第3课（A基础）数列（原卷版）-【名校冲刺】2021-2022学年高二数学同步精讲教案（数列篇）（沪教版2020选择性必修第一册）

第3课：数列教学目标1、理解数列、递增递减数列概念，结合数列单调性解答相关最值项问题；2、能根据题意找出数列递推关系式，再求数列通项公式，能根据数列递推关系式的特点，选择合适的方法；3、掌握错位相减法、裂项相消法、分组求和和倒序相加法求数列前项和的方法，会结合通项公式特点判断用什么求和方法；重点1、等差数列、等比数列的求和公式2、数列中函数的思想3、错位相减法、裂项相消法、分组求求数列前项和的方法难点数列求通项、数列求和方法的灵活运用（一）知识梳理1、数列及其相关概念1）定义：按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项，数列中的每一项都和项的序数有关，各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…，第项，…注：数列与数集的区别：数集中的元素具有无序性和互异性，而数列的主要特征是有序性，而且数列的项可以重复出现。2）数列的一般形式可以写成：其中是数列的第项，是的序数，上面的数列可简单记作。3）函数思想：数列可以看成是定义在自然数集或其子集上的函数函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是,因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即递增⇔对任意的都成立．类似地，有递减⇔对任意的都成立.2、数列的表示方法解析法、图像法、列举法、递推法.3、数列的分类有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列,摆动数列，常数数列；1.有穷数列:项数有限.2.无穷数列：项数无限.3.递增数列:对于任何,均有；其中严格递增数列为，对于任何,均有；4.递减数列:对于任何,均有；其中严格递减数列为，对于任何,均有.5.摆动数列:例如:-1,1,-1,1,-1,1,…….6.常数数列:对于任何,均有；例如:6,6,6,6,…….4、数列的通项公式定义：如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列1，1.4，1.41，1.414，….；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…；它的通项公式可以是，也可以是.例题精讲【例1】（1）下列说法正确的是（）A．数列，2，5，8可以表示为B．数列2，4，6，8与8，6，4，2是相同的数列C．等比数列1，3，，，…的通项公式为D．1，0，1，0，…是常数列（2）给出以下数列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1000；③8，8，8，8，…；④.其中，有穷数列为______；无穷数列为______；严格递增数列为______；严格递减数列为_____；摆动数列为_____；常数列为______．(填序号)【例2】设数列中，（且），则（）A． B． C．2 D．【例3】已知数列.（1）求这个数列的第10项；（2）是不是该数列中的项，为什么？（3）求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．巩固训练1、观察下列数的特点，，，，，，，，，…，其中为（）A． B． C． D．2、在数列1，2，，中，是这个数列的A．第16项 B．第24项 C．第26项 D．第28项3、已知，则数列的图象是（）A．一条直线 B．一条抛物线C．一个圆 D．一群孤立的点声明：试（二）单调性与最值项问题知识梳理1、判断数列单调性：数列是严格递增数列；；数列是严格递减数列；严格递增数列严格递减数列常数列严格递减数列严格递增数列常数列2、数列单调性的应用：求数列最大项和最小项方法一：利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项。方法二：设是最大项，则有对任意的且均成立，解不等式组即可。方法三：利用做差（或作商），研究相邻项间的关系，进而求得数列的最大项或最小项。例题精讲【例4】（1）已知数列为严格递增数列，且，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．（2）设，数列从首项到第m项的和最大，则m的值是________．【例5】已知数列中，，则下列说法正确的是（）A．此数列没有最大项 B．此数列的最大项是C．此数列没有最小项 D．此数列的最小项是【例6】已知数列的首项为，且，则的最小值是（）A． B． C． D．巩固训练1、已知等差数列的前n项和为，且，，则的最小值是______．2、已知数列的通项公式为.（1）0.98是不是这个数列中的一项？（2）判断此数列的单调性，并求最小项.3、已知函数，数列满足，且数列是严格递增数列，则实数的取值范围是．4、已知等比数列的前项和．（1）求的值；（2）若且，问取何值时，取得最小值，并求此最小值．（三）递推公式与求数列通项公式知识梳理递推公式：数列中的任一项可用前一项（或前几项）通过一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的一个递推公式．例题精讲【例7】（1）下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是（）A． B．C． D．（2）“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠（其余为绿洲），从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里．=1\*GB3①求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；=2\*GB3②判断是否是等比数列，并说明理由；=3\*GB3③至少经过几年，绿洲面积可超过？【例8】若数列由，确定，求通项公式．【例9】在数列中，，，则为A．B．C．D．【例10】（1）数列中，，，求通项公式．（2）在数列中，设．求证：数列是等差数列，并求通项公式；巩固训练1、如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层球数构成一个数列．（1）写出数列的一个递推公式；（2）根据（1）中的递推公式，写出数列的一个通项公式．2、已知数列满足，，求该数列的通项公式．3、已知在数列中，，，求通项．4、已知数列中，，，求通项．5、数列满足：，则通项公式是：．（四）知识梳理一、利用常用公式求和等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：公式法求和注意事项：（1）弄准求和项数的值；（2）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前项和，其中分别是等差数列和等比数列.三、裂项相消法求和裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，如：（1）；（2）（3）（4）（5）四、倒序相加法求和这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就可以得到个五、分组求和分组求和有两种情况，一种是将数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可；另一种是将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(容易求和).例题精讲【例11】在等差数列中,,.在等比数列中,,公比.（1）求数列和的通项公式;（2）若,求数列的前项和。【例12】定义在上的函数满足，则.【例13】（1）数列满足=，则数列的前项和为（）A． B． C． D．（2）数列的通项公式为,若的前项和为9,则的值为_____。【例14】（1）数列的前项和等于__________。（2）设数列的前项和为，则等于（）A． B．C． D．巩固训练1、已知数列满足，求数列的前项和。2、已知函数，则_____。3、数列对任意，满足.（1）求数列通项公式；（2）若，求的通项公式及前项和.4、已知等差数列的公差，其前项和为，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和。实战演练实战演练一、填空题1、已知数列6，9，14，21，30，…，对于任意的正整数与之间满足关系式：_______.2、在数列中，，，则3、已知数列中，，且时，，求通项．．4、设是数列的前项和且，，则．5、已知数列中，，其前项和为，且满足，则．6、在等比数列中，，若，求数列的前项和___________。二、选择题7、数列，，，，…的第10项是()A．B．C．D．8、下列说法错误的是（）A．给出数列的有限项一定能唯一确定这个数列的通项公式B．若等差数列的公差，则是递增数列C．若，，成等差数列，则，，一定成等差数列D．若数列是等差数