第3章导数与微分1

1、第三章导数与微分(一) 复习复习 第二章第二章 ( (二二) ) 极限运算法则 因式分解法“约去0因子” 观察法“有理分式函数x ” “重要极限”法 “等价无穷小”代换法 “初等函数连续”法 “复合函数极限法则” ” 法 “ “罗必达法则”法1 极限方法2 函数的连续性 利用初等函数的连续性，求初等函数的间断点； 求初等函数的连续区间； 已知分段函数连续，求待定常数 ；判断分段函数在分段点连续的方法利用 , 求k 利用 , 求k 00limlimxxxxfxfx 00limxxfxfx 等价无穷小量x0时： sin x x， tan x x， ln(1+x) x (ex1) x 22bxabx

2、aa *x=u(x)，只要u(x)0 结论仍成立。初等函数在其定义区间内任一点连续。重要极限公式：000sintanlimlimlim1sinxxxxxxxxx 0sinlim1u xu xu x 101lim 1lim 1xxxxxex 1lim1u xu xu xe 0lim,lim1v xau xu x v xau xe 主要学习内容 导数的概念 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则 简单函数的二阶导数 学习要求1、理解导数的概念，知道可导与连续的关系2、知道导数的几何意义，会求切线方程3、掌握基本初等函数的导数公式4、掌握导数的四则运算法则5、会求简单函数的二阶导数重点 导数公式

3、和四则运算法则难点 求导方法 3.1 导数的概念3.1.1 实例 曲线的切线问题 设函数f(x)连续，点p(x f(x )是区间内的一点 求曲线y=f(x)在点p的切线斜率。解 在曲线上另取一点q(x +x f(x +x)，割线的斜率kpq=642-55f x 2p(x ,y )q(x +x,y +y)xy0 x x +xyr 00fxxfxx yx 切线的斜率 00limlimpqxxykkx 000limxfxxfxx 3.1.2 导数的概念 函数f(x)在点x 处导数定义 f (x )的另一定义式 函数f(x)在点x 处可导的充要条件 函数f(x)在某区间上导数 函数f(x)可导与连续的

4、关系 函数f(x)在点x 处导数定义3.1.1 设函数y=f(x)在点x 及其附近有定义，若极限 存在，则称函数f(x)在点x 处可导，并称此极限值为函数y=f(x)在点x x 处的导数。记作还可表示 00000limlimxxfxxfxyfxxx 即即0limxyx 000 xxxxxxdydfydxdx 0fx 例1 求抛物线y=x在点x=1处的切线的斜率。解抛物线y=x在点x=1处的切线的斜率为2=21xdydx 0011limlimxxfxfyxx 22011limxxx 0lim 2xx f (x ) 的另一定义式 0000limxfxxfxfxx 记记 x=h 记记 x +x=x

5、则 x=x x 0000limhfxhfxfxh 000lim3.1.2xxfxfxxx 函数f(x)在点x 处可导的充要条件（了解）（了解） 000limxfxxfxx 左导数 右导数0limxyx 0limxyx 000limxf xxf xx 0fx 0fx 函数f(x)在点x 处可导 或或 00fxfx 00limlimxxyyxx 若函数f(x)在点x 处可导，下列不等于f (x )的是( )。 000000000000.lim. lim2.lim.lim2xxxhhfxxfxfxfxabxxxfxhfxfxhfxcdhh d例2 0002coslim42.b. 0.sin. sin

6、244xfxxfxfxxacd ，注注 (c)=0b 函数f(x)在某区间上导数 若函数f(x)在区间i内每一点可导，则称函数f(x)在区间i内可导。即对每一个xi，都有f(x)的一个导数值f (x)与之对应，把f (x)称为函数f(x)的导函数(简称导数)。 记作 即即 0lim3.1.3xfxxfxfxx ,.dydffxydxdx 另一种形式表示 0lim3.1.4hfxhfxfxh 函数f(x)在点x x 处的导数f (x )与函数f(x)的导函数f (x)的关系例3 设 y=x 求y , y (1) 。解=3x 00 xxfxfx 0limhfxhfxyh 330limhxhxh 3

