第七章定积分的应用2

1、17.5 广义积分广义积分前面讨论的定积分前面讨论的定积分的的存存在在必必须须满满足足： badxxf)(1)积分区间积分区间a, b是一个有限区间是一个有限区间,(2)被积函数被积函数f(x)在在a, b上是一个有界函数上是一个有界函数.现在把积分区间推广到无穷区间现在把积分区间推广到无穷区间, 把被积函数推广为把被积函数推广为积分区间内的无界函数积分区间内的无界函数, 推广后的积分称为推广后的积分称为广义积分广义积分, (或反常积分或反常积分), 而将定积分称为常义积分。而将定积分称为常义积分。27.5.1 广义积分问题的产生广义积分问题的产生例例1. 在在x轴的坐标原点处放置一电量为轴的

2、坐标原点处放置一电量为q的正电荷的正电荷,在它产在它产生的电场的作用下生的电场的作用下, 一单位正电荷从点一单位正电荷从点a(x=a, 单位单位m)沿沿x轴正向移动到无穷远时轴正向移动到无穷远时, 求电场力所作的功求电场力所作的功, 此功在电学此功在电学中称为中称为点点a的电位的电位.),11()(2bakqdxxkqbwba dxxkqbwwbabb 2lim)(lim.)11(limakqbakqb o a(a) b x q3例例2. 如何求曲线如何求曲线解解: 2xey .lim202dxeabxb 21xy dxxabb 121lim与与x轴所夹的带状图形的面积轴所夹的带状图形的面积a

3、?例例3. 如何求曲线如何求曲线 与直线与直线x=1, y=0所围的无界图形的面积所围的无界图形的面积a?bbx1| )1(lim . 1)11(lim bb4例例4. 如何求曲线如何求曲线解解: 注意到被积函数注意到被积函数xy1 xxf1)( . 212lim1lim,010 ）（故故 dxxa与直线与直线x=0, x=1, y=0所围的无界图形的面积所围的无界图形的面积a?在在(0, 1上是无界的上是无界的,57.5.2 无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分定义定义 (1) 设设f(x)是是a, + )上的连续函数上的连续函数, 称称dxxfdxxfbabdefa )(lim)(,)

4、(lim存存在在如如果果极极限限dxxfbab 收收敛敛； adxxf)(.)(发发散散 adxxf为为f(x)在在a, + )上的上的广义积分广义积分, 则则, 称称广义积分广义积分 否则否则, 称广义积分称广义积分6(2) 设设f(x)是是( , b上的连续函数上的连续函数, 称称为为f(x)在在( , b上的上的广义积分广义积分, .)(lim)(dxxfdxxfbaadefb ,)(lim存在存在如果极限如果极限dxxfbaa .)(收敛收敛则称广义积分则称广义积分 bdxxf.)(发发散散否否则则称称广广义义积积分分 bdxxf7(3) 设设f(x)是是( , + )上上的连续函数的

5、连续函数, c 是任一实数是任一实数, 称称为为f(x)在在( , + )上的上的广义积分广义积分, ccdefdxxfdxxfdxxf)()()(,)(收敛收敛 dxxf.)(发散发散 dxxf,)(,)(都都收收敛敛 ccdxxfdxxf如果如果广义积分广义积分 则则, 称称广义积分广义积分 否则否则, 称广义积分称广义积分8例例5. 计算计算 解解: dxxx1sin122 dxxxdxxxbb1sin1lim1sin12222 bbx 2|1coslim ),(lim)(),(lim)(xffxffxx 记记)()(lim)(afbfdxxfab 则则，.| )()(,| )()(,

6、xfdxxfxfdxxfbb同同样样有有若若f(x)是是f(x)在积分区间上的原函数在积分区间上的原函数, 记记,| )()()( axfaff. 11coslim bb9例例6. 计算计算 解解: .ln2 xxdx.|ln|ln2 x 2ln xxdx10例例7. 证明证明: 广义积分广义积分解解: 当当p=1时时, 1pxdx,|ln111 xxdxxdxp,11|11111 pxpxdxpp,|11111 ppxpxdx,11 p当当p 1时收敛时收敛, 当当p 1时时发散发散.而当而当p 1时时, 广义积分发散广义积分发散,当当p 1时时, 广义积分收敛广义积分收敛,故故, 当当p

7、1时时, 广义积分收敛于广义积分收敛于: 广义积分发散广义积分发散,而当而当p 1时时, 广义积分发散广义积分发散.11例例8. 计算计算解解:.12 xdx,11100222 xdxxdxxdx 002|arctan1xxdx而而，,202|arctan1002 xxdx.221,2 xdx故故，这这里里 022121,xdxxdx . 0)(:,)(dxxfxf不不能能得得出出是是奇奇函函数数注注意意：若若,2)2(0 ,)(0收收敛敛时时当当 dxxf . 0)(:dxxf才才有有12例例9. 计算计算解解:.arctan12dxxx 1121arctanarctanxxddxxx 12

8、1111|arctan1dxxxxxdxxxx 12)11()40( 12)1ln(21|ln4xx .21ln4|1|ln412 xx13例例10. 计算计算 解：解：).0(,0 pdttept 001ptpttdepdttedteptepptpt 001|1 02|1)00(ptep.1)10(22pp 14定理定理1 设设f(x)在在a, + )上连续上连续, 若若x= (t)满足满足:则则, ,)(lim)0( tt .)()()( adtttfdxxf (1)x= (t) 在在 , )上严格单调上严格单调,(2)(t)在在 , )上连续上连续,(3) ( )=a, 15例例11.

