有限元网格技巧.

1、有限元网格技巧1. 引言有限元法是求解复杂工程问题的一种近似数值解法 ,现已广泛应用到力学、热 学、电磁学等各个学科 ,主要分析工作环境下物体的线性和非线性静动态特性等性 能。有限元法求解问题的基本过程主要包括 :分析对象的离散化 ?有限元求解 ?计算 结果的处理三部分。曾经有人做过统计 :三个阶段所用的时间分别占总时间的 40%50%、5%及 50%55%。也就是说 ,当利用有限元分析对象时 ,主要时间是用于对象的离散及结果 的处理。如果采用人工方法离散对象和处理计算结果 ,势必费力、费时且极易出错 , 尤其当分析模型复杂时 ,采用人工方法甚至很难进行 ,这将严重影响高级有限元分析 程序的推

2、广和使用。因此 ,开展自动离散对象及结果的计算机可视化显示的研究是 一项重要而紧迫的任务。可喜的是 ,随着计算机及计算技术的飞速发展 ,出现了开发对象的自动离散及有 限元分析结果的计算机可视化显示的热潮 ,使有限元分析的 “瓶颈 ”现象得以逐步解 决 ,对象的离散从手工到半自动到全自动 ,从简单对象的单维单一网格到复杂对象的 多维多种网格单元 ,从单材料到多种材料 ,从单纯的离散到自适应离散 ,从对象的性能 校核到自动自适应动态设计 /分析 ,这些重大发展使有限元分析摆脱了仅为性能校核 工具的原始阶段 ,计算结果的计算机可视化显示从简单的应力、位移和温度等场的 静动态显示、彩色调色显示一跃成为

3、对受载对象可能出现缺陷（裂纹等的位置、形状、大小及其可能波及区域的显示等 ,这种从抽象数据到计算机形象化显示的飞跃 是现在甚至将来计算机集成设计 /分析的重要组成部分。2. 有限元分析对网格剖分的要求有限元网格生成就是将工作环境下的物体离散成简单单元的过程,常用的简单单元包括 :一维杆元及集中质量元、二维三角形、四边形元和三维四面体元、五面 体元和六面体元。他们的边界形状主要有直线型、曲线型和曲面型。对于边界为曲 线（面型的单元 ,有限元分析要求各边或面上有若干点 ,这样 ,既可保证单元的形状 ,同 时,又可提高求解精度、准确性及加快收敛速度。不同维数的同一物体可以剖分为 由多种单元混合而成的

4、网格。网格剖分应满足以下要求 :合法性。一个单元的结点 不能落入其他单元内部 ,在单元边界上的结点均应作为单元的结点 ,不可丢弃。相容 性。单元必须落在待分区域内部 ,不能落入外部 ,且单元并集等于待分区域。逼近精 确性。待分区域的顶点 （包括特殊点必须是单元的结点 ,待分区域的边界 （包括特殊边 及面被单元边界所逼近。良好的单元形状。单元最佳形状是正多边形或正多面体。 良好的剖分过渡性。单元之间过渡应相对平稳 ,否则 ,将影响计算结果的准确性甚至 使有限元计算无法计算下去。网格剖分的自适应性。在几何尖角处、应力温度等变 化大处网格应密 ,其他部位应较稀疏 ,这样可保证计算解精确可靠。3. 现

5、有有限元网格剖分方法K. Ho-Le 对网格生成算法进行了系统分类 ,该分类方法可沿用至今 ,它们是拓扑 分解法、结点连元法、网格模板法、映射法和几何分解法五种。目前,主要是上述方法的混合使用及现代技术的综合应用。（1 映射法映射法是一种半自动网格生成方法 ,根据映射函数的不同 ,主要可分为超限映射 和等参映射。因前一种映射在几何逼近精度上比后一种高 ,故被广泛采用。映射法 的基本思想是 :在简单区域内采用某种映射函数构造简单区域的边界点和内点 ,并按 某种规则连接结点构成网格单元。这种方法可以很方便地生成四边形和六面体单元 若需要 ,也很容易转换成三角形和四面体单元。该法的主要缺点 :首先必

6、须将待分区 域子划分为所要求的简单区域 ,这是一个十分复杂且很难实现自动化的过程。对复 杂域采用手工方法划分甚至不可能。通常各简单区域边界采用等份划分。另外,该法在控制单元形状及网格密度方面是困难的。鉴于简单区域自动划分的困难 性,Blacker 试图采用知识系统和联合体素方法解决 ,但在复杂多孔域上仍难以处理 ,主要是体素数量和形状有限 ,将待分区域全自动划分为有限的预定体素并集是很难 完全实现的。(2 拓扑分解法在不考虑网格单元大小和形状情况下 ,Wordenweber提出了使用三种算子连接 多边形各顶点形成粗三角形的二维拓扑分解法 ,然后细化粗单元至预定规定的网格 密度为止。三种算子使用