7、2233033limhxx hxhhxh 220lim 33hxxhh 11xyy 2133xx 一般地， y =x y = (x) = x -1 ( (为任意实数) ) 如： 求f (3)。 1fxx 11fxxx 221xx 211339f 函数f(x)可导与连续的关系（p64）例4 考察函数 在点x=0处的可导性。解函数 在点x=0不可导 曲线 在点x=0处切线的倾角为/ /2， 即 切线垂直x轴，且斜率为。而曲线 在点x=0处连续。 13fxx 3f xx 2313x 3213 x 3f xx 3f xx 3f xx 0f 注注 函数f(x)在点x 可导函数f(x)在点x 连续；反之未

8、必成立。例5 设f(x)=| |x|/|/x，则f (1)=( )。a. 不存在 b. 0 c. 1 d. 1例6 下列结论中，正确的说法是( )。a. f(x)在x=x 处连续，则一定在x 处可导b. f(x)在x=x 处不连续，则一定在x 处不可导c. f(x)在x=x 处有极限，则一定在x 处有定义d. f(x)在x=x 处无极限，则一定在x 处无定义b b3.1.3 导数的几何意义导数的几何意义k=f (x )曲线y=f(x)在点(x y )处的切线方程 法线方程 例7 求过曲线 上的点x=1处的切线方程。解x=1 代入已知，y=1曲线 在点(11)处的切线方程为yx 12fxxx y

9、x 1111122yxyx 211 f 00013.1.6yyxxfx 0003.1.5yyfxxx 3 2 导数的基本公式与运算法则 1 基本初等函数的导数公式 2 导数的四则运算法则 3 高阶导数3.2.1 基本初等函数的导数公式 p66例1 用导数定义求下列函数的导数 （求导方法了解）（求导方法了解） y=logax y=ax y=sinx解 0limxyyx 0logloglimaaxxxxx 01limlogaxxxxx 10lim log1xaxxx 1lnxa 1logaex 1logxae 思考思考下列函数的导数 1loglnaxxa 1ln xx lnxxaaa xxee s

10、incosxx cossinxx 112334lgxyyxxxyyx2 导数的四则运算法则 p67设函数u=u(x)，v=v(x)均可导，则 2212134uvuvuvu vuvcucucuu vuvvvvvvuvwu vwuv wuvw 特特殊殊地地常常特特殊殊地地例2 求导数解 101032sin110102310lg1cos4log5sin2xxxxyxyyxxyxexyx sin21cosxyx 2cos1cossinsin1cosxxxxx 11cos x 101011010 xyx 2cos1cos1sincos1sinxxxxx 1010=1010 xx 10 11010 ln1

11、0 0 xx 91010 ln10 xx = 2cos2x 324logxyxex 23332211loglog3ln2xxxx exxexxex 310 lgxyx 10lg10lgxxxx 110 ln10 lg10ln10 xxxx 110ln10 lgln10 xxx xexxexxexxxx232323logloglog xy2sin5 xxcossin2 xxxxcossincossin2 xx22sincos2 例3 求导数 y=tanx y=secx解= secx tanx= secx同样 22cossinsincosxxxx 21cos x 2sincosxx sin1cos

12、xyx 2tansecxx 12cosyx 2cotcscxx 3.2.3 高阶导数 f(x)的导函数 ，若 可导，称它的导数 为f(x)的二阶导数。记作 类似定义n 阶导数 记作二阶、二阶以上的导数统称高阶导数。称f (x)为函数y=f(x)的一阶导数。注 这里以二阶导数为主。 fx fx fx 2222,.d y d ffxydxdx 1nnfxfx ,.nnnnnd y d fydxdx例4解 114113sin4fxxx 343sin4xx 343sin4fxxx 31433cos44xx 749cos16xx 749116f 4313cos ,.2log,3 .xf xxxff xexf 求求求求31logln3xxexex 31logln3xxfxexex 3211log2ln3ln3xxxexeexx 33332113log 323ln33 ln3feee 3519ln3e 32logxfxex 小结1 函数f(x)在