第3章复变函数的积分83691

1、本章学习目标本章学习目标1了解复变函数积分的概念;2了解复变函数积分的性质;3掌握积分与路经无关的相关知识;4熟练掌握柯西古萨基本定理;5会用复合闭路定理解决一些问题;6会用柯西积分公式;7会求解析函数的高阶导数.复变函数的积分复变函数的积分l3.1 复变函数积分的概念l3.1.1积分的定义l本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。 3.1.2积分存在的条件及其计算方法积分存在的条件及其计算方法 l1) 当是连续函数且是

2、光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。l2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。 udyvdxivdyudxdzzfccc tctfz dzfz tzt dt3.1.3 积分的性质积分的性质 l从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质，它们是与实变函数中曲线积分的性质相类似的.l我们把简单闭曲线的两个方向规定为正向和负向.所谓简单闭曲线的正向是指当顺此方向沿该曲线前进时，曲线的内部始终位于曲线的左方，相反的方向规定为简单闭曲线的负向.以后遇到积分路线为简单闭曲线的情形，如无特别声明，总是指曲线的正向. 3.1.3 积分的性质l1l2l3l4 dzzfkdzzfkcc ;dzzfd

3、zzfcc ;dzzgdzzfdzzgzfccc mldszfdzzfcc例例1计算计算 其中其中 为从原点到点为从原点到点 的直线段。的直线段。l解 直线的方程可写成l又因为l容易验证，右边两个线积分都与路线 无关，所以 的值无论 是怎样的曲线都等于,dzzcci 4310 ,4,3ttytx22210210243210143214343ititdtitdtidzzcxdyydxiydyxdxidydxiyxdzzcccccdzzcc24321i例例2计算计算 其中其中 为以为以 中心，中心， 为半为半径的正向圆周径的正向圆周, 为整数为整数.解: 的方程可写成所以因此c2020201110

4、derideriderirezzdzinninncnininc,10cnzzdz0zrn,20 ,0irezzcnnnizzdz, 0, 0, 0,210例例3计算计算 的值，其中的值，其中 为沿从（为沿从（0，0）到（）到（1，1）的线段：）的线段：l解 :dzzcc; 10 ,ttytx; 1211010tdtdtiittdzzc例例4计算计算 的值，其中的值，其中 为沿从（为沿从（0，0）到（）到（1，1）的线段与从（）的线段与从（1，0）到（）到（1，1）的线段所连结成的折线。）的线段所连结成的折线。 l解 :dzzcc12ccczdzzdzzdziiidtitddtt12121110

5、103.2 柯西柯西古萨（古萨（cauchygoursat）基）基本定理本定理l3.2.1 积分与路经无关问题l积分的值与路经无关，或沿封闭的曲线的积分值为零的条件，可能与被积分函数的解析性及区域的单连通性有关.l柯西古萨（cauchygoursat）基本定理 如果函数在单连域内处处解析，那末函数沿内的任何一条简单闭曲线的积分值为零。即l 0dzzfc3.2.3 几个等价定理几个等价定理l定理一 如果函数 在单连域内处处解析，那末积分 与连结从起点到终点的路线 无关.l定理二 如果函数 在单连域 内处处解析，那末函数 必为内的解析函数,并且 zfzf zf dzzfcc ivuzfb zf原函

6、数的概念原函数的概念l下面，我们再来讨论解析函数积分的计算。首先引入原函数的概念：l结论： 的任何两个原函数相差一个常数。l利用原函数的这个关系，我们可以推得与牛顿莱布尼兹公式类似的解析函数积分的计算公式。 zfl定理三 如果函数 在单连域内处处解析， 为 的一个原函数，l那末这里 为区域 內的两点。 zg zf zf 00zgzgdzzfzzzz ,0b例例 5 计算计算 l解： zdzii2sinzdzii2siniiiizzdzzii2sin212sin212122cos1例例 6 计算计算 l解： 1010cos01coscoszdzzzzdzzdzz10sinzdzz10sin1co

7、s1sin01sincoszzz例例7 计算计算 l解： dzedzeiiziiz323221dzeiiz32. 021321262iizeeiie例例8 计算计算 l解： izzdzeiez001dzezzi01zizideizdzez0011cos1sin1sin1cos011iiiieeezizz3.3 基本定理的推广基本定理的推广复合闭路定理复合闭路定理l我们可以把柯西古萨基本定理推广到多连域的情况 .l在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，这一重要事实，称为闭路变形原理. 例例9计算计算 的值，的值， 为包含圆周为包含圆周 在内的任何一条正向

8、简单闭曲线。在内的任何一条正向简单闭曲线。l解 : zzdz21z00220111112211iidzzdzzdzzdzzdzcccc2dzzz 12cdzzz 22czzdz3.4 柯西积分公式柯西积分公式l定理(柯西积分公式) 如果函数 在区域 内处处解析， 为内 的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 , 为 内的任一点,那末l (3.4.1)l公式(3.4.1)称为柯西积分公式.通过这个公式就可以把一个函数在 内部任何一点的值,用它在边界上的值来表示. zfdddccc0z dzzzzfizfc0021例例10计算计算 (沿圆周正向沿圆周正向)l解 由公式(3.4.1)得dzzzi

9、z4sin2100sinzzdzzziz4sin21例例11计算计算 (沿圆周正向沿圆周正向)l解 由公式(3.4.1)得dzzzz43211dzzzz43211dzzdzzzz4431211.62 .21 .2iiil柯西积分公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式,是研究解析函数的有力工具l(见3.5解析函数的高阶导数).l一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 .3.5 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数l一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数.这一点与实变函数完全不同,因为一个实变函数的可导性不保证导数的连续性,因而不能保证高阶导数的存在,关于解析函数的高阶导数我们有下面的定理l定理 解析函数的导数仍为解析函数,它的 阶导数为:其中 为 在函数的解析区域 内围绕