D15极限运算法则

1、 第一章第一章第五节第五节 极限运算法则极限运算法则一、无穷小运算法则一、无穷小运算法则二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则三、复合函数的极限运算法则 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 ,min21一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1证明证明:设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时, 2, 02当200 xx时, 2取时, 则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小 .有限个无穷小的和还是无穷小 .考虑两个无穷小的和. 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 注注:如如12

2、11lim222nnnnnn1类似可证:无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小!有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 .定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.um又设,0lim0 xx证明证明: 设函数 u(x)在 内有界,01(,)u xo即存在m 0, ),(10 xux对即,0,02当),(20 xux时, .m取,min21则当),(0 xux时, 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 uumm故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1推论推论 2 .um.m常数与无穷小的乘积是无穷小.有限个无穷小的乘积是无穷小.例例1 解解: 1sinx01limx

3、x由定理 2 知.0sinlimxxx注注 :xxysin的水平渐近线 .sinlimxxx求 y = 0是曲线 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limbxgaxf则(1) lim ( )( )f xg xlim( )lim ( )f xg x(证明略证明略.);ab定理定理 3 若(2) lim ( )( )f xg xlim( ) lim ( )f xg x;a b(3)lim( )lim ( )f xg x.ab若b0 , ( )lim( )f xg x则注注:(1)(2)可以推广到有限个函数的情形.推论推论

4、1lim( )c f x( c 为常数 )推论推论 2lim ( )nf x( n 为正整数 )lim( )cf xlim( )nf x 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例201( )nnnp xaa xa xl则则0lim( )nxxp x0a01limxxa xl0limnnxxa x)(0 xpn 设n次多项式0a10a xl0nna x求解解:0lim.nxxax0limnxxax0limnxxax0limnxxax0.nax例例3 0( )lim.( )xxp xq x其中)(, )(xqxp都是多项式， 且0()0.q x求解解:0( )lim( )xxp xq x

5、00lim( )lim( )xxxxp xq x00().()p xq x0()0q xq有理整函数有理分式函数 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例5934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx31例例43231lim53xxxx3323lim(1)lim(53)xxxxx26.3 例例6解解:2154lim23xxxxq0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , .4532lim21xxxx求x = 1 时,但分子0 , 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例72211243

6、lim139xxxx 2.322243lim39xxxx例例8232321lim25xxxxx0.233311lim152xxxxxx例例932225lim321xxxxx.由例由例8“ 抓大头抓大头”“ 生成无穷小量法生成无穷小量法”或或叫叫 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 一般地：一般地：为非负常数 )nmba,0(00mmmxaxaxa110limnnnbxbxb11000,ab0,nm当.nm当,nm当 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 定理定理4 ,lim,limbyaxnnnn 则)(lim) 1 (nnnyx (2) limnnnxy,00)3(时且当b

7、ynbayxnnnlimbaa b若设有数列 、 nx ,ny定理定理5,)(lim,)(limbxgaxf且则.ba( )( )( )xf xg x，由保号性定理得),()(xgxf如果证明证明: 令则lim ( )x( )0 x,ab且0ab ，.ab即 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 定理定理6 当 时,00(,)oxu x0( ),g xu0lim( ),uuf ua则0lim ( )xxf g x0lim( )uuf u 注注:0lim( ),xxg x 则0lim ( )xxf g x三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 设 由 ( )yf g x与

8、 复合而成,( )ug x( )yf u00lim( ),xxg xu若在 x0 的某去心邻域内有定义. ( )yf g x且存在00,. a(2) 若若lim( )uf ualim( )uf ua( )( )( )( )(证明略证明略)0lim ( ),xg xu则lim ( )xf g x(1) 若若0lim( )uuf ua0lim( )uuf ua()x()x 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例10解解:.93lim23xxx23,9xux3limxu31lim3xx原式 =uu61lim6166求求令则例例11301 1lim1 1xxx 求求解解:61,ux21(1

9、)(1)lim(1)(1)uuuuuu则原式 =3211lim1uuu3.2令211lim1uuuu16 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例12 求求解解:.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令211lim1uuu原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2方法方法1 1 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法:分子或分母有理化法约分法约去零因子生成无穷

10、小量法“ 抓大头”换元法设中间变量去根号 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 3. 求. )1(lim2xxxx解解:原式 =xxxx1lim21111lim2xx214. 22lim3.2xxxax解解 :即2lim20,xxq22lim ()0 xxxa2.a 试确定常数 a 使2220,a 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 10,0.aab5. 21lim0.1xxaxbx解解 :即1,1.ab 试确定常数 a、b 使21lim01xxaxbx2(1)()1lim01xa xab xbx