7、顺序为 opj?opl?op0 。同时 ,Wordenweber也提出了在三维 域使用 opj(i=0,1,2,3 和 opp五种算子剖分实体。 Woo 、Thomasma和 Saxena等扩充 了该法并将其有效地应用到多面体实体有限元自动网格生成中。Saxena称该法为EE法,并已与 RSD 法混合使用构成 RSD/EE 法。单一的拓扑分解法因只依赖于几何 体的拓扑结构使网格剖分不理想 ,有时甚至很差。(3 几何分解法凡在产生结点的同时也确定结点间连接关系的方法均称为几何分解法,常用的有两种 :递归法和迭代法。递归法:Tracy、左建政和 Chae等先离散二维物体边界 ,然后沿离散边界向物体

8、内挖掉 一个、两个或三个三角形 ,重复此操作直到区域挖空为止。 Lindhom 、Blacker 和 B.P. Johnston等使用的迭代法不同于前者 ,首先从物体中挖掉边界层而不是单元 ,然后三 角化边界层。上述为二维迭代法 , Chae在此基础上发展了三维迭代几何分解法 ,主 要分两步 :采用二维迭代几何分解法生成表面三角形 ,然后采用三种算子挖切凸体为 四面体。在挖切时 ,突出的特点在于采用新方法生成关键点。关键点的生成分两步 考虑 :一是考虑新点对周围面和边的影响 ;二是通过调整比例因子来确定新点位置。 Chae也将所提出的算法成功地应用于自适应网格生成中 ,但由于被剖分物体形状必

9、须是单连通凸域 ,因此 ,不能实现全自动网格生成。迭代法:Bykat采用该法。他首先将物体划分为凸体 (手工或自动 ,随后根据网格密度分 布,在每个凸体边界上插入结点 ,然后将物体中间 “最长轴”一分为二 ,在该轴上插入结 点,继续对两部分做递归分割直到最后子域均为三角形为止。商业网格生成软件 Triquamesh仍采用该法 ,只是分割线的选取与 Bykat 不同。几何分解法的最大优点 是在离散物体时考虑网格单元的形状和大小 ,因此 ,所生成的网格单元形状和分布均 较好。最大缺点是自动化程度低 ,不利于复杂件网格生成。(4 网格模板法 (RSD法Shephard、Perucchio、Saxen

10、a、Sapidis和 Yerry 等是这种方法成功运用的主要 代表。网格模板法生成有限元网格主要分两步 (以介绍三维实体为主 :其一、将待分实体用适当大小的立方体箱 (树根完全包容 ,按“一化八 ”原则递归 离散 ,然后对每个八分块按如下方法进行分类 :ProcedureModClassCell(Cell,S=('IN','OUT','NIO' If ( 八分块中至少有一个顶点为 'OUT'且至少有 一个顶点为 'IN' then 'NIO' Else if (Cell (*S=( then 

11、9;OUT' Else if (Cell (*S=Cell the 'IN' Else 'NIO' End; procedure 对于 IN 的八分块继续递归离散直到预定水平级为 止,OUT 的八分块不再划分 ,NIO 的八分块进一步子划分 ,且分类直到预定水平级为 止。称终了 IN 和 NIO 八分块的并集为 RSD 模型。其二,对已经形成的 RSD 模型,目前已有多种生成网格的处理方法。主要有三 种:RSD/GDT 法、 RSD/EE 法和 RSD/DDT 法。它们主要有以下特点 : RSD/EE 法不能处理曲面实体、非流形体和不连通实体。与此相反

12、,RSD/DDT 法却能处理有孔的任意曲面实体、非流形体和不连通实体 ,而且所形成 四面体形状质量良好。 RSD/DDT 法根据需要以满足条件为准则插入新点 , 因此所插入的新点数量少 而 RSD/GDT 法则会插入许多冗余点 RSD/GDT 法使用点 / 实体分类 , 使时间复杂性至少大一个数量级 , 而 RSD/DDT 法不使用点 /实体分类 ,因此,RSD/DDT 法平均时间复杂性为 O(N2,N 为实 体 S 的总表面数。 RSD/EE 法具有不确定的时间复杂性。 RSD/DDT 法完全建立网格图素拓扑一一对应 ,因此拓扑是健全的 , 与此相 反,RSD/GDT 法是拓扑不健全的。各种

