第一节平面向量的概念及线性运算

1、第五单元第五单元 平面向量与复数平面向量与复数第一节第一节 平面向量的概念及其线性平面向量的概念及其线性运算运算基础梳理基础梳理1.向量的有关概念及其表示法名称定义表示法向量既有 又有 的量;向量的大小叫做向量 的 (或） ， 向量_ 模_ 零向量长度为 的向量;其方向是任意的记作 ，单位向量长度等于 个单位长度的向量常用 表示大小方向长度模00aa1e平行向量方向 或 的非零向量a与b共线可记为共线向量 向量又叫做共线向量0与任一向量 ，相等向量长度 且方向_的向量a与b相等记作相反向量长度 且方向_的向量(1)a的相反向量记作 ,a+0=0+a=aa+(-a)=(-a)+a=0(2)0的相

2、反向量为_ 0相同相反平行相等相同abab共线相反相等a2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则 , . (1)交换律:a+b= .(2)结合律:(a+b)+c=_减法求两个向量差的运算 .a-b= .三角形平行四边形baa(bc)三角形a(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|= .(2)当0时,a与a的方向 ;当0时,a与a的方向 ;当a=0时，a=0;当=0时,a= .(a)= ;(+)a= ;(a+b)= .3. 向量共线定理非零向量a与向量b共线的充要条件:存在唯一一个实数,使 .ab |a|相同相反0()aaaba(a0)基础达标基础达

3、标1. (必修4p57习题3改编)如图,o为正方形abcd对角线的交点，四边形oaed,ocfb都是正方形，在图中所示的向量中，与向量ae相等的向量是 ，与向量bf共线的向量是 ，与向量cf的模相等的向量是 .解析：由向量的相关定义结合正方形的性质可知 bo aoco debf bo co aodoae de 2. (必修4p66习题6改编)已知向量a,b,且5(x+a)+3(x-b)=0，则x= .5388ab解析：原式可变形为5x5a3x3b0，8x=-5a+3b，x= 5388ab3. 一辆汽车向西行驶了10千米，然后改变方向向南行驶了10千米，则该汽车两次位移的和为 .西南方向10 千

4、米2解析：如图所示，所以 ，方向为西南方向 acabbc 10 2ac 4. (2011如东中学考试)已知abc，若点m满足ab+ac-3am=0,则ma+mb+mc= .0解析：由已知得 3abacam 3()30mambmcmamambmamcmaabacmaam 5. 已知e1,e2是不共线向量，a=ke1+e2,b=e1+ke2,若ab,则k= .解析：ab，由向量共线等价条件得：ab(r)，即ke1e2(e1ke2)，(k)e1(1k)e20，又e1，e2不共线，由平面向量基本定理得k1.1经典例题经典例题题型一 平面向量的有关概念【例1】给出下列五个命题:两个向量相等,则它们的起点

5、相同,终点相同;若|a|=|b|,则a=b;在abcd中,一定有ab=dc;若m=n,n=p,则m=p;若ab,bc,则ac.其中正确的序号是 . 分析在正确理解有关概念的基础上，注意特殊的情况，是解决本题的关键解：若两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，所以不正确；|a|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等，故不正确；零向量与任一非零向量都平行，当b0时，a与c不一定平行，故不正确正确【例2】如图,d、e、f分别为abc的三边bc、ac、ab的中点.求证:ad+be+cf=0.题型二 平面向量的线性运算分析：在三角形中其他向量最好向三条

6、边上的向量靠拢，即用， ，来分别表示待求的向量 ,ab bc ac ,22,22()0,adaccd adabbdadacabcdbdbebabccfcacbadbecfacabbabccacbad 同理所以故0becf 解析：变式2-1(2011南京师大附中期中考试)在如图所示的平面图形中，已知oa=a,ob=b,点a、b分别是线段ce、ed的中点.试用a,b表示cd.连结ab，则ab为cde的中位线 ba， 2(ba)ab cd2ab 解析：【例3】设两非零向量a和b不共线,如果ab=a+b,cd=3(a-b),bc=2a+8b.求证:a、b、d三点共线.题型三 向量的共线问题分析：用向量

7、法证明a、b、d三点共线，可以利用向量共线定理，得到 (或 等)， 说明直线bd和ab平行或重合；因为有公共点b，所以只能重合，从而由向量共线推出三点共线bdab adab bdab 解： 2a8b， 3(ab)， 2a8b3(ab)5(ab)， .由向量共线定理得 ，又直线ab和bd有公共点b，所以a、b、d三点共线bc cd bd=bc+cd bd5ab bdab 变式3-1设两个非零向量e1,e2不共线,已知ab=2e1+ke2,cb=e1+3e2,cd=2e1-e2.若a、b、d三点共线,试求k的值.解析： 2e1e2(e13e2)e14e2.若a、b、d三点共线，则 ，从而存在唯一实数，使 ，即2e1ke2(e14e2)，整理得(2)e1(k4)e2，e1、e2不共线， 解得a、b、d三点共线时，k8. bd=cdcb ab bd abbd 2040k28k 链接高考链接高考(2010湖北)已知abc和点m满足 ,若存在实数m使得 成立，则m .知识准备知识准备：1. 要知道点m满足 ,说明点m为abc的重心；2. 要知道三角形重心的性质，即重心为中线的一个三等分点；3. 要知道三角形中线所在向量的性质:若ad为边bc上的中线，则 .ma+mb+m