9、计算计算解解:.)(22322 aaxdx aaxdx22322)(,故故,3,2,sec taxtax时时当当令令dttta 2322sincos1 ,2, tx时时当当dttatta 2333tantansec .332|sin112232ata 16例例12. 求极限求极限 解解: xxdtttxx 11lim dttttttxx1lim,1, 0而而用用洛洛必必达达法法则则得得：型型故故原原极极限限是是, .32231lim1lim211 xxxxxdtttxxx17例例13. 解：解：),1(0 , 0| ),(: aayxyxdx无无界界区区域域试试证证明明,ln|,ln0ayaa

10、yxx ,ln1:)1, 0(xay 的的切切线线过过点点,ln21,ln1, 01aaaxyx 故故轴轴交交点点：与与,ln1|ln0021aaadxaaaxx .ln21,21aaa 故故.)1 , 0(等的两部分等的两部分点处的切线分成面积相点处的切线分成面积相在在被曲线被曲线xay 18例例14. 证明证明:解：解：.11,1110404204dxxdxxxdxx 并并求求则则令令)0( ,1 ttx 02404)1()1(1111dtttdxx.1224111211104204204dxxxdxxxdxx dxxxxx 022)121121(41.42)22(2arctan2)22(

11、2arctan2410 xx.11042042dxxxdttt 197.5.3 无界函数的广义积分无界函数的广义积分定义定义 (1) 设设f(x)是是(a, b上的连续函数上的连续函数, 且且x=a是奇点是奇点, 称称dxxfdxxfbadefba )(lim)(0,)(lim0存在存在如果极限如果极限dxxfba .)(收收敛敛 badxxf.)(发发散散 badxxf为为f(x)在在(a, b上的上的广义积分广义积分, 则则, 称称广义积分广义积分否则否则, 称广义积分称广义积分20(2) 设设f(x)是是a, b)上的连续函数上的连续函数, 且且x=b是奇点是奇点, 称称为为f(x)在在

12、a, b)上的上的广义积分广义积分. .)(lim)(0dxxfdxxfbadefba ,)(lim0存存在在如如果果极极限限dxxfba .)(收收敛敛 badxxf则则, 称称广义积分广义积分否则否则, 称广义积分称广义积分 .)(发发散散 badxxf21(3) 设设f(x)是是a, c)(c,b上的连续函数上的连续函数, 且且x=c是奇点是奇点, 称称为为f(x)在在a, b上的上的广义积分广义积分. bccadefbadxxfdxxfdxxf)()()(,)()(均收敛均收敛和和如果如果 bccadxxfdxxf,)(收收敛敛 badxxf.)(发散发散 badxxf bccadxx

13、fdxxf )(lim)(lim00则则, 称称广义积分广义积分否则否则, 称广义积分称广义积分22例例1. 计算计算解解: .4202 xdx,41lim22 xx 20202024lim4xdxxdx)22arcsin(lim|2arcsinlim0200 x.2 ,41)(22的奇点的奇点是是xxfx 23例例2. 讨论广义积分讨论广义积分解解: baqaxdx)(,)(1的的奇奇点点）（是是qaxxfax babaqaxdxaxdxq)(1时时，当当,1时时当当 qbaqbaqaxqaxdx |)(11)(1,10,广义积分收敛广义积分收敛时时当当故故 q.,1广广义义积积分分发发散散

14、时时当当 q的敛散性的敛散性(q0, ba).,| )ln( baax 1,1,1)(1qqqabq当当当当24例例3. 计算计算 解解: .|23212 xxdx内部的一个奇点，内部的一个奇点，是被积函数在积分区间是被积函数在积分区间1 x 2312121223212|xxdxxxdxxxdx 1212|xxdx而而，,2| )12arcsin(121 x 1212xxdx 1212)21(41xdx25又又,= 23122312|xxdxxxdx2312| 41)21(21ln xx),32ln(21ln)231ln( 231241)21(xdx).32ln(2|23212 xxdx故故2

15、6例例4. 计算计算解解:.ln10 xdx上的唯一的奇点，上的唯一的奇点，是被积函数在是被积函数在1, 00 x 1010101|lnlndxxxxxxdx. 1010 dx27定理定理2 设设x=b是是f(x)在在a, b)上的一个奇点上的一个奇点, 则则,)(limbtt .)()()( badtttfdxxf 且且f(x)在在a, b)上连续上连续, 若若x= (t)满足满足:(1)x= (t) 在在 , )上严格单调上严格单调,(2)(t)在在 , )上连续上连续,(3) ( )=a, (0)=28例例5. 计算计算解解: x=a, x=b是被积函数的奇点，是被积函数的奇点， bax

16、baxdx)(,sin)(2tabax 令令,cos)()()(2tabaxabxb 则则， 20cossin)(cossin)(2)( ttabtdttababaxdxba, 0, tax时时且当且当tdttabdxcossin)(2 .220 dt,2, tbx时时当当29作业作业, p409 习题习题7.5a1.(1), (4), (6), (8); 2.(1), (2), (3), (7); 307.5.4 函数函数称为称为 函数函数,dxextxt 01)(,001收收敛敛广广义义积积分分时时当当dxextxt ,001发发散散广广义义积积分分时时当当dxextxt )., 0( 函函数数的的定定义义域域为为：故故. 1|)1(00 xxedxe显显然然，31性质性质1 证明：证明： ).1()1()(,1 tttt时时当当xtxtdexdxext 0101)(dxxteextxxt201)1(|(0 ).1()1()1(01)1( ttdxextxt.sin)1()(ttt :2,21得得由由性性质质取取 t