13、 RSD法的优点是网格生成完全自动 ,网格剖 分速度快 ,非常适用于自适应网格生成。主要缺点是边界单元形状难于完全保证。 另外,RSD法对物体的方向特别敏感。(5 结点连元法结点连元法是先生成结点 ,然后连接结点构成单元。最常用的是 DT法和 AFM 法。 DT 法的基本原理 :任意给定 N 个平面点 Pi(i=1,2, ,N构成的点集为 S,称满足下列条件的点集 Vi 为 Voronoi 多边形。其中 ,Vi 满足下列条件 :Vi = X:|X- Pi|(|X-Pj|,X(R2,i(j,j=1,2,为N 凸V多i 边形,称 Vimi=1 为 Dirichlet Tesselation图或对偶

14、的Voronoi图。连接相邻 Voronoi多边形的内核点可构成三角形 Tk,称集合 Tk 为 Delaunay三角剖分。 DT 法的最大优点是遵循 “最小角最大 ”和“空球”准则。因此 ,在 各种二维三角剖分中 ,只有 Delaunay 三角剖分才同时满足全局和局部最优。 “最小角 最大 ”准则是在不出现奇异性的情况下 ,Delaunay三角剖分最小角之和均大于任何非 Delaunay剖分所形成三角形最小角之和。 “空球 ”准则是 Delaunay三角剖分中任意 三角形的外接圆 (四面体为外接球内不包括其他结点。实现 Delaunay三角剖分有多钟方法。 Lee和 Schachter操作很有

15、效 ,但很难实现。而 Watson、Cline 和 Renka、Sloan因操作容易、时间效率较好等优点而被广泛采用。为了进一步提高 效率,Sloan研究其算法操作 ,提出了时间复杂性为 O(N(N 为结点总数的操作方法 ,从 而为快速 Delaunay三角剖分提供了有效途径。虽然 DT 法既适用于二维域也适用于三维域 ,但直接的 Delaunay 三角剖分只适用于凸域 ,不适用于非凸域 ,因此发展了 多种非凸域的 Delaunay 剖分。 AFM 法的基本原理 :设区域的有向离散外边界集和边界前沿点集已经确定 ,按某种条件沿区域边界 向区域内部扣除三角形 （四面体直到区域为空集。AFM 法的

16、关键技术有两个 :一是区域的边界离散和和内点的合理生成。二是扣 除三角形条件。目前 ,扣除三角形的条件有多种。a 最短距离条件。选取到该区域边界前沿垂直距离最短的点或到边界前沿端点距离平方和最小的 点构成三角形 （四面体。b 最大角条件。在平面区域选与有向边界前沿 BC 边构成角 （BAC 最大的 A 点。实体区域选与 有向边界前沿三角形 （ABC 构成的四面体 ABCD 在 D 点实体角最大的点。这种选取 点构成三角形 （四面体方法可靠 ,但由于对应于同一边界前沿可能存在多个最大角情 况,我们称这种现象为奇异现象。c 最大形状质量条件。选取与边界前沿所构成的三角形 （四面体形状质量最大的点构

17、成有效剖分。d 最小外接圆 （球条件 ,即空球条件。选取与边界前沿构成的三角形 （四面体中外接圆 （球半径最小的点构成有效剖 分。即在所形成的三角形 （四面体中不包含任何其他边界前沿点集。单一使用上述 四种四面体扣除条件均会出现奇异情况。使用后两者扣除单元都将可能引起剖分不 可靠 ,如不可剖分及单元相交等。 AFM 法最大优点是不仅在区域内部而且在区域边 界所生成的网格单元形状均优良 ,网格生成全自动 ,可剖分任意实体。如果将板 /壳、 实体和梁采用统一的数据结构 ,则可采用该原理实现不同维数和多种材料等混合工 况结构件的网格自动剖分。若配合误差估计 ,则这种方法在自适应网格再生技术中 使用效

18、果甚佳。目前的发展趋势是采用 AFM/DT 混合法。在平面域已得到了成功 地实现 ,但三维实体区域仍存在多钟问题 ,例如:可能出现剖分不可靠和奇异等现象。4. 自动自适应网格剖分有限元的自适应性就是在现有网格基础上 ,根据有限元计算结果估计计算误 差、重新剖分网格和再计算的一个闭路循环过程。当误差达到预规定值时,自适应过程结束。因此 ,有效的误差估计和良好的自适应网格生成是自适应有限元分析两 大关键技术。就目前国外研究来看 ,自动自适应网格生成从大的方面可分为两类 :网 格增加技术和网格再生技术。(1 网格增加技术该法主要依靠增加自由度总数来提高有限元分析的精度。目前主要采用三种类 型方法提高有限元分析精度 :h-型、 p-型、和 h-p-型。 h-型