 nnss2矛盾矛盾!所以假设不真所以假设不真 .21 例例4. 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和若收敛求其和:;!)1(1 nnnnne解解: (1) 令令;231)2(123 nnnn,!nnnnneu 则则 nnuu1nne)1(1 ),2,1(1 n故故euuunn 11从而从而,0lim nnu这说明级数这说明级数(1) 发散发散.111)1()1( nnnne11)1(! )1( nnnnennnne!123231)2(nnnn因因nnn23123 )2)(1()2(21 nnnnn )2)(1(1)1(121nnnn),2,1( n nknkkks123231 nkkkkk1)2)(1(1)1(121进行拆项相消进行拆项相消,41lim nns这说明原级数收敛这说明原级数