函数的极值与导数80016

1、函数的极值与导数函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,那么函数那么函数y=f(x) 在在为这个区间内为这个区间内 的的增函数增函数;如果在这个区间如果在这个区间内内f/（x）0 得得f(x)的单调的单调递增区间递增区间; 解不等式解不等式 f/（x）0 右侧右侧 f/(x)0 , 那么那么f(x0)是极大值是极大值; (2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 f/(x)0 , 那么那么f(x0)是极小值是极小值.解方程解方程f/(x)=0.当当f/(x)=0时时: x(-,-a) -a(-a,0) (0,a) a(a,+) f(x) + 0

2、- - 0 + f(x) 极大值极大值-2a 极小值极小值2a 故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有极有极小值小值f(a)=2a.例例2:求函数求函数 的极值的极值.)0()(2 axaxxf解解:函数的定义域为函数的定义域为),0()0 ,( .)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)( xf当当x变化时变化时, ,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf 练习练习1:求函数求函数 的极值的极值.216xxy 解解:.)1 ()1 ( 6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1

3、,x2=1.y 当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-1) -1(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 极大值极大值-3 极小值极小值3 因此因此,当当x=-1时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=3;而而,当当x=1时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=- 3.例例3:已知函数已知函数f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函数若函数f(x)在在x=0,x=4处取得极值处取得极值,且极小值为且极小值为-1, 求求a、b的值的值. (2)若若 ,函数函数f(x)图象上的任意一点的切线斜图象上的任意一点的切线斜 率为率为k

4、,试讨论试讨论k-1成立的充要条件成立的充要条件 . 1 , 0 x解解:(1)由由 得得x=0或或x=4a/3.故故4a/3=4, a=6.023)(2 axxxf由于当由于当x0时时, 故当故当x=0时时,f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,所以所以b=-1. 0)(, 0)( xfxf(2)等价于当等价于当 时时,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)= 3x2-2ax-10对一切对一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x 1 , 0 x由于由于g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,当当a1时时,g(x)0对一切对一切 恒成立恒成立. 1 ,

5、0 x所以所以,a1是是k-1成立的充要条件成立的充要条件. 例例4:已知已知f(x)=ax5-bx3+c在在x= 1处有极值处有极值,且极大值为且极大值为 4,极小值为极小值为0.试确定试确定a,b,c的值的值. 解解:).35(35)(2224baxxbxaxxf 由题意由题意, 应有根应有根 ,故故5a=3b,于是于是:10)( xxf).1(5)(22 xaxxf(1)设设a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 + f(x) 极大值极大值 极小值极小值 )(xf )1,( ), 1( 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1 (0) 1(4cbacbaff又又

6、5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.(2)设设a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 极小值极小值 极大值极大值 )1,( ), 1( )(xf 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1(0) 1 (4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2.练习练习1:已知函数已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1处有极值为处有极值为 10,求求a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一个根有一个根x=1,故故3+2a+b=0.)(xf 又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或.

7、33114 baba当当a=-3,b=3时时, ,此时此时f(x)在在x=1处无处无极值极值,不合题意不合题意.0) 1( 3)(2 xxf当当a=4,b=-11时时,).1)(113(1183)(2 xxxxxf-3/11x1时时, ,此时此时x=1是极是极值点值点.0)(0)( xfxf从而所求的解为从而所求的解为a=4,b=-11.第二课时第二课时一、复习一、复习: :1.设函数设函数y=f(x)在在x0及其附近有定义及其附近有定义,如果如果f(x0)的值比的值比x0 附近所有各点的函数值都大附近所有各点的函数值都大,我们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x) 的一个极大值的一个极大

8、值;如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各点的函附近所有各点的函 数值都小数值都小,我们说我们说f(x0)是函数是函数y=f(x)的一个极小值的一个极小值.极极 大值与极小值统称极值大值与极小值统称极值.2.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方值的方 法是法是: (1):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极大值是极大值;, 0)(, 0)( xfxf (2):如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 那么那么,f(x0)是极小值是极小值., 0)(, 0)( xfxf3.理解函数极值的定义时应

9、注意以下几点理解函数极值的定义时应注意以下几点:(1)函数的极值是一个局部性的概念函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内极值点是区间内 部的点而不会是端点部的点而不会是端点.(2)若若f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,那么那么f(x)在某区间内一定在某区间内一定 不是单调函数不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值即在区间上单调的函数没有极值.(3)极大值与极小值没有必然的大小关系极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不即极大值不 一定比极小值大一定比极小值大,极小值不一定比极大值小极小值不一定比极大值小.(4)函数函数f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值,它的极值点的

10、分布是它的极值点的分布是 有规律的有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值相邻两个极大值点之间必有一个极小值 点点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. 一般地一般地,当函数当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值在某区间上连续且有有限极值 点时点时,函数函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点在该区间内的极大值点与极小值点 是交替出现的是交替出现的.(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是而不是 充分条件充分条件.(6)极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到极值只能在函数不可导的点或导数为零

11、的点取到.4.确定函数的极值应从几何直观入手确定函数的极值应从几何直观入手,理解可导函数在理解可导函数在 其定义域上的单调性与函数极值的相互关系其定义域上的单调性与函数极值的相互关系,掌握利掌握利 用导数判断函数极值的基本方法用导数判断函数极值的基本方法.例例1:已知函数已知函数 f(x)满足条件满足条件:当当x2时时, ;当当 x2,由条件由条件可知可知 ,即即:2 x0)(2 xf; 02)()(2 xxfxg当当 时时,x20,0)( xf故故 有不相等的两实根有不相等的两实根、, ,设设.0)( xf又设又设g(x)=-ax2-2bx+a, 由于由于-a0,g(x)的图象开口的图象开口向下向下,g(x)的值在的值在的右正左负的右正左负,在在的左正右负的左正右负.注意到注意到 与与g(x)的符号相同的符号相同,可知可知为极小值点为极小值点,为极大值点为极大值点.)(xf (2)由由