函数的连续性(8)

1、.3sin1cos5tanlim. 20 xxxx 计算计算)24arcsin(2 x 解解：当当0 x时时， 141 22422 xx2244212xx ， 解解 353215lim20 xxxx原式xxxxxx3sincos1lim3sin5tanlim00 原式35321lim35lim200 xxxxxx.3sin1cos5tanlim. 20 xxxx 计算计算.3sin1cos5tanlim. 20 xxxx 计算计算解解),(55tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxox

2、xxox)(3)(21)(5lim20 .35 30sinlimxxxx思考3030)(lim)(limxxoxxoxxxx 设设)(xfy 在在),( xn内有定义，内有定义， x),( xn，称，称xxx 为自为自 变变x 量量在在x 点点的增量的增量( (或改变量或改变量) )， )()()()(xfxxfxfxfy 为函数为函数)(xf在在x 点点的增量的增量( (或改变量或改变量) )。 2.92.9 函数的连续性函数的连续性1 1. .函函数数的的增增量量 注注意意：增增量量可可正正、可可负负、也也可可为为零零。 x y xyoxxx )(xfy 2.9.12.9.1连续函数的概念

3、连续函数的概念 处的连续性处的连续性在点在点函数函数 )( . 2xxfy x y xyoxxx )(xfy )(xy xyoxxx x y mn. 0 0 yx时时. 0 0 yx时时定义定义 1 1 设函数设函数)(xfy 在在),( xn有定义，若有定义，若 0lim0 yx则则称称函函数数xxf ) (在在点点处处连连续续，并并称称x 点点是是函函数数 )(xf的的连连续续点点。 xxx ， 当当0 x时时，有有xx； 0)()(limlim0 xfxfyxxx， )()(limxfxfxx 。 定义定义 2 2 设函数设函数)(xfy 在在),( xn有定义，若有定义，若 )()(l

4、imxfxfxx 则则称称函函数数xxf ) (在在点点处处连连续续。 函函数数)(xfy 在在),( xn有有定定义义； )(limxfxx存在；存在； )()(limxfxfxx 。 若若条条件件之之一一不不满满足足，则则称称)( xfx 为为点点的的一一个个间间断断点点 ( (或或不不连连续续点点) )。 函数函数xxf ) (在点在点处连续必须满足以下三个条件：处连续必须满足以下三个条件： 定义定义 3 3 若若o ，0 ， xx时，恒有时，恒有 )()(xfxf，则称函数，则称函数xxf ) (在点在点处连续。处连续。 若若)()(limxfxfxx ，则则称称函函数数xxfy )

5、(在在点点 处处左左连连续续。 若若)()(limxfxfxx ，则则称称函函数数xxfy ) (在在点点 处处右右连连续续。 函数函数)(xfy 在点在点x处连续的充要条件处连续的充要条件: : )(lim)()(lim)()(limxfxfxfxfxfxxxxxx 3 3. .函数函数)(xfy 在某区间内的连续性在某区间内的连续性 若若函函数数)(xfy 在在) ,(ba内内每每一一点点都都连连续续，则则称称函函数数 )(xfy 在在) ,(ba内内连连续续。 若若函函数数)(xfy 在在) ,(ba内内连连续续，且且在在左左端端点点ax 右右连连续续，在在右右端端点点bx 左左连连续续

6、，则则称称函函数数)(xfy 在在 ,ba上上连连续续。 区区间间i i上上连连续续函函数数的的全全体体简简记记为为c c( (i i) )。例例 1 1证明证明 0 , 0 0 ,11)(xxxxxf在点在点 0 x处连续。处连续。 证明证明：00lim)00(0 xf， , 0lim2121lim11lim)00(000 xxxxxfxxx )0(0)(lim0fxfx ， 0 ) ( xxf在点在点处连续。处连续。 区区间间i上上的的连连续续函函数数)(xfy ，简简记记为为)(icf 。 例例 2 2证证明明 函函数数xy sin 在在) ,( 内内连连续续。 , 2sin2)2cos

7、(2sin20 xxxxxy 证证明明：),( x，则则 ),2cos(2sin2sin)sin(xxxxxxy 故故xy sin 在在处处 x连连续续， 再再由由的的 x任任意意性性知知，xy sin 在在) ,( 内内连连续续。 0lim0yx0lim0 yx， 可以证明函数可以证明函数 )10( aaayx且且在在) ,( 内连续。内连续。 类类似似地地可可证证 xy cos 在在) ,( 内内连连续续。 定定理理 1 1 若若函函数数)(xf，)(xg在在区区间间 i 上上连连续续，则则函函数数 )()(xgxf ，)()(xgxf ，)()(xgxf)0)( xg在在区区间间 i 上

8、上 连连续续。 由定理由定理 1 1 及及xsin，xcos的连续性可知的连续性可知xxxcossintan ， xxxsincoscot ，xxcos1sec ，xxsin1csc 在其定义域内在其定义域内 连续。连续。 2.9.2 2.9.2 连续函数的运算连续函数的运算 定理定理2 2 （反函数的连续性）（反函数的连续性） 若若)(xfy 是区间是区间 ,ba上的严格上的严格单调增加单调增加( (或减少或减少) ) 的连续函数，则其反函数的连续函数，则其反函数)(1xfy 在区间在区间 )( ),(bfaf (或或 )( ),(afbf)上也是严格上也是严格单调增加单调增加( (或减少或

9、减少) )的连续函数。的连续函数。 )10( aaayx且且在在) ,( 内严格单调且连续，内严格单调且连续， )10(log aaxya且且在在) , 0( 内内也也严严格格单单调调且且连连续续。 xy sin 在在 2 ,2 上上严格严格单调增加且连续，单调增加且连续， xy arcsin 在在1 , 1 上上严严格格单单调调增增加加且且连连续续。 同样，由定理同样，由定理 2 2 可知：可知： xy arccos 在在 1 , 1上上严严格格单单调调减减少少且且连连续续， xarcycot 在在) ,( 上上严严格格单单调调减减少少且且连连续续。 定理定理 3（复合函数的连续性）（复合函

10、数的连续性）定定理理 3 是是说说连连续续函函数数的的复复合合函函数数仍仍是是连连续续函函数数。其其结结论论为为 )(lim)()(limxgfxgfxgfxxxx 极极限限符符号号 与与函函数数符符号号 在在函函数数连连续续时时可可以以交交换换次次序序。 limf例如：例如： uy sin ，2xu 均为连续函数，均为连续函数， 复合函数复合函数2sinxy 在点在点2 x处连续，处连续， . 12sin)2sin()limsin(sinlim22222 xxxx三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数

11、;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在 2.9.3 2.9.3 初等函数的连续性初等函数的连续性 xy内连续在), 0( xaalog ,uay .log xua 定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .1.1.基本初等函数在其定义域内都是连续的；基本初等函数在其定义域内都是连续的；重要结论重要结论：2.2.一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内是连续的内是连续的。1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定

12、连续;例如例如, , 1cos xy,4,2, 0: xd这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义. .,)1(32 xxy, 1, 0: xxd及及在在0 0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义. .), 1上上连连续续函函数数在在区区间间 注注: 2.若若x是是初初等等函函数数)(xf定定义义区区间间内内的的点点，则则 )()(limxfxfxx 。 证明证明： （1 1）xaxaxxxx100)1(loglim)1(loglim .log)1(limlog10exaxxa 特特别别有有 . 1)1ln(lim0 xxx （2 2）令）令1 xat，则，则)1(logtxa ，

13、 当当0 x时时，0t， aettxaaatxxlnlog1)1(loglim1lim00 。 特别有特别有 11lim0 xexx （3 3）当当0 时时，结结论论显显然然成成立立。 当当0 时，时，xxxexxx)1ln()1ln(11)1()1ln( xxxexxxxxx)1ln(lim)1ln(1lim1)1(lim0)1ln(00 .11 重要结论重要结论：)1ln(x , x )1(logxa , ln1xa 1 xe, x 1 xa,lnax 1)1( x.x , 0 时时当当x证明证明：)(ln)()()(xuxvxvexu ， 由指数函数和对数函数的连续性与极限的复合运算法则

14、得由指数函数和对数函数的连续性与极限的复合运算法则得 )(ln)(lim)(ln)()(lim)(limxuxvxuxvxxxvxxxxeexu )(lnlim)(limxuxvxxxxe .ln)(limln)(limbabxuxvaeexxxx 例例 4 4证证明明：若若0)(lim axuxx，bxvxx )(lim，则则 bxvxxaxu )()(lim（x其其中中可可以以是是有有限限数数也也可可以以是是 ） 。 例例 5 5求求下下列列极极限限： （1 1）xxxxxln1lim1 解：解：1lnlnlimln1limln1lim1ln11 xxxxxxexxxxxxxxx。 解解：2210)1cos(limxxxxe 22222cos2cos10)2cos(1limxxexexxxxxe 220220)cos1()1(lim2coslimxxexxexxxxee 20220)cos1(lim)1(limxxxexxxe .21211ee 解：令解：令2 xt，当，当2 x时，时，0t， ttxxtxcot0tan2)(coslim)(sinlim . 1021limtancos1lim200 eeettttttttttttan1cos1cos10)1(cos1lim 解：解： )(lim